中值定理新課

1、 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時(shí)變因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時(shí)變 所以可借助導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)所以可借助導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù). 但每一點(diǎn)但每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)僅僅是與局部有關(guān)的一點(diǎn)的變化性態(tài)的導(dǎo)數(shù)僅僅是與局部有關(guān)的一點(diǎn)的變化性態(tài),要用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的全部性態(tài)要用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的全部性態(tài),還需架起新還需架起新的的“橋梁橋梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率, 指導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)所具有的一些重指導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)所具有的一些重要性質(zhì)要性質(zhì),它們都與自變量區(qū)間內(nèi)部的某個(gè)它們都與自變量區(qū)間內(nèi)部的某個(gè)中間值有關(guān)中間值有關(guān)

2、.第三章中值定理中值定理應(yīng)用應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 微分中值定理微分中值定理費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理 費(fèi)馬費(fèi)馬 Fermat,(法法) 1601-1665 有定義有定義,如果如果),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么證證 對(duì)于對(duì)于)

3、,(00 xUxx 有有 )()(00 xfxxf 0 , 0 x若若xxfxxf )()(00, 0 x若若; 0 ; 0 )()(00 xfxxf xxfxxf )()(00內(nèi)內(nèi)的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()(00 xUxxf,)(0存存在在且且xf 微分中值定理微分中值定理費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理有定義有定義,如果如果 ),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么 0limx )(0 xf)()(00 xfxf )(0 xf 由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性, 0 x若若xxfxxf )()(00, 0 , 0 x若若. 0 xxf

4、xxf )()(00 )(0 xf 0limx 函數(shù)的函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn)(Stationary point),穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn),臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)(Critical point). 0內(nèi)內(nèi)的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()(00 xUxxf,)(0存存在在且且xf 本節(jié)的幾個(gè)定理都來(lái)源于下面的明顯的本節(jié)的幾個(gè)定理都來(lái)源于下面的明顯的AB在一條光滑的平面曲線段在一條光滑的平面曲線段AB上上,至少有至少有與連接此曲線兩端點(diǎn)的弦與連接此曲線兩端點(diǎn)的弦平行平行.幾何事實(shí)幾何事實(shí):微分中值定理微分中值定理一點(diǎn)處的切線一點(diǎn)處的切線 連續(xù)的曲線弧、除端點(diǎn)外處處有不垂直連續(xù)的曲線弧、除端點(diǎn)外處處有不垂直于于x軸的切

5、線軸的切線 .有水平的切線有水平的切線0)( fABxyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間ba(1)(2);),(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間ba(3),()(bfaf 羅爾羅爾 Rolle,(法法)1652-1719 ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f微分中值定理微分中值定理一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理.)(mMb 若若),(afM 設(shè)設(shè),),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在ba.)(Mf 微分中值定理微分中值定理證證.)(mMa

6、若若.,)(mMbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在.)(Mxf 則則. 0)( xf得得),(ba )( f都都有有羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間ba(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間ba使得使得. 0)( f. 0所以最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)取得所以最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)取得.使使,ba 有有),()( fxf 由由費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理,. 0)( f(1) 定理?xiàng)l件不全具備定理?xiàng)l件不全具備, , 1,010,)(xxxxf1 ,1, |)( x

7、xxf注注微分中值定理微分中值定理結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立. . 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2);),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間ba(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間ba使得使得. 0)( f1xyO11 yxO1yxO1,0,)( xxxf使(2) 定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅

8、爾定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),. 0)(f使但矛盾

9、, 故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf(1)(2),),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間ba使得使得)()()(abfafbf ).()()( fabafbf 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba;),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間ba幾何解釋幾何解釋:上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 AB分析分析式式變變?yōu)闉閷?()(

10、)(abfafbf , 0)()()( abafbff 定理的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為函數(shù)定理的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為函數(shù),)()()()(xabafbfxfxg ,),( 內(nèi)內(nèi)有有點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間ba.AB,0)(的問(wèn)題的問(wèn)題使使 g化為化為羅爾定理羅爾定理.微分中值定理微分中值定理在該點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的切線,C一點(diǎn)一點(diǎn)平行于弦平行于弦利用利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)的函數(shù). .)(xfy xyOABbaC1 2 D證證 作作輔助函數(shù)輔助函數(shù),)()()()(xabafbfxfxg 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)故故在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間,),( ba. 0)()(

11、)()( abafbffg 由此得由此得).()()()( fabafbf )()(1)(bafabfabag 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.也也成成立立對(duì)對(duì)ab ,)(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間baxg內(nèi)內(nèi)開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間),(ba且且)(bg 易知易知,可導(dǎo)可導(dǎo)微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理Lagrange公式公式可以寫成下面的各種形式可以寫成下面的各種形式:.).)()()()1(時(shí)時(shí)也也成成立立當(dāng)當(dāng)baabfafbf )()()2(xfxxfxxxfy )()3( .的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 它表達(dá)了函數(shù)增量和某點(diǎn)的它表達(dá)了函數(shù)增量和某點(diǎn)的注注, 未未定

12、定這這里里 ,)(xf .之之間間和和在在xxx 但是增量、但是增量、這是十分方便的這是十分方便的.由由(3)式看出式看出,).10( 導(dǎo)數(shù)之間的直接關(guān)系導(dǎo)數(shù)之間的直接關(guān)系.微分中值定理微分中值定理導(dǎo)數(shù)是個(gè)等式關(guān)系導(dǎo)數(shù)是個(gè)等式關(guān)系.拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.它表明了函數(shù)在兩點(diǎn)處的函數(shù)值它表明了函數(shù)在兩點(diǎn)處的函數(shù)值)()()()( fabafbf 的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明.在微分學(xué)中占有在微分學(xué)中占有極重要的地位極重要的地位.與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)

13、系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)尤其可利用它研究函數(shù)微分中值定理微分中值定理例例2 2證明不等式證明不等式證證).(21xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)在某區(qū)間上可導(dǎo),要分析函數(shù)要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值有何關(guān)系在該區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值有何關(guān)系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.記記,arctanarctan1212xxxx ,21上上在在xx利用微分中值定理利用微分中值定理, 得得)(11arctanarctan12212xxxx ),(21xx , 1112 12arctanarctanxx ,12xx )()

14、()(abfafbf ),(ba 微分中值定理微分中值定理10nababnabaabnbnnnn11ba , nxxfba , abafbff例例(作業(yè))：，證明：證明：在區(qū)間上考慮函數(shù)，利用拉格朗中至少存在一點(diǎn)使得日中值定理，在區(qū)間ababnnnn1111nnnnbnnaba11nnnnnbababna即又因?yàn)?所以 baelnlnee lnlnee即即012)(ln)()(eeff 則則 eeabba xxxfln)(取取,exe例例 求證求證 （85高考 )證明證明 改證改證 練習(xí)練習(xí) ,時(shí)時(shí)1xexex)(0 xe)(1xeeexeex化為證化為證1xexfx ,)(取取xxexeee

15、fxfx 1111),()()()(用中值定理有用中值定理有推論推論,)(上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)Ixf證證21, xxI上上任任取取兩兩點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間)()()(1212xxfxfxf ),()(21xfxf 則則.)(Cxf .)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末Ixf,由由拉拉氏氏定定理理有有由條件由條件,即在區(qū)間即在區(qū)間I中任意兩中任意兩點(diǎn)的函數(shù)值都相等點(diǎn)的函數(shù)值都相等, 所以所以,),(21xx 0)(21xx 微分中值定理微分中值定理)()()(abfafbf推 論推 論 2 2 如 果 對(duì)如 果 對(duì)),(ba內(nèi) 任 意內(nèi) 任 意 x，

16、 均 有， 均 有)()(xgxf，則在，則在),(ba 內(nèi)內(nèi))(xf與與)(xg之間只差一個(gè)之間只差一個(gè)常數(shù)，即常數(shù)，即Cxgxf)()(（C為常數(shù)） 為常數(shù)） 例例3 3).11(2arccosarcsin xxx證明證明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx000由由推論推論微分中值定理微分中值定理自證自證).,( x,2cotarcarctan xx說(shuō)明說(shuō)明欲證欲證, Ix 只需證在只需證在 上上且且,

17、0Ix 使使.)(00Cxf I,)(0Cxf , 0)( xf思考題思考題2002年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一, 3分分則則內(nèi)有界且可導(dǎo)內(nèi)有界且可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),), 0()( xfy. 0)(lim,0)(lim)( xfxfAxx必有必有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)(lim,)(lim)( xfxfBxx必有必有存在時(shí)存在時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)(lim,0)(lim)(00 xfxfCxx必有必有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)(lim,)(lim)(00 xfxfDxx必有必有存在時(shí)存在時(shí)當(dāng)當(dāng)微分中值定理微分中值定理柯西柯西 Cauchy (法法)1789-1859柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函

18、數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間ba,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理廣義微分中值定理廣義微分中值定理),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFbF ),(,)()()()()()(baFfaFbFafbf 這兩個(gè)這兩個(gè)錯(cuò)錯(cuò) ! !柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉

19、區(qū)間ba(1)(2),),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間ba,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理柯西定理的下述證法對(duì)嗎柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ? ?不一定相同不一定相同 前面對(duì)拉格朗日中值定理的證明前面對(duì)拉格朗日中值定理的證明,構(gòu)造了構(gòu)造了xabafbfxfxg )()()()( 現(xiàn)在對(duì)現(xiàn)在對(duì)兩個(gè)兩個(gè)給定的函數(shù)給定的函數(shù) f(x)、F(x), 構(gòu)造構(gòu)造 )()(xfx 即可證明柯西定理即可證明柯西定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù))(xF)()(afbf )()(a

20、FbF 微分中值定理微分中值定理)()()()()()( FfaFbFafbf ),(ba )()()()()()(aFbFFfafbf 分析分析 上式寫成上式寫成xxF )( 用類比法用類比法),(),()()()(bafabafbf 柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義 )()(tfytFx)()(ddtFtfxy 注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理:)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(2),),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間ba,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間ba使得使得, 0)( xF且且)()()()

21、()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理切線斜率切線斜率XYO)(bF)(aF)( F)(bf)(af羅爾羅爾定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾羅爾(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西中值定理之間的關(guān)系定理、柯西中值定理之間的關(guān)系:推廣推廣推廣推廣 這三個(gè)定理的條件這三個(gè)定理的條件都是充分條件都是充分條件,換句話說(shuō)換句話說(shuō), 滿足條件滿足條件,不滿足條件不滿足條件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要條件不是必要條件.而而成立成立;不成立不成立.微分中值定理微分中值定

22、理定理定理也可能也可能應(yīng)用三個(gè)中值定理常解決下列問(wèn)題應(yīng)用三個(gè)中值定理常解決下列問(wèn)題(1) 驗(yàn)證定理的正確性驗(yàn)證定理的正確性;(2) 證明方程根的存在性證明方程根的存在性;(3) 引入輔助函數(shù)證明等式引入輔助函數(shù)證明等式;(4) 證明不等式證明不等式;(5) 綜合運(yùn)用中值定理綜合運(yùn)用中值定理(幾次運(yùn)用幾次運(yùn)用).微分中值定理微分中值定理 關(guān)鍵關(guān)鍵 逆向思維逆向思維,找輔找輔助函數(shù)助函數(shù)費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他是一位律師, 數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好. 他興趣廣泛, 博覽群書并善于思考, 在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛(ài)好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:,2無(wú)整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzy

23、xn至今尚未得到普遍的證明. 他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來(lái)的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn), 近百余年來(lái), 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作, 他是對(duì)分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西柯西(1789 1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無(wú)窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等, 有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一, 他為

24、微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 以下內(nèi)容是本節(jié)的習(xí)題課例例. 設(shè),0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 若)(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn). 提示提示: 設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0

25、 )(xxxfe作輔助函數(shù), )()(xfexFx驗(yàn)證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 證明不等式證證: 設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 證明. )0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)xxxxarctan)1ln()1 ()(, 則0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x時(shí), )(x單調(diào)

26、增加 , 從而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 證明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 提示提示:10nababnabaabnbnnnn11ba , nxxfba , abafbff例例(作業(yè))：，證明：證明：在區(qū)間上考慮函數(shù)，利用拉格朗中至少存在一點(diǎn)使得日中值定理，在區(qū)間ababnnnn1111nnnnbnnaba11nnnnnbababna即又因?yàn)?所以 baelnlnee lnlnee即即012)(ln)()(eeff 則則 eeabb

27、a xxxfln)(取取,exe例例 求證求證 （85高考 )證明證明 改證改證 練習(xí)練習(xí) ,時(shí)時(shí)1xexex)(0 xe)(1xeeexeex化為證化為證1xexfx ,)(取取xxexeeefxfx 1111),()()()(用中值定理有用中值定理有思考: 在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos當(dāng),0 0 x時(shí). 0cos1問(wèn)問(wèn)是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因?yàn)?(x是依賴于 x 的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式

28、趨于 0 . 0 x應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對(duì)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 證明當(dāng) x 0 時(shí),.) 1(ln) 1(22xxx證證: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf則0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1, ) 1(2x法法1 由)(xf在1x處的二階泰勒公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所證不等式成立 .與 1 之間)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法法2 列表判別:,)

29、1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx時(shí)故當(dāng)即.) 1(ln) 1(22xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法法3 利用極值第二判別法極值第二判別法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一為)(1xfx 故0) 1 (f也是最小值 ,因此當(dāng)0 x時(shí),0)(xf即22) 1(ln) 1(xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2

30、ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f，極小點(diǎn),0) 1 ( f且1yox22) 1(ln) 1(xxxy例例6. 設(shè)函數(shù)在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo), 且,)(Mxf證明在)(xf),(ba內(nèi)有界. 證證: 取點(diǎn), ),(0bax 再取異于0 x的點(diǎn), ),(bax對(duì)xxxf,)(0在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之間與界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定數(shù))可見(jiàn)對(duì)任意, ),(bax,)(Kxf即得所證 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11lnc

31、os1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例7. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件, ), 1 ( e使0)(fxlncos

32、)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 設(shè),0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9 9).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證分析分析結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(0

33、1)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxF 設(shè)設(shè)上上在在1 , 0)(),(xFxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,)1 , 0( 01)0()1( ff).0()1(2)(fff 2)(f 即即微分中值定理微分中值定理滿足柯西中值定理?xiàng)l件滿足柯西中值定理?xiàng)l件, , 例例1010分析分析 將結(jié)論交叉相乘得將結(jié)論交叉相乘得:. 0)(,)()(試試證證明明且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在與與若若 xgbaxgxf0)()()()()()( xxgxfbgxfxgaf輔助函數(shù)輔助函數(shù)F(x)微分中值定理微分中值定理)()()()()()(),( gfbggfafba使得使得)()()()()

34、()()()(bgfgfgfgaf 0)()()()()()()()(bgfgfgfgaf 0 xbgxfxgxfxgxfxgaf)()()()()()()()(證證 設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù) )(xF:)(滿滿足足xF;,(1)上上連連續(xù)續(xù)在在ba,),()2(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在ba)()()()3(bgafaF )(bF 因此因此F(x)滿足滿足Rolle定理的條件定理的條件.)()()()()()(xgxfbgxfxgaf 微分中值定理微分中值定理)()()(xgafxF)()(bgxf )()(xgxf )()(xgxf,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba即即 0)()()()

35、()()( bggffafg 得得)()()()()()( gfbggfaf . 0)( F使使證畢證畢.微分中值定理微分中值定理 )(xF)()()()()()(xgxfbgxfxgaf )()()()()()( gfgfgaf0)()(bgf 練習(xí)練習(xí). 設(shè)在)(xf),(上可導(dǎo), 且證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 證證: 設(shè))()(xfexx則 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上連續(xù)單調(diào)遞增, 從而至多只有一個(gè)零點(diǎn) .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一個(gè)零點(diǎn) .思考思考: 若題中0)()(xfxf改為,0)()(xfxf其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)?)()(xfexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15. 求)0()1arctan(arct