數(shù)字信號(hào)處理程佩清版12

1、1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） 傅里葉級(jí)數(shù)展開是將復(fù)雜周期信號(hào)分解為簡(jiǎn)單的正、余弦信號(hào)的一種數(shù)學(xué)方法。周期信號(hào)： 假定 滿足狄利赫利條件，即在一個(gè)周期 內(nèi)：（1）間斷點(diǎn)數(shù)目為有限個(gè)；（2）極值的數(shù)目為有限；（3）信號(hào)絕對(duì)可積。則周期信號(hào) 可以展開為三角級(jí)數(shù)，一種正交函數(shù)的組合。, 2, 1, 0)()(nnTtftf)(tf)(tf1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）1 三角級(jí)數(shù)（單邊譜）滿足狄利赫利條件的周期信號(hào) 可以展成如下的三角級(jí)數(shù)形式，式中：a0，信號(hào)的直流分量； ，第 階諧波信號(hào)的余弦分量； ，第 階諧波信號(hào)的正弦分量；)(tf0

2、)(atf111sincosnnntnbtna110110sincosnnnnnntnCatnCanannbn1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） ，第1階諧波信號(hào)的頻率，稱為基頻； ，第 階諧波信號(hào)的幅度； ，第 階諧波信號(hào)的相位； ，第 階諧波信號(hào)的相位； 第 階諧波信號(hào)的相位； ，第1階諧波信號(hào)的周期，即基波周期，與函數(shù)周期相同； 112T22nnnbaCnnnnnnababarctg-arctgn nnnnnababarctg-arctgnnnnnba2arctgn1T1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） ，第1階諧波信號(hào)，即基波； ，第

3、 階諧波信號(hào)，高階諧波。將周期信號(hào)分解為直流分量、基波分量和一系列高階諧波分量之和的形式稱為周期信號(hào)的頻譜分析（FS）或諧波分析。 信號(hào)諧波幅度 隨頻率變化的關(guān)系稱為幅度譜(Amplitude Spectrum)； 111costCnntnC1cosnnC1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）相位 隨頻率變化的關(guān)系稱為相位譜(Phase Spectrum)。周期信號(hào)的幅度譜和相位譜均為實(shí)離散譜，如圖1-15 所示。由于頻譜只在 時(shí)才有取值，故稱為單邊譜，單邊譜有明確的物理意義，其幅頻和相頻能與組成復(fù)雜周期信號(hào)的各次諧波一一對(duì)應(yīng)。n0 Cn 幅度譜 f(t) 實(shí) FS 0

4、離 123 散 -T1 0 T1 t 0 譜 周期信號(hào) 相位譜 圖1-15 周期信號(hào)的頻譜1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）1.3.2 指數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)（雙邊譜）除上述用級(jí)數(shù)形式表示周期信號(hào)的頻譜外，還可以用指數(shù)形式來表示，由歐拉公式 可推導(dǎo)出指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)如下 （1-40）2sin,2cosjxjxjxjxeejxeextjnjnnntjnneeFeFtfn11)(1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）式中 ，指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)； ，傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的幅度，即幅度譜； ，

5、時(shí)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的相位，即相位譜； ， 時(shí)的相位譜。1101)(1TtjnndtetfTFnnnFCF21nnnabarctg0nnnnabarctg0n1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）指數(shù)形式的譜為復(fù)頻譜，如圖1-16所示，由于出現(xiàn)了 負(fù)頻率，沒有實(shí)際的物理意義，但它用于理論分析是十分方便的。指數(shù)形式的雙邊譜與級(jí)數(shù)形式的單邊譜之間的關(guān)系為 （1-41） （1-42）nnjnnjbaeFFn21nnCF211.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） |Fn| 幅度譜 f(t) 復(fù) FS -1 1 離 散 -T1 0 T1 t 1 譜 周期信號(hào) -

6、1 相位譜 圖1-16 周期信號(hào)頻譜的復(fù)指數(shù)形式1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）例1-3：周期矩形信號(hào)的頻譜分析已知周期矩形信號(hào)如圖1-17 所示，一個(gè)周期 的表達(dá)式為 E -T1 -/2 /2 T1 t 圖1-17 周期矩形信號(hào)2,22202)(1tTtEtf1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）解：周期矩形信號(hào)為偶函數(shù)，無(wú)正弦分量，故 ，（1）三角級(jí)數(shù)形式的頻譜（單邊譜） 根據(jù)式（1-39）求得其單邊譜如下直流分量：余弦分量： 0nb122101011d1d)(1TEtETttfTaT)cos(22t)dcos(211112211nnSaT

7、EtnETan1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）傅里葉級(jí)數(shù)： 幅度譜： 相位譜 級(jí)數(shù)形式的譜圖如圖1-18(a)所示。11111cos22)(nnSTETEtfan2Sa211nTECn000arctgnnnnnaaab1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）（2）復(fù)指數(shù)形式的頻譜（雙邊譜）根據(jù)式（1-40）求得其雙邊譜如下級(jí)數(shù)系數(shù)： 復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)： 111122101de1de )(1tETttfTFtjnTtjnn2Sa11nTEtjnannSTEtf1e2)(1111.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） 幅度譜： 相位譜：

8、幅度譜和相位譜圖如圖1-18(b)、(c)所示，其中圖1-18(b)是將幅度譜和相位譜分開畫出的，圖1-18(c) 是將幅度譜和相位譜合在一起畫出的，兩種畫法是等同的。2Sa11nTEFn0000arctgarctgnnnnnnaaaab0000arctgarctgnnnnnnnaaaab 1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） 單邊譜 雙邊譜 |Fn| Cn 幅頻 幅頻 相頻 n 0 1 0 - (b) 復(fù)數(shù)形式1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） n 相頻 Fn 0 幅、相頻 - 0 (a) 三角級(jí)數(shù)形式 (c) 復(fù)數(shù)形式 圖1-18 周期矩形

9、信號(hào)的頻譜1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） 1.3.3 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)1周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)分析例1-3中的周期矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，可以得到周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：（1）周期矩形波頻譜為離散譜，基頻 （2）周期矩形波頻譜的譜線有無(wú)窮多，各高階譜的頻率為基頻的整數(shù)倍，具有諧波性；11122fT1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）（3）周期矩形波頻譜的幅度按抽樣函數(shù)規(guī)律衰減，具有收斂性。2周期對(duì)頻譜的帶寬從周期信號(hào)頻譜的諧波性知，周期信號(hào)的譜線有無(wú)窮多，在實(shí)際應(yīng)用中，不可能一一分析，只須對(duì)其主要的譜線區(qū)間進(jìn)處分析，為此，對(duì)于周期信號(hào)，定義帶寬 （

10、1-43）12bbf或1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）帶寬是頻譜分析的主要區(qū)間，是信號(hào)能量的集中區(qū)，對(duì)于頻譜幅度衰減較快的周期信號(hào)，帶寬內(nèi)的能量達(dá)95% 以上，所以在一般情況下，僅分析帶寬內(nèi)的頻譜就能滿足要求，帶寬外的頻譜可予以忽略。3周期 對(duì)頻譜的影響1T1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） 周期對(duì)頻譜的影響主要在兩個(gè)方面，一是對(duì)幅度 的影響；二是對(duì)基頻 影響，即影響頻譜的分辨率。 從周期矩形信號(hào)的頻譜中可以看出，譜線的幅值 與周期 是成反比的，隨著周期的增大，譜線的幅值 是下降的。此外，由于 ，分辨率將隨周期 的 nC1nC1TnC112

11、T1T1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）增加而增加，即譜線間的間隔隨之變小。 可以推斷，當(dāng) 時(shí)，離散譜將變?yōu)檫B續(xù)譜，其變化情況如圖1-19所示。4脈沖寬度對(duì)頻譜的影響周期信號(hào)的脈沖寬度影響幅值 和帶寬 。從例1-3的幅度譜中可以看出，幅度1TnCnC1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） f(t) Cn E C0 0 T1 t 0 f(t) Cn E C0 B 0 T1 t 0 2/ 圖1-19 周期對(duì)頻譜的影響1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）與脈寬成正比，帶寬 與脈寬成反比。fat) Cn E C0 B 0 T1 t

12、 0 2/ B1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）所以，隨著脈寬的變窄，帶寬 將變寬，這意味著信號(hào)中的高頻分量增加，當(dāng)時(shí)， 。1.3.4 傅里葉有限項(xiàng)級(jí)數(shù)從式（1-39）中可知，傅里葉級(jí)數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)，在實(shí)際應(yīng)用中，只能取其有限個(gè)項(xiàng)，稱為有限傅里葉級(jí)數(shù)。b0B1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS） 1. 有限項(xiàng)級(jí)數(shù)將式（1-39）中的求和上限用有限值N 代替，則得有限傅里葉級(jí)數(shù)， （1-44）有限傅里葉級(jí)數(shù)與傅氏級(jí)數(shù)之間的均方誤差為 （1-45） NnnnNtnbtnaatf1110sincos NnnnTNbaattfTe1222002121d11

13、1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）可以證明，在限定級(jí)數(shù)項(xiàng)N 的前提下，傅里葉有限項(xiàng)級(jí)數(shù)是傅氏級(jí)數(shù)的最佳逼近?，F(xiàn)以周期方波為例，分析用傅里葉逼近的情況，如圖1-21所示。分析圖1-21，可以得到如下結(jié)論：（1） 對(duì)逼近程度的影響， 越大，逼近越好，誤差??；1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）（2）基頻部分組成了方波的主體； f(t) N=3 8.948% 吉布斯現(xiàn)象 N=1 0 t -1/2 圖1-21 傅氏級(jí)數(shù)的最佳逼近1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）（3）高頻分量影響信號(hào)頂部的波動(dòng)情況；（4）存在吉布斯現(xiàn)象（Gib

14、bs）。2吉布斯現(xiàn)象所謂吉布斯現(xiàn)象，就是用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)之和重現(xiàn)原信號(hào)波形時(shí)，取的項(xiàng)數(shù)越多，越逼近原波形，波形頂部逐漸平坦，但波動(dòng)現(xiàn)象不會(huì) 1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）消失，其波動(dòng)峰值逐漸向間斷點(diǎn)靠近，即使在 時(shí)，這一現(xiàn)象任然存在，在間斷點(diǎn)處仍然有8.948% 的偏差，這一現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因是由于展開式在間斷點(diǎn)鄰域內(nèi)不能均勻收斂所引起的。N1.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）1.3.5 周期信號(hào)的功率1. 周期信號(hào)是功率信號(hào) 周期信號(hào)的能量為無(wú)窮大，不滿足絕對(duì)可積條件，只能用平均功率來表達(dá)能量，故稱為功率信號(hào)。功率信號(hào)還有

15、隨機(jī)信號(hào)和不衰減的非周期信號(hào)。信號(hào)的平均功率定義為 （1-46）ttfTPTTTd )(1lim2221.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）2. 帕色瓦爾（Parseval）定理帕色瓦爾定理描述了信號(hào)在時(shí)域的能量與信號(hào)在變換域能量的關(guān)系。將周期信號(hào)的平均功率作適當(dāng)改寫，有 （1-47） nnnnnTTFbaattfTP21222022221d11.3 周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析周期連續(xù)信號(hào)的頻譜分析（FS）式（1-47）稱為周期信號(hào)的帕色瓦爾定理。它表明周期信號(hào)的平均功率等于其直流分量及各次諧波分量有效值的平方和。在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率與從 到區(qū)間 的平均功率是一樣的。3周期信號(hào)的功