拉格朗日中值定理1

1、一 拉格朗日中值定理1定理內(nèi)容拉格朗日中值定理，又被稱為有限增量定理，是微積分中的一個(gè)基本定理。拉格朗日中值公式的形式其實(shí)就是泰勒公式的一階展開式的形式。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用當(dāng)中，拉格朗日中值定有著很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理當(dāng)中使用最為普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和發(fā)展過程都顯示出了數(shù)學(xué)當(dāng)中的一個(gè)定理的發(fā)展是一個(gè)推翻陳舊，出現(xiàn)創(chuàng)新的一個(gè)進(jìn)程。發(fā)現(xiàn)一些新的簡單的定理去替代舊的復(fù)雜的定理，就是由初級(jí)走向高級(jí)。用現(xiàn)代的語言來描述，在一個(gè)自變量x從x變?yōu)閤+1的過程中，如果函數(shù)f(x)本身就是一個(gè)極限值，那么函數(shù)f(x+1)的值也應(yīng)該是一個(gè)極限值，其值就應(yīng)該和f(x)的值近似相等，

2、即f(x+1)-f(x)10這就是非常著名的費(fèi)馬定律，當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)在x=a處可以取得極值，并且函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，則f'x=0。著名學(xué)者費(fèi)馬再給出上述定理時(shí)，此時(shí)的微積分研究理論正處于初始階段，并沒有很成熟的概念，沒有對(duì)函數(shù)是否連續(xù)或者可導(dǎo)作出限制，因此在現(xiàn)代微積分理論成熟階段這種說法就顯得有些漏洞。在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和現(xiàn)在成熟的拉格朗日中值定理是不一樣的，最初的定理是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)任取兩點(diǎn)x0和x1，并且函數(shù)fx在此閉區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，f'(x)的最大值為A，f'x最小值為B，則f(x1)-f

3、(x0)x1-x0的值必須是A和B之間的一個(gè)值。下述就是拉格朗日中值定理:如果存在一個(gè)函數(shù)滿足下面兩個(gè)條件，（1）函數(shù)f 在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；（2）函數(shù)f 在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；那么這個(gè)函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)至少存在著一點(diǎn)，使得f'=f(b)-f(a)b-a.2.定理意義 拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)的微積分屬于重要的定理，是微分中值定理中應(yīng)用最為廣泛的定理，在發(fā)展過程中推算出了其他的微分中值定理，在實(shí)際應(yīng)用中，具有重要的使用價(jià)值。其中，拉格朗日中值定理在幾何運(yùn)算中所具有的意義是：若一個(gè)連續(xù)函數(shù)y=f(x)在兩點(diǎn)Aa,fa、B(b,f(b)之間不存在垂直于x軸的切線，那么在這兩點(diǎn)之間至少存在

4、這一點(diǎn)Cc,fc，這一點(diǎn)的切線平行于直線AB。在運(yùn)動(dòng)學(xué)中所具有的意義是，在任意的一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)過程中至少存在著一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的速度等于這個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)的平均速度。二 拉格朗日中值定理的應(yīng)用在前人對(duì)微分中值定理的研究當(dāng)中，統(tǒng)計(jì)經(jīng)歷了幾百年的時(shí)間，由費(fèi)馬提出費(fèi)馬定理開始，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，從特殊情況到一般情況，從簡單的概念到復(fù)雜的概念這樣的發(fā)展階段。在微積分當(dāng)中，拉格朗日中值定理是一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)知識(shí)。拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)延伸概念，在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中是的很基本概念。拉格朗日中值定理在屬于微積分當(dāng)中的微分中值定理中有著承前啟后的作用，在研究理論上拉格朗日中值定理即是羅爾定理的延伸又銜接了柯西定理，因此，

5、不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函數(shù)的進(jìn)程中有著非常重要的作用。在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用當(dāng)中，拉格朗日中值定理是對(duì)函數(shù)研究的一個(gè)重要工具，并且有著十分廣泛的應(yīng)用。這些作用主要表現(xiàn)在以下幾種情況，比如在求導(dǎo)極限定理、求函數(shù)極限、證明不等式、說明函數(shù)單調(diào)性、討論方程的根是否存在的情況和對(duì)導(dǎo)數(shù)估值等，它在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)通常將問題從難化簡，對(duì)解決難題起到很好的作用。本文著重講解的是拉格朗日中值定理各種的應(yīng)用。1. 求極限例1. 求解limxaxa-axa-x。分析：我們先將此式子的分子加上一個(gè)aa，然后再減去一個(gè)aa。如，xa-axa-x=xa-ax-aa+aaa-x=aa-axa-x=aa-axa-x-aa

6、-xaa-x此時(shí)，容易看出應(yīng)該構(gòu)建的函數(shù)的形式，令ft=at，gt=ta，假設(shè)這兩個(gè)函數(shù)都在閉區(qū)間a,t或者t,a上連續(xù)并且在相同開區(qū)間上面可導(dǎo)的，并且這兩個(gè)函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)值都分別相等，就是滿足拉格朗日中值定理的條件，這是就分別存在著兩個(gè)點(diǎn)，在x和a之間，當(dāng)xa時(shí)，有a，a 得limxaxa-axa-x=limxaaa-axa-x-aa-xaa-x =limaalna-limaaa-1 =aa(lna-1)例2. 存在函數(shù)f''(x)是連續(xù)的并且有f''(a)0,滿足下列式子fb+x=fb+xf'b+x (0<<1)，求x0 時(shí)的極限。解：運(yùn)

7、用拉格朗日中值定理可以由式子可以計(jì)算出函數(shù)f'(x)在閉區(qū)間b,b+x或者b+x,b的拉格朗日中值定理的形式fb+x-f(b)x=f'b+x,繼上式可以推得f'b+x=f'b+xf''b+1x(0<1<1)。將這個(gè)結(jié)果帶入式子可以計(jì)算得出fb+x=fb+xf''b+x2f''b+x 運(yùn)用泰勒展開公式把函數(shù)fb+x展開得以得到fb+x=fb+xf'b+12x2f''b+2x 由式子可以綜合計(jì)算得到，f''b+1x=12f''b+2x然后求極限，所以x

8、0lim=f''b+2xf''b+1x=f''(b)2f''(b)=12。例3：求出函數(shù)極限limxx2Inarctanx+1-Inarctanx。解：首先，我們先建立一個(gè)輔助函數(shù)fx=Inarctanx，然后再求解。令fx=Inarctanx，此函數(shù)在閉區(qū)間x,x+1上面明顯是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，因此存在一點(diǎn)在此閉區(qū)間上面。根據(jù)拉格朗日中值定理可以得出，Inarctanx+1-Inarctanx=1arctan11+2因?yàn)辄c(diǎn)是在閉區(qū)間x,x+1內(nèi)的一點(diǎn)，所以x<<x+1，可以得到x21+x2>x2

9、1+2>x21+(1+x)2那么在x時(shí)，則limxx21+x2=1，limxx21+(1+x)2=limxx21+x2=1，通過夾逼定理就可以知道limxx21+2=1所以，根據(jù)上面的計(jì)算，原函數(shù)=limxx2arctan11+2=limx1arctanlimxx21+2=2。在運(yùn)用拉格朗日中值定理求解極限的過程中，最主要的步驟就是找到函數(shù)fx和其定義域的取值范圍此時(shí)假設(shè)為閉區(qū)間a,b，這個(gè)時(shí)候的拉格朗日中值定理公式就可以列為fb-fab-a=f'，這個(gè)式子的左邊是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)閉區(qū)間上面兩個(gè)端點(diǎn)值的差與閉區(qū)間長度的比值。因此公式在變成這種形式之后，就可以得出相應(yīng)的函數(shù)與區(qū)間。當(dāng)

10、極限形式為00的未定式，就可以想到需要構(gòu)建一個(gè)中間函數(shù)，此函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后對(duì)函數(shù)采用拉格朗日中值定理的方法去解決問題。在解決這種類型的題目要采用羅爾定理的原因，在現(xiàn)目前大多數(shù)微積分的相關(guān)教材中，在解決類型問題時(shí)多采用構(gòu)建中間函數(shù)運(yùn)用羅爾定理解決問題。在面對(duì)一些題目時(shí)，這些函數(shù)有可能并不滿足拉格朗日中值定理的條件，需要去構(gòu)建一個(gè)中間函數(shù)，去滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后將構(gòu)建的這一函數(shù)與原函數(shù)緊密聯(lián)系起來，再將構(gòu)建的函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)，從而運(yùn)用拉格朗日中值定理去解決問題。當(dāng)遇到典型的極限形式為0型，在此我們應(yīng)該先應(yīng)用洛必達(dá)法則去求解。但是在計(jì)算過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果采用洛

11、必達(dá)法則反而更加麻煩的時(shí)候，應(yīng)該多觀察題目是否可以運(yùn)用拉格朗日中值定理來求解題目，簡化題目，因此我們可以觀察給出的式子中，然后構(gòu)建出拉格朗日中值定理的基本形式，運(yùn)用拉格朗日中值定理去求解這道題目。2證明等式例4.假設(shè)函數(shù)fx=0xln1-ttdt在區(qū)間（-1,1）有意義，證明：fx+f-x=12fx2。證明：令gx=fx+f-x-12fx2=0，求得這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'x=f'x-f'-x-xf'x2=0我們可以根據(jù)題意求得f'x=ln1-xx，因此，g'x=ln1-xx+ln1+xx-ln1-x2x2=0根據(jù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可以得出gx=0，因此

12、證明了原式成立。例5：假設(shè)函數(shù)fx=arccosx+arcsinx在閉區(qū)間0,1上面是連續(xù)的，并且在開區(qū)間(0,1)上面是可導(dǎo)函數(shù)，證明：fx=arccosx+arcsinx=2。證明：由于該函數(shù)fx閉區(qū)間0,1上面是連續(xù)的，并且在開區(qū)間(0,1)上是可導(dǎo)函數(shù)，那么在該去間內(nèi)存在著一點(diǎn)b，使得f'b=f1-f(0)1-0又arccosx'=-11-x2，arcsinx'=11-x2因此，arccosx'+arcsinx'=0，得到f'x=0，則fx是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。在零點(diǎn)有，f0=arccos0+arcsin0=2所以，fx=arccosx+arc

13、sinx=2。根據(jù)拉格朗日中值定理可以推導(dǎo)出一個(gè)結(jié)論，如下所示。假設(shè)函數(shù)fx在一個(gè)固定區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，設(shè)這個(gè)可導(dǎo)區(qū)間為A，則在點(diǎn)x處于區(qū)間A中，就存在著fx的導(dǎo)函數(shù)等于0，那么就證明fx在區(qū)間A中是一個(gè)常數(shù)。利用拉格朗日中值定理去證明等式這是該定理十分重要的一項(xiàng)運(yùn)用，在證明等式的過程中，用題目中給出的證明等式的式子去構(gòu)建出類似于拉格朗日中值定理形式的式子。在證明恒等式時(shí)，可以先假設(shè)這個(gè)恒等式兩邊的式子相減為0，構(gòu)建出一個(gè)新的函數(shù)，然后根據(jù)常熟的導(dǎo)數(shù)為0來證明這個(gè)恒等式成立。2. 證明不等式例6.證明：x1-x2<arcsinx<x，x>0。證明：先假設(shè)fx=arcsinx，在區(qū)間

14、0,x上運(yùn)用拉格朗日中值定理可以得到arcsinxx=11-2arcsinx=x1-2又因?yàn)槭谴嬖谟陂]區(qū)間0,x內(nèi)的，所以<x。x1-2>x1-x2那么，x1-x2<arcsinx<x。例7.證明x1-x<ln1+x<x(x>0).證明：令fa=ln(1+a)，由題意可知0<a<x，則函數(shù)fa在0<a<x這個(gè)區(qū)域內(nèi)是連續(xù)并且可導(dǎo)的函數(shù)，根據(jù)拉格朗日中值定理運(yùn)算可以得到fx-f0=f'x(0<<x),則，可以得到ln(1+a)=x1-由于0<<x，則11+x<11+<1所以就可以得到x1

15、-x<ln1+x<x(x>0)。在求解不等式的時(shí)候，把異于其他式子的函數(shù)用拉格朗日中值定理表示出來，推算出相似的式子進(jìn)行比較，然后證明原式的大小。求解不等式的基本思想是，在拉格朗日中值定理中的公式形式為，存在一點(diǎn)在開區(qū)間a,b內(nèi)，不管點(diǎn)在該區(qū)間的哪一點(diǎn)，都可以根據(jù)拉格朗日中值定理計(jì)算出f'(x)的值域的取值范圍，還可以利用導(dǎo)數(shù)f'x的兩端點(diǎn)值，運(yùn)用拉格朗日中值定理得出的f'()就可以得到所需的不等式，此時(shí)f'a+c=fa+c-fac(0<<1)此時(shí)，c=b-a，然后根據(jù)題意適當(dāng)調(diào)節(jié)數(shù)值的大小，得到適當(dāng)?shù)氖阶泳湍茏C明不等式。4.判斷級(jí)

16、數(shù)斂散性例8：證明函數(shù)Sn=n=11n發(fā)散。證明：令fa=lna，這個(gè)函數(shù)在區(qū)間（n,n+1）這個(gè)區(qū)域內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此在這個(gè)區(qū)間之內(nèi)至少存在著一點(diǎn)，使得fn+1-fn=f'=1因?yàn)辄c(diǎn)在這個(gè)區(qū)間之內(nèi)，因此1>1n可以推導(dǎo)出，ln2-ln1<1，ln3-ln2<12，ln4-ln3<13，ln(n+1)-lnn<1n，將上述所有的不等式相加可以得到lnn+1<1+12+13+1n=Sn。limnSn=limnln(1+12+13+1n)=+因此，函數(shù)Sn=n=11n發(fā)散。例9：證明函數(shù)Sn=n=1ln（1+1n）發(fā)散。證明：因?yàn)楹瘮?shù)

17、lnx在閉區(qū)間1,+上滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此閉區(qū)間n,n+1上存在著一點(diǎn)使得，lnn+1n=lnn+1-lnn=1又1n+1<lnn+1n<1n上一個(gè)例題已經(jīng)證明了級(jí)數(shù)1n是發(fā)散的，所以此函數(shù)也是發(fā)散的。5.研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)例10.證明：若存在一個(gè)函數(shù)fx在區(qū)間（a,b）（該區(qū)間是無窮或有窮區(qū)間）內(nèi)存在這一個(gè)有界的導(dǎo)函數(shù)f'x，那么這個(gè)函數(shù)在fx在區(qū)間(a,b)是一致連續(xù)的。證明：假設(shè)在a<x<b時(shí)，存在f'xM，那么存在著屬于區(qū)間(a,b)的兩點(diǎn)m、n，在這兩點(diǎn)之間運(yùn)用拉格朗日中值定理存在著fm-fnm-n=f'(n<

18、<m)那么，f'xM，存在一點(diǎn)>0，使=M，由于m、n這兩點(diǎn)在區(qū)間(a,b)內(nèi)，則有m-n，運(yùn)用拉格朗日中值定理可以得到fm-fn=m-nf'm-nM根據(jù)一致連續(xù)定理可以知道，函數(shù)在fx在區(qū)間(a,b)是一致連續(xù)的。例11：函數(shù)fx=2x2-8，即f'x=4x。當(dāng)x在開區(qū)間0,+時(shí)，有f'x>0，fx在開區(qū)間0,+單調(diào)遞增；當(dāng)x在開區(qū)間-,0時(shí)，有f'x<0，f(x)在開區(qū)間-,0單調(diào)遞減。在x=0，有f'(0)=0，f0=-8。由上述例子說明，想要確定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可以通過求得這個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來求得判斷單調(diào)區(qū)間。當(dāng)一

19、個(gè)函數(shù)在某個(gè)確定的區(qū)間內(nèi)，存在著f'x>0，fx在這個(gè)確定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；f'x<0，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。在f'(0)=0時(shí)，那么這一點(diǎn)就是這個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)。在例1中，當(dāng)1<x<3，f3-f(1)3-2=8=f'(2)，這就是拉格朗日中值定理最簡單的形式。拉格朗日中值定理將導(dǎo)數(shù)和函數(shù)運(yùn)算連接在了一起，因此我們可以借用拉格朗日中值定理的導(dǎo)數(shù)形式去了解在函數(shù)在區(qū)間上面的性質(zhì)。函數(shù)在區(qū)間上面的性質(zhì)包括了函數(shù)的單調(diào)性、連續(xù)性等。例10是拉格朗日中值定理對(duì)連續(xù)性的證明，例11是利用拉格朗日中值定理對(duì)區(qū)間單調(diào)性的證明。在拉格朗日中值定理中

20、，有兩個(gè)要求條件，一個(gè)是在一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，一個(gè)是在相同期間開區(qū)間可導(dǎo)，不滿足這兩個(gè)條件，拉格朗日中值定理在此種情況下是沒有意義的。6.估值問題在解決估值問題的時(shí)候，我們通常采用的泰勒公式來解決。但是在有些特殊的情況下，可以采用拉格朗日中值定理更加簡便。例12.假設(shè)導(dǎo)函數(shù)f'x在閉區(qū)間m,n上是連續(xù)函數(shù)，并且fm=fn=0。證明：nm|f'x|dx4n-mmaxmxn|fx|。證明：若函數(shù)fx是恒等于0的，那么這個(gè)不等式顯然是正確的。那么接下來考慮函數(shù)fx不恒等于0的情況。在區(qū)間m,n上存在著一點(diǎn)c，使得，maxmxn|fx|=fc然后，將閉區(qū)間m,n分為兩個(gè)閉區(qū)間m,c、c,

21、n，運(yùn)用拉格朗日中值定理得到，fcc-m=f'()、-fcn-c=f'，那么nm|f'x|dx|f'x|dxf'xdx=f'-f'=|fc(n-m)1n-c(c-m)|然后再把式子n-cc-m<(n-m)24帶入上面的式子，就可以證明nm|f'x|dx4n-mmaxmxn|fx|。7.證明方程根的存在性例13.函數(shù)fx在閉區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo)，并且此函數(shù)的值域在開區(qū)間(0,1)內(nèi)，在開區(qū)間（0,1），不存在函數(shù)等于-1的情況，證明：方程fx+x-1=0在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在唯一的實(shí)根。證明：令gx=fx+x-1，則gx在開區(qū)間

22、(0,1)內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，又0<f(x)<1，那么g0=f0-1<0，g1=f1>0。根據(jù)零點(diǎn)定理可以得到，gx在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在著一個(gè)實(shí)根，即fx+x-1=0。 在證明此方程是否在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在唯一實(shí)根，采用反證法來證明。方程fx+x-1=0在開區(qū)間(0,1)存在著兩點(diǎn)a,b（0<a<b<1），那么將這兩點(diǎn)代入方程中可以得到，fa=1-a，fb=1-b，此時(shí)，運(yùn)用拉格朗日中值定理對(duì)這兩點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算可以得到f'=fb-fab-aa<<b=1-b-(1-a)b-a=-1此時(shí)，已經(jīng)與題目中函數(shù)不等于-1的情況相沖突了，因此

23、這個(gè)方程在此區(qū)間內(nèi)只有唯一的實(shí)根。例14：證明方程x3+x-1=0只存在一個(gè)根。證明：先令fx=x3+x-1f0=-1，f1=1因此，在閉區(qū)間0,1內(nèi)，存在這一點(diǎn)a使得fa=0，所以點(diǎn)a就是這個(gè)函數(shù)的一個(gè)正根。假設(shè)這個(gè)函數(shù)還存在著一個(gè)正根b>a，那么在閉區(qū)間a,b內(nèi)，這個(gè)函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，有fa=fb，則在此區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)c使得f'c=0，則f'c=3x2+1=0這是矛盾的，所以這個(gè)方程就只有一個(gè)根。在證明方程根的存在性的過程中，可以依據(jù)所給出的根的取值范圍例如是閉區(qū)間a,b，把函數(shù)假設(shè)為fx，然后利用拉格朗日中值定理對(duì)方程根的存在性進(jìn)行證明，在證明的過

24、程中，一般是證明函數(shù)是存在的用推導(dǎo)的方法，在證明根的存在性的時(shí)候，一般采用的是反證法。8.拉格朗日中值定理使用誤區(qū) 在拉格朗日中值定理的實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，往往會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤的應(yīng)用。這種誤區(qū)通常在：在用拉格朗日中值定理證明的過程中，可以推導(dǎo)出limx0cos1x=0我們都知道cos1x在x0的極限值是不存在的。因此，這就證明了該定理是錯(cuò)誤的。下面舉例說明：（誤區(qū)一）例15.證明：假設(shè)函數(shù)fx=x2sin1x(x0)0(x=0)，那么函數(shù)fx在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，在開區(qū)間0,x上可導(dǎo)。并且存在著一點(diǎn)a在開區(qū)間(0,x)內(nèi)，使得fx-f0=fax 那么根據(jù)題意，可以得到xsin1x=2asin1a-co

25、s1a cos1a=2asin1a-xsin1x在x0，a0，可以得出cos1a0，從而可以推到出limx0cos1x=0。但是limx0cos1x這個(gè)極限值是不存在的，說明拉格朗日中值定理出錯(cuò)了，但是經(jīng)歷了這么多年發(fā)展的拉格朗日中值定理真的存在錯(cuò)誤嗎？其實(shí)并不是，拉格朗日中值定理是已經(jīng)發(fā)展的很完善的定理，不存在錯(cuò)誤。在上述證明過程中，我們在證明到事實(shí)上以上證明得出limx0cos1x0這個(gè)結(jié)論是正確的。錯(cuò)誤的地方在得出這個(gè)結(jié)論之后，我們不能因此就得到limx0cos1x=0，因?yàn)樵趚趨近于0的過程中，a并沒有一直連續(xù)的趨近于0，a的取值只是x取值的一部分，因此并不連續(xù)，所以得到的極限能夠存在

26、并不能推導(dǎo)出原極限也是存在的，所以并不能推出limx0cos1x=0。（誤區(qū)二）例16：假設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b內(nèi)是連續(xù)的，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)存在著一點(diǎn)，并且在這個(gè)閉區(qū)間a,b內(nèi)存在著兩個(gè)點(diǎn)m、n，使得可以得到式子fm-fn=f'(m-n)，這個(gè)式子的形式與拉格朗日中值定理的形式無異，從上述步驟來看，結(jié)論應(yīng)該是正確的。但是這個(gè)結(jié)論違背了拉格朗日中值定理的需求條件，是錯(cuò)誤的結(jié)論。在拉格朗日中值定理中，一般都是先假定存在著兩點(diǎn)m、n，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上面去提出一點(diǎn)，但是在這個(gè)證明過程中是先提出的存在一點(diǎn)，然后提出這兩點(diǎn)m、n，提出先后順序是相反的，就不一定能得出前者所推導(dǎo)出來的結(jié)論。舉例說明：假設(shè)存在函數(shù)fx=x3，這個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間-1,1內(nèi)是連續(xù)的，在開區(qū)間（-1,1）內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，那么在開區(qū)間（-1,1）內(nèi)存在這一點(diǎn)，這一點(diǎn)剛好是零點(diǎn)，則=0，使得fx=3x2，可以得到f=0，那么在此區(qū)間內(nèi)存在兩點(diǎn)m、n，使得fm-fn= fm-n=0，由于函數(shù)fx=x3在此區(qū)間上面的單調(diào)的，所以在這個(gè)區(qū)間上面不存在m、n這樣的兩點(diǎn)