高校工程數(shù)學(xué)第2節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示教學(xué)課件

1、1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示1、復(fù)平面、復(fù)平面2、復(fù)球面、復(fù)球面3、小結(jié)與思考、小結(jié)與思考一、復(fù)平面一、復(fù)平面1 1、復(fù)平面的定義、復(fù)平面的定義復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=x+iy與一對(duì)有序?qū)崝?shù)與一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x，y)成一一對(duì)應(yīng)。所以一個(gè)成一一對(duì)應(yīng)。所以一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來(lái)表示復(fù)數(shù)，通常把橫軸建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來(lái)表示復(fù)數(shù)，通常把橫軸叫實(shí)軸或叫實(shí)軸或x軸，縱軸叫虛軸或軸，縱軸叫虛軸或y軸，這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平軸，這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面。面叫復(fù)平面。復(fù)平面也稱為復(fù)平面也稱為z平面。平面。),(yx xyxyoiyxz 2、復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=x

2、+iy可以用復(fù)平面上的點(diǎn)可以用復(fù)平面上的點(diǎn)(x，y)表示。表示。復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)，并且常把復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)，并且常把“點(diǎn)點(diǎn)z”作為作為“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z”的同義詞。的同義詞。),(yx xyxyoiyxz 3、復(fù)數(shù)的向量表示法、復(fù)數(shù)的向量表示法復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z還能用從原點(diǎn)指向點(diǎn)還能用從原點(diǎn)指向點(diǎn)(x, y)的向量來(lái)表示的向量來(lái)表示(如圖如圖)。該向量的長(zhǎng)度稱為該向量的長(zhǎng)度稱為z的?；蚪^對(duì)值，記作：的?；蚪^對(duì)值，記作： 0顯然，下列各式成立：顯然，下列各式成立： |x|z|，|y|z| |z|x|+|y|xyxyoiyxz Pr復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角在在z0的情況，表示的情況，表示z的

3、向量與的向量與x軸的交角軸的交角稱為稱為z的的輻角，記作：輻角，記作：Arg z=這時(shí)，有這時(shí)，有tg(Arg z)=y/x說(shuō)明：說(shuō)明：任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z0有無(wú)窮多個(gè)輻角。有無(wú)窮多個(gè)輻角。如果如果1是其中的一個(gè)輻角，那么是其中的一個(gè)輻角，那么z的全部輻角為：的全部輻角為：Arg z=1+2k （k為任意整數(shù)）為任意整數(shù)） (1.2.3)就給出了就給出了z的全部輻角。的全部輻角。復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角在在z（0）的輻角中，我們把滿足：）的輻角中，我們把滿足：0的的0稱為稱為Arg z的主值，的主值，記作：記作：0=arg z。當(dāng)當(dāng)z z落于一落于一, ,四象限時(shí)，不變。四象限時(shí)，不變。 當(dāng)

4、當(dāng)z z落于第二象限時(shí)，加落于第二象限時(shí)，加 。 當(dāng)當(dāng)z z落于第三象限時(shí)，減落于第三象限時(shí)，減 。 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角特殊地：特殊地：當(dāng)當(dāng)z=0時(shí)，時(shí)，|z|=0，而輻角不確定。，而輻角不確定。, 0 x)2arctan2( xy其中其中輻輻角角的的主主值值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy, 計(jì)算計(jì)算argz(z0) 的公式的公式4、復(fù)數(shù)的矢量加減運(yùn)算、復(fù)數(shù)的矢量加減運(yùn)算根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可知，兩個(gè)復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可知，兩個(gè)復(fù)數(shù)z1和和z2的加、減法運(yùn)算和相應(yīng)向量的加減的加、減法運(yùn)算和相應(yīng)向量的加減法運(yùn)

5、算一致法運(yùn)算一致(如圖如圖)。xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)上述運(yùn)算規(guī)則稱為平行四邊形法則。上述運(yùn)算規(guī)則稱為平行四邊形法則。因?yàn)橐驗(yàn)閨z2z1|就是就是z1與與z2之間的距離，因此之間的距離，因此 |z1+z2|z1|+|z2| |z1z2|z1|z2|1z2z21zz xyo1z2z5、共軛復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)z和和 在平面內(nèi)的位置是關(guān)在平面內(nèi)的位置是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的于實(shí)軸對(duì)稱的(如圖如圖)，因而，因而 ，如果如果z不在負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)上，還有：不在負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)上，還有：xyoiyxz iyxz 6、復(fù)數(shù)的三角表示法和指

6、數(shù)表示法、復(fù)數(shù)的三角表示法和指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：x=rcos，y=rsin還可以把復(fù)數(shù)還可以把復(fù)數(shù)z表示為下面的形式：表示為下面的形式：z=r(cos+isin)稱為復(fù)數(shù)的三角表示法。稱為復(fù)數(shù)的三角表示法。復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法利用利用Euler公式（公式（eiz=cosz+isinz，z為任意復(fù)為任意復(fù)數(shù)）：數(shù)）：ei=cos+isin，我們又可以得到：，我們又可以得到：z=rei稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法。稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法。結(jié)論：結(jié)論：復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)換，以復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)換，以適應(yīng)討論不同問(wèn)題時(shí)的需要。適應(yīng)討論不同

7、問(wèn)題時(shí)的需要。歐拉和歐拉公式歐拉和歐拉公式復(fù)平面上圖形復(fù)平面上圖形/曲線的表示曲線的表示很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等或不等式式)來(lái)表示來(lái)表示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式或不等式)來(lái)確定來(lái)確定 它所表示的平面圖形。它所表示的平面圖形。【例例1】例例1 將通過(guò)兩點(diǎn)將通過(guò)兩點(diǎn)z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來(lái)表示來(lái)表示.解解 通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)(x1,y1)與與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為的直線可用參數(shù)方程表示為121121(),()().xxt xxtyyt y

8、y 因此因此, 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2 z1). ( t+ )【例例1】 由此得知由由此得知由z1到到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫(xiě)成的直線段的參數(shù)方程可以寫(xiě)成 z=z1+t(z2 z1). (0 0 t 1 1)取取12t 得知得知直直線段線段的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為122zzz計(jì)算舉例計(jì)算舉例例例1-2-1 將下列復(fù)數(shù)化為三將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式：角表示式與指數(shù)表示式：;5cos5sin)2(;212)1( iziz解解由于由于z在第三象限，所以：在第三象限，所以：0= 5/6z的三角表示式是：的三角表示式是：z=4cos(5/6)+isin

9、(5/6)=4cos(5/6)isin(5/6)z的指數(shù)表示式是：的指數(shù)表示式是：z=4e -5i/6例例1-2-15cos5sin)2( iz 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式為故三角表示式為,103sin103cos iz指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.103iez 練習(xí)練習(xí)練習(xí)：練習(xí)：寫(xiě)出寫(xiě)出 的輻角和它的指數(shù)形式。的輻角和它的指數(shù)形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize計(jì)算舉例計(jì)算舉例例例1-2-2 設(shè)設(shè)z1，z2為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，證明：為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，

10、證明： （1） ； （2）|z1+z2|z1|+|z2|（三角不等式）。（三角不等式）。證證21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 例例1-2-2證證221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 例例1-2-2 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因?yàn)橐驗(yàn)閮蛇呁瑫r(shí)開(kāi)方得兩邊同時(shí)開(kāi)方得.2121zzzz 計(jì)算舉例計(jì)算舉例例例1-2-3 將直

11、線方程將直線方程x+3y=2化為復(fù)數(shù)表示式?；癁閺?fù)數(shù)表示式。解解 由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)（由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)（4），有），有代入所給的方程，可得：代入所給的方程，可得：這就是所給直線方程的復(fù)數(shù)表示式。這就是所給直線方程的復(fù)數(shù)表示式。 計(jì)算舉例計(jì)算舉例例例1-2-4 求下列方程所表示的曲線。求下列方程所表示的曲線。 （1）|z+i|=2 （2）|z2i|=|z+2| （3）解解.2 2 )1(的的點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡為為距距離離表表示示所所有有與與點(diǎn)點(diǎn)方方程程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓

12、方程圓方程例例1-2-422)2( ziz.22距離相等的點(diǎn)的軌跡距離相等的點(diǎn)的軌跡和和表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn) i. 22段的垂直平分線段的垂直平分線的線的線和和連接點(diǎn)連接點(diǎn)故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得.xy 例例1-2-44)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi.3 y所所求求曲曲線線方方程程為為是一條平行于是一條平行于x軸的直線，如軸的直線，如圖所示。圖所示。二、復(fù)球面二、復(fù)球面除了用平面內(nèi)的點(diǎn)或向量來(lái)表示復(fù)數(shù)外，還可以除了用平面內(nèi)的點(diǎn)或向量來(lái)表示復(fù)數(shù)外，還可以用球面上

13、的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)。用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)。1、南極、北極的定義、南極、北極的定義取一個(gè)與復(fù)平面切于坐標(biāo)原點(diǎn)的球，球取一個(gè)與復(fù)平面切于坐標(biāo)原點(diǎn)的球，球上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)與原點(diǎn)O重合重合(如圖如圖)。通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)S作垂直于復(fù)平面的直線與球面作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于相交于N點(diǎn)。點(diǎn)。稱稱N為北極，為北極，S為南極。為南極。xyPNOS南極、北極南極、北極復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z，如果用一條直線把點(diǎn)，如果用一條直線把點(diǎn)z與北極與北極N連接起來(lái)，那么這條直線一定與球面相交于異于連接起來(lái)，那么這條直線一定與球面相交于異于N的一點(diǎn)的一點(diǎn)P。反過(guò)來(lái)，對(duì)于球面上任一異于反過(guò)來(lái)，對(duì)于球面上任一異于

14、N的點(diǎn)的點(diǎn)P，用一條直，用一條直線把線把P與與N連結(jié)起來(lái)，這條直線就與復(fù)平面相交于連結(jié)起來(lái)，這條直線就與復(fù)平面相交于一點(diǎn)一點(diǎn)z。這就說(shuō)明：球面上的點(diǎn)，除去北極這就說(shuō)明：球面上的點(diǎn)，除去北極N外，與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著外，與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。南極、北極南極、北極球面上的點(diǎn)（除北極球面上的點(diǎn)（除北極N外），與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在外），與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。復(fù)數(shù)可以看作是復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)，因此球面上的點(diǎn)，除復(fù)數(shù)可以看作是復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)，因此球面上的點(diǎn)，除去北極去北極N外，與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。所以就可以用球面上的外，與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。所

15、以就可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)。點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)。此時(shí)須注意，球面上的北極此時(shí)須注意，球面上的北極N，還沒(méi)有，還沒(méi)有復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。但當(dāng)?shù)?dāng)z點(diǎn)無(wú)限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，或者點(diǎn)無(wú)限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，或者說(shuō)，當(dāng)復(fù)數(shù)說(shuō)，當(dāng)復(fù)數(shù)z的模的模|z|無(wú)限地變大時(shí)，點(diǎn)無(wú)限地變大時(shí)，點(diǎn)P就無(wú)限地接近于就無(wú)限地接近于N。2、復(fù)球面的定義、復(fù)球面的定義相應(yīng)地相應(yīng)地規(guī)定：規(guī)定：復(fù)數(shù)有一個(gè)唯一的復(fù)數(shù)有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大無(wú)窮大”與復(fù)平面上的與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，并把它記作無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，并把它記作，因而球面上的北極，因而球面上的北極N就是就是無(wú)窮大無(wú)窮大的幾何表示。的幾何表示。定義：定

16、義：球面上的每一個(gè)點(diǎn)，都有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，球面上的每一個(gè)點(diǎn)，都有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，這樣的球面稱為復(fù)球面。這樣的球面稱為復(fù)球面。為使復(fù)平面與球面上的點(diǎn)都能一為使復(fù)平面與球面上的點(diǎn)都能一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，一對(duì)應(yīng)起來(lái)，規(guī)定：規(guī)定：復(fù)平面上有復(fù)平面上有一個(gè)唯一的一個(gè)唯一的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，它與，它與球面上的北極球面上的北極N相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng)。3、擴(kuò)充復(fù)球面的定義、擴(kuò)充復(fù)球面的定義把包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為把包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面擴(kuò)充復(fù)平面。不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面有限復(fù)平面，或，或簡(jiǎn)稱為復(fù)平面。簡(jiǎn)稱為復(fù)平面。對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)

17、，實(shí)部、虛部和幅角的概念均無(wú)意來(lái)說(shuō)，實(shí)部、虛部和幅角的概念均無(wú)意義，但它的模則規(guī)定為正無(wú)窮大，即義，但它的模則規(guī)定為正無(wú)窮大，即|=+。對(duì)于。對(duì)于其他每一個(gè)復(fù)數(shù)其他每一個(gè)復(fù)數(shù)z則有則有|z|+。復(fù)球面的優(yōu)點(diǎn)：復(fù)球面的優(yōu)點(diǎn)：能把擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地能把擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái)。表示出來(lái)。關(guān)于關(guān)于的四則運(yùn)算的四則運(yùn)算 （1）加法：）加法：+=+= （） （2）減法：）減法：= （） （3）乘法：）乘法：= （） （4）除法：）除法：/=0，/= （）/0= （0）關(guān)于關(guān)于的四則運(yùn)算的四則運(yùn)算其他運(yùn)算：其他運(yùn)算：，0，/，不規(guī)定其意義；，不規(guī)定其意義；0/0和實(shí)函數(shù)一樣不確定。和實(shí)函數(shù)一樣不確定。注意：注意：以后如無(wú)特殊聲明，所謂以后如無(wú)特殊聲明，所謂“平面平面”一般仍指一般仍指有限平面，所謂有限平面，所謂“點(diǎn)點(diǎn)”仍指有限平面上的點(diǎn)。仍指有限平面上的點(diǎn)。小結(jié)小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容：復(fù)數(shù)的模、輻角；復(fù)數(shù)