ch二階常系數(shù)非齊次方程新PPT課件

1、三、二階線性常系數(shù)微分方程的解法二階二階線性常系數(shù)齊次方程的標準形式常系數(shù)齊次方程的標準形式二階二階線性常系數(shù)非齊次方程的標準形式常系數(shù)非齊次方程的標準形式第1頁/共48頁1.1.二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程的通解線性方程的通解0 yqypy)1(分分析析：，不不妨妨設(shè)設(shè)xey 式式，代代入入)1(，02 xxxqeepe ，由由于于0 xe 則則有有02 qp )2(的的稱稱為為方方程程特特征征方方程程00 2 yqypyqp 的根稱為的根稱為特征方程特征方程特征根特征根02 qp 第2頁/共48頁，042 qp的實根：的實根：特征方程有兩個不相等特征方程有兩個不相等21 于是，于是

2、，有兩個特解：有兩個特解：方程方程0 yqypy并并且且)x(xxeee2121 不不是是常常數(shù)數(shù)，的的通通解解為為因因此此方方程程0 qypyy的的兩兩個個根根為為易易知知02 qp 第3頁/共48頁，042 qp實實根根：特特征征方方程程有有兩兩個個相相等等的的 21于是，于是，有一個特解：有一個特解：方程方程0 yqypyxey 1，下下面面尋尋找找另另一一個個特特解解2y不為常數(shù)不為常數(shù)且要求且要求12yy，設(shè)設(shè))(12xuyy ，即即)(2xueyx 則則，)(2uueyx ，)2(22 uuueyx ，得，得代入方程代入方程0 qypyy第4頁/共48頁，0)()2( 2 uqeu

3、upeuuuexxx 即即，0)()2(2 uqpupuex 由于由于，02 qp ，02 p 則有則有0 u，不妨取不妨取xu 則另一個特解為則另一個特解為xxey 2的的通通解解為為從從而而方方程程0 qypyy第5頁/共48頁，042 qp根根：特特征征方方程程有有一一對對共共軛軛復(fù)復(fù))0(2 , 1 i于是，于是，有兩個特解：有兩個特解：方程方程0 yqypy，xiey)(1 xiey)(2 利用歐拉公式：利用歐拉公式： sincosiei 于是，于是，xixeey 1，)sin(cosxixex xixeey 2，)sin(cosxixex 第6頁/共48頁而而)(2121yy ，x

4、ex cos )(2121yyi ，xex sin 且且xxexexx cotsincos 不不是是常常數(shù)數(shù)的的通通解解為為因因此此0 qypyy第7頁/共48頁；寫出方程的特征方程寫出方程的特征方程0)1(2 qp 求求出出特特征征方方程程的的根根；)2(同同情情況況寫寫出出方方程程的的通通解解）根根據(jù)據(jù)特特征征方方程程根根的的不不（3特特征征方方程程的的根根微分方程的解微分方程的解21 xxeCeCy2121 21 xexCCy )(21 i 2, 1)sincos(21xCxCeyx 第8頁/共48頁解解求下列方程的通解或特求下列方程的通解或特例例1；032)1( yyy；，2402)2

5、(00 xxyyyyy054)3( yyy解解)1(，特特征征方方程程0322 特特征征根根：所以通解為所以通解為)2(，特征方程特征方程0122 特特征征根根：所以通解為所以通解為代入通解中，得代入通解中，得將將40 xy；41 C從而從而xexCy)4(2 即即有有，)4(22CxCeyx 得得代入代入20 xy62 C于是所求特解為于是所求特解為第9頁/共48頁，特征方程特征方程0542 特特征征根根：所以通解為所以通解為)3(系系數(shù)數(shù)齊齊次次可可推推廣廣到到一一階階或或高高階階常常,法法利利用用特特征征根根求求通通解解的的方方線線性性方方程程的的求求解解中中求解一階方程求解一階方程例如

6、例如03 yy，特征方程特征方程03 特征根特征根3 因因此此通通解解為為xCey3 第10頁/共48頁，的的釘釘子子上上一一鏈鏈條條掛掛在在一一個個無無摩摩擦擦一邊一邊假定運動開始時鏈條自假定運動開始時鏈條自米，米，垂下垂下 8米，米，另一邊垂下另一邊垂下 10需多少時間？需多少時間？試問整個鏈條劃過釘子試問整個鏈條劃過釘子解解度為度為鏈條垂下較長一邊的長鏈條垂下較長一邊的長設(shè)在時刻設(shè)在時刻 t米，米，s，鏈條的線密度為鏈條的線密度為 則則有有g(shù)sgs )18( 18 22ddts即即初始條件：例2ss 18，令令9 sx，且有且有22tstxdddd22 則方程化為則方程化為二階常系數(shù)齊次

7、微分方程第11頁/共48頁其其通通解解為為即即ttggeCeCs33219 由由初初始始條條件件：，10)0( s，0)0( s可得可得，2121 CC ttggees33219于是于是從從而而有有時時，當當18 s第12頁/共48頁2. 2. 二階常系數(shù)二階常系數(shù)非齊次非齊次線性方程線性方程)( xfyqypy )3(；的通解的通解求對應(yīng)齊次方程求對應(yīng)齊次方程)(0)1( xyyqypyc ；的一個特解的一個特解求方程求方程)()()2( xyxfyqypyp 寫出通解寫出通解)()()3(xyxyypc 解解為幾種函數(shù)時的方程特為幾種函數(shù)時的方程特數(shù)法”，求數(shù)法”，求下面介紹利用“待定系下

8、面介紹利用“待定系)(xf第13頁/共48頁)(次次多多項項式式是是為為常常數(shù)數(shù)，mxPm 的一個特解形式為的一個特解形式為假設(shè)方程假設(shè)方程)3(是待定多項式）是待定多項式）（其中（其中)(xQ有有，)()(xQxQeyxp ，)()(2)( 2xQxQxQeyxp ，得，得代入方程代入方程，將將)3( pppyyy)()()()()(2)( 2xQqexQxQpexQxQxQexxx 化化簡簡，得得)(xPemx 第14頁/共48頁的根，的根，不是特征方程不是特征方程若若0) i (2 qp 次次多多項項式式為為則則)()(xQmxQm的的單單根根，是是特特征征方方程程若若0)ii(2 qp

9、 化為化為則方程則方程)4()()()2()( xPxQpxQm 0111.)(bxbxbxbxQmmmmm 011,.,bbbbmm 代代入入方方程程，確確定定系系數(shù)數(shù)從從而而求求得得方方程程的的特特解解次次多多項項式式必必是是mxQ)( )()()()()2()(2 xPxQqpxQpxQm )4(特征方程特征方程02 qp 第15頁/共48頁，其中其中的的一一個個特特解解形形式式為為，則則方方程程若若)3()()(xPexfmx )()(2xQxxQm 則則可可令令)()( xPxQm 的重根，的重根，是特征方程是特征方程若若0)iii(2 qp 化為化為則方程則方程)4(則則可可令令)

10、()(xQxxQm 第16頁/共48頁求方程通解求方程通解例例 3；12)1( xyy解解，對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程0 yy，特征方程特征方程02 ，特征根特征根10 則齊次方程的通解為則齊次方程的通解為設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為，則則baxyp 2，ayp2 代入原微分方程，代入原微分方程，將將 pppyyy得得12)2(2 xbaxa比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得22 a12 ba，解解得得1 a，3 b所得特解為所得特解為xxyp32 因此所求通解為因此所求通解為第17頁/共48頁，對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程032 yyy，特特征征方方程程0322 ，特征根特征根13 則則齊齊次次方方程程的的通通

11、解解為為，設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為xxpaeexay220 ，則則xpeay22 ，xpeay24 代入原微分方程，得代入原微分方程，得，xxxxeeaeaea2222344 由此可知：由此可知：51 a所以特解為所以特解為xpey251 因而所求通解為因而所求通解為；xeyyy232)2( 第18頁/共48頁，對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程02 yyy，特征方程特征方程0122 兩重兩重特征根特征根)(1 則齊次方程的通解為則齊次方程的通解為，設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為xpebaxxy)(2 23223bxaxbxaxeyxp ，2)46()6(23 bxbaxbaaxeyxp 則則代入原微分方程，

12、得代入原微分方程，得26baxex xxe2 比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得26 a02 b，解得解得31 a0 b求得特解為求得特解為xpexy331 因此所求通解為因此所求通解為，2)3(23bxxbaaxex xexyyy22)3( 第19頁/共48頁的一個特解的一個特解求方程求方程例例xexyyy264 解解 py設(shè)設(shè)則則，xxpexcecay222 ，xxpexcecy2244 代入方程，得代入方程，得，xxxxxxexcxebaxexcecaexcec222222 6244 即即xxexaxbaec22665 比比較較系系數(shù)數(shù)，得得15 c16 a06 ba解解得得，61 a，361 b

13、，51 c所以特解為所以特解為，特征方程特征方程062 ，特征根特征根32 疊加原理疊加原理第20頁/共48頁滿足初始條件滿足初始條件求方程求方程例例xxeeyyy 250)0(0)0( yy，的特解的特解解解對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程，02 yyy，特征方程特征方程0122 ，兩重兩重特征根：特征根：)(1 齊次方程的通解為齊次方程的通解為 py設(shè)設(shè)xea，xexb 2則則，xxxpebxebxeay 22，)24(2 bbxbxeeayxxp 第21頁/共48頁代入所給方程，得代入所給方程，得，xxxxeeebea 24，得，得比較兩端同類項的系數(shù)比較兩端同類項的系數(shù)14 a12 b，解得解

14、得41 a21 b得到一個特解為得到一個特解為于是所給方程的通解為于是所給方程的通解為，得，得由由0)0( y；411 C而而xxxxxxeexeeCxCCey 22212141)(，得得代代入入0)0( y212 C因此所求特解為因此所求特解為第22頁/共48頁次次多多項項式式次次及及分分別別為為、其其中中mlxPxPml)()(其特解形式可設(shè)為其特解形式可設(shè)為次多項式，次多項式，分別為分別為、其中其中nxRxQnn)()(即即，是是特特征征根根的的重重數(shù)數(shù)而而取取按按. 10 ik 第23頁/共48頁求方程通解求方程通解例例6；xxyy2cos)1( xeyyyxsin54)2(2 解解)

15、1(對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，0 yy，特征方程特征方程012 ，特征根：特征根：i 齊齊次次方方程程的的通通解解為為則則，xdcxxcxbaxxayp2cos)(22sin2sin)(22cos ，xdcxxcxbaxxayp2sin)(42cos42cos)(42sin4 第24頁/共48頁代入所給方程，得代入所給方程，得，xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos)433( ，得得比比較較兩兩端端同同類類項項的的系系數(shù)數(shù)13 a043 cb03 c043 ad解解得得，31 a，0 b，0 c94 d得到一個特解為得到一個特解為于于是是，所所求求通通解解為為第25頁/共4

16、8頁對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程，特特征征根根：i 2 齊次方程的通解為齊次方程的通解為，054 yyy，特征方程特征方程0542 設(shè)特解為設(shè)特解為則則，sin)2(cos)2(2xaxbxbxbxaxaeyxp ，sin)4324(cos)4324(2 xaxbxabxbxaxbaeyxp xeyyyxsin54)2(2 第26頁/共48頁代入所給方程，化簡得代入所給方程，化簡得，xexaxbexxsinsin2cos222 ，得得比比較較兩兩端端同同類類項項的的系系數(shù)數(shù)02 b12 a，解得解得021 ba得到一個特解為得到一個特解為于是，所求通解為于是，所求通解為第27頁/共48頁例7的通解

17、。的通解。求方程求方程xexyyyx4cos)1(8622 解：對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程為為086 yyy特特征征方方程程0862 42，特征根為特征根為 齊齊次次方方程程的的通通解解為為代入方程并整理得122)46(62111121 xcbxbaxa第28頁/共48頁比較系數(shù)得：比較系數(shù)得： 1220461611111cbbaa43,41,61111 cba解得：解得：方方程程的的特特解解為為xexxxy221)434161( 代入方程并整理得：代入方程并整理得：比較系數(shù)得：比較系數(shù)得： 082412482222babaxxabxba4cos4sin)248(4cos)248(2222

18、第29頁/共48頁)4sin34(cos8012xxy 解得：解得：解解為為所所以以，原原方方程程的的一一個個特特xexxx22)434161( )4sin34(cos801xx 所所以以方方程程的的通通解解為為第30頁/共48頁，或或中含有中含有若若xxxf cossin)()1(檢驗：檢驗：)2(代入所給方程中，代入所給方程中，將所設(shè)特解形式將所設(shè)特解形式py若不可能成為若不可能成為恒恒等等式式，的形式錯的形式錯則則py；求求對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解cy)1(；解解求所給非齊次方程的特求所給非齊次方程的特py)2(；寫出所給方程的通解寫出所給方程的通解pcyyy )3(代入初始

19、條件代入初始條件)4(第31頁/共48頁8例例,)()(sin)(0 xdttftxxxf設(shè)設(shè))()(xfxf為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，求求解：原式可改寫為 xxdtttfdttfxxxf00)()(sin)(0)0(0 fx時時，得得初初始始條條件件當當兩兩端端求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)()()(cos)(0 xxfxxfdttfxxfx 1)0(, 0 fx得另一初始條件，得另一初始條件，上式中，令上式中，令兩端求導(dǎo)數(shù)，得)(sin)(xfxxf 即 xdttfx0)(cos第32頁/共48頁對應(yīng)的齊次方程特征方程為012 有一對共軛復(fù)根i 對應(yīng)齊次方程的通解為,是是特特征征方方程程的的根根由由于于ii

20、 可可設(shè)設(shè)方方程程的的特特解解為為)sincos(xBxAxyp 代入方程，得xxAxBsinsin2cos2 比較同類項系數(shù)： 1202AB滿足初值問題滿足初值問題所以，所以，)(xf0 yy第33頁/共48頁解得：0,21 BA于是方程的一個特解為其通解為代入初始條件，得 121)0(0)0(21CyCy21, 021 CC于是，所求函數(shù)為第34頁/共48頁例10的的反反函函數(shù)數(shù)是是且且）上上有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在（設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()(, 0)(xyyyxxyxyy 所滿足的微分方程所滿足的微分方程試將試將)()1(yxx 0)(sin(322 dydxxydyxd滿足的微分方

21、程；滿足的微分方程；變換為變換為)(xyy 件件）求求變變換換后后滿滿足足初初始始條條（2的特解。的特解。23)0(, 0)0( yy解：）（ 1ydydx 1由于由于)1(22ydyddyxd dydxydxd )1(yyy 1)(23)(yy 代入原方程整理得：代入原方程整理得：第35頁/共48頁(2)對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為xypsin21 非齊次方程的特解為非齊次方程的特解為通解為通解為由由初初始始條條件件，有有 2321)0(0)0(2121CCyCCy1, 121 CC所求特解為所求特解為第36頁/共48頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1,

22、 2) 重根重根, 則設(shè)特解為則設(shè)特解為為特征方程的為特征方程的 k (0, 1 )重根重根, 則設(shè)特解為則設(shè)特解為3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.第37頁/共48頁思考與練習(xí)思考與練習(xí)時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為 時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為 1 . (填空填空) 設(shè)設(shè)第38頁/共48頁四、高階線性常系數(shù)微分方程n階線性常系數(shù)方程的一般形式是是是一一連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是常常數(shù)數(shù)，自自由由項項其其中中，系系數(shù)數(shù))(,.,120 xfaaan 齊齊次次方方程程為為方程，設(shè)方程，設(shè)類似于二階常系數(shù)齊次類似于二階常系數(shù)齊次xey 方方程程的的解解為為 則第39頁/共4

23、8頁xnnxxeyeyey )(2,.,代入方程得0).(0111 xnnneaaa 滿滿足足代代數(shù)數(shù)方方程程于于是是，當當且且僅僅當當 是該齊次方程的解是該齊次方程的解時，時，xey 第40頁/共48頁階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次線線性性方方程程n001)1(1)( ypypypynnn特征方程特征方程00111 pppnnn 單實根單實根) i (xe 一一個個解解： i 一對單復(fù)根一對單復(fù)根ii)(xexexx sincos兩兩個個無無關(guān)關(guān)解解： 重重實實根根kiii)(個無關(guān)解：個無關(guān)解：kxkxxxexexxee 12., ik 重復(fù)根重復(fù)根)iv(個無關(guān)解：個無關(guān)解：k2xexxxex

24、exkxx cos,cos,cos1 xexxxexexkxx sin,sin,sin1 第41頁/共48頁求求下下列列方方程程通通解解例例1；054)1()3()4()5( yyy0)2()4( yy解解)1(，特特征征方方程程054345 特特征征根根：0 ，重重)3(i 2 所求通解為所求通解為 y)(23210 xCxCCex )sincos(542xCxCex n次代數(shù)方程有n個根, 而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項, 且每一項各一個任意常數(shù).注意注意第42頁/共48頁，特征方程特征方程014 特特征征根根：22442121 而而2222)1( 0)21)(21(22 ，)1(222 , 1i ，)1(224 ,