高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊第二冊綜合拔高試卷10

1、試卷第 =page 3 3頁，共 =sectionpages 4 4頁試卷第 =page 4 4頁，共 =sectionpages 4 4頁高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊第二冊綜合拔高試卷10第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明一、單選題1已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD2已知函數(shù)，、，且都有，滿足的實數(shù)有且只有個，給出下述四個結(jié)論：滿足題目條件的實數(shù)有且只有個；滿足題目條件的實數(shù)有且只有個；在上單調(diào)遞增；的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號是ABCD3已知函數(shù)f（x）=ax3（3a2）x28x+12a+7，g（x）=lnx，記h（x）=mi

2、nf（x），g（x），若h（x）至少有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是A（，）B（，+）C，）D，4已知，為三角形所在平面上的一點，且點滿足：，則點為三角形的A外心B垂心C重心D內(nèi)心5函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，若函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)的取值集合是（ ）ABCD6如圖，在棱長為的正方體中，點是平面內(nèi)一個動點，且滿足，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（ ）ABCD二、多選題7已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（ ）A當(dāng)，有1個零點B當(dāng)時，有3個零點C當(dāng)，有4個零點D當(dāng)時，有7個零點8已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令，則下列結(jié)論中正確的是（ ）AB的最大

3、值為C的最小值為1D當(dāng)時，第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題9已知圓點，直線與圓交于兩點，點在直線上且滿足.若，則弦中點的橫坐標(biāo)的取值范圍為_.10已知，若存在，使得與夾角為，且，則的最小值為_.11空間四面體中，.，直線與所成的角為45，則該四面體的體積為_.12已知函數(shù)，則方程恰好有6個不同的解，則實數(shù)的取值范圍為_.四、解答題13某地開發(fā)一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周已有兩條互相垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點A，B現(xiàn)規(guī)劃修建一條新路（由線段MP，線段QN三段組成），其中點M，N分別在OE，OF上，且使得MP，Q

4、N所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點P，Q，所對的圓心角為記PCA（道路寬度均忽略不計）（1）若，求QN的長度；（2）求新路總長度的最小值14已知集合，稱為的第 個分量.對于的元素，定義 與的兩種乘法分別為：給定函數(shù)，定義上的一種變換.（1）設(shè)，求和；（2）設(shè)，對于，設(shè)，對任意且，定義當(dāng)時，求證：中為0的分量個數(shù)不可能是2個；若的任一分量都只能取或，設(shè)的第1個分量為，求的最小正周期的最小值，并求出此時所有的.15已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求滿足的值；（2）當(dāng)時，存在，不等式有解，求的取值范圍；若函數(shù)滿足，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；16已知二次函數(shù)（1）若且方程有整數(shù)解，試求：，

5、的值；（2）若在上與軸有兩個不同的交點，求的取值范圍；（3）若時，且在區(qū)間，上的最大值為1，試求的最大值與最小值.答案第 = page 27 27頁，共 = sectionpages 27 27頁答案第 = page 26 26頁，共 = sectionpages 27 27頁參考答案1D【分析】先利用分段函數(shù)的單調(diào)性求出的一個范圍，然后將函數(shù)有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為和有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合法可知，當(dāng)時，和有1個不同的交點，從而得到與有一個交點，再利用圖象分析求解即可.【詳解】因為函數(shù)當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，又因為在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，所以且，解得，令，即，令，則函數(shù)有三個不同的零點，等

6、價于和有三個不同的交點，當(dāng)時，分別畫出和的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時，和有2個不同的交點，故只需滿足：當(dāng)時，和有1個不同的交點，即當(dāng)時，化簡，即，令，即與有一個交點，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，易知，所以或，解得或，當(dāng)時，如圖只有兩個交點，不符合題干中的要求三個零點，舍去故，綜上：的取值范圍為.故選：D【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函

7、數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點2D【分析】設(shè)，由，得出，由題意得出為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得出，進(jìn)而對各結(jié)論進(jìn)行驗證.【詳解】，當(dāng)時，.設(shè)進(jìn)行替換，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于函數(shù)在上滿足的實數(shù)有且只有個，即函數(shù)在上有且只有個零點，由圖象可知，解得，結(jié)論正確；由圖象知，在上只有一個最小值點，有一個或兩個最大值點，結(jié)論正確，結(jié)論錯誤；當(dāng)時，由知，所以在上遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)論正確綜上，正確的有.故選D【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的零點、最值點以及單調(diào)性有關(guān)命題的判斷，解題時要充分計算出對象角的取值

8、范圍，并作出圖象進(jìn)行驗證，考查推理能力，屬于難題.3D【分析】根據(jù)選項，選擇a=0和 a進(jìn)行判斷，分別排除，即可得解.【詳解】當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=ax3（3a2）x28x+12a+7，化為：f（x）=2x28x+7，函數(shù)的對稱軸為x=2，f（2）=10，f（1）=10，結(jié)合已知條件可知：h（x）=minf（x），g（x），若h（x）有三個零點，滿足題意，排除A、B選項，當(dāng)a時，f（x）x3（2）x28x7，f（x），令3x2+26x64=0，解得x=2或x，x（，），x（2，+），f（x）0，函數(shù)是增函數(shù)，x（，2），f（x）0，函數(shù)是減函數(shù)，所以x=2時函數(shù)取得極小值，f（2）=0，所

9、以函數(shù)由3個零點，滿足題意，排除C，故選：D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，考查了分類討論思想和排除法，要求較高的計算能力，屬于難題.4D【分析】在上分別取單位向量，記，則平分，用表示出，代入條件所給等式，用表示出，則可證明三點共線，即平分.同理證得在其它兩角的平分線上，由此求得是三角形的內(nèi)心.【詳解】在，上分別取點使得，則，作菱形，則由所以為的平分線.因為，所以，所以，所以三點共線，即在的平分線上. .同理證得在其它兩角的平分線上，由此求得是三角形的內(nèi)心.，故選D.【點睛】本小題主要考查平面向量的加法運算，考查三點共線的證明，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，

10、屬于中檔題.5D【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)周期為，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為與直線只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，即，的周期為.時，周期為4，當(dāng)，當(dāng)，做出函數(shù)圖像，如下圖所示：令，當(dāng)，兩邊平方得，此時直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個交點，同理，直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個交點，則要使函數(shù)在內(nèi)與直線只有一個交點，則滿足，周期為4，范圍也表示為，所以所有的取值范圍是.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)零點的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性和對稱性，利用數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.6A【分析】求得點

11、的軌跡是平面內(nèi)以點為圓心，半徑為的圓，可得，進(jìn)而可得出題中所求角等于直線與直線的夾角，然后過點作平面于點，過點作于點，連接，找出使得最大和最小時的位置，進(jìn)而可求得所求角的余弦值的取值范圍.【詳解】連接交平面于點，延長線段至點，使得，連接、，如下圖所示：已知在正方體中，底面，平面，又四邊形為正方形，所以，平面，平面，同理，平面，三棱錐的體積為，可得，所以，線段的長被平面與平面三等分，且與兩平面分別垂直，而正方體的棱長為，所以，如下圖所示：其中，不妨設(shè)，由題意可，所以，可得，所以，點在平面內(nèi)以點為圓心，半徑為的圓上.因為，所以，直線與直線的夾角即為直線與直線所成角.接下來要求出線段與的長，然后在中

12、利用余弦定理求解.如圖，過點作平面于點，過點作于點，連接，根據(jù)題意可知，且，所以，.如圖所示，當(dāng)點在處時，最大，當(dāng)點在處時，最小.這兩種情況下直線與直線夾角的余弦值最大，為；當(dāng)點在點處時，為直角，此時余弦值最小為.綜上所述，直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是確定點的軌跡，考查推理能力與計算能力，屬于難題.7ABD【分析】令得，利用換元法將函數(shù)分解為和，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【詳解】令，得，設(shè)，則方程等價為，函數(shù)，開口向上，過點，對稱軸為對于A，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x只

13、有一解，即函數(shù)有1個零點，故A正確；對于B，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x有3個解，即函數(shù)有3個零點，故B正確；對于C，當(dāng)時，圖像如A，故只有1個零點，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有3個根，其中，由可知，此時x有3個解，由，此時x有3個解，由，此時x有1個解，即函數(shù)有7個零點，故D正確；故選：ABD【點睛】方法點睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先

14、將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題8AB【分析】應(yīng)用同角平方關(guān)系、二倍角余弦公式得，A將代入求區(qū)間，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求，B、C討論與的遞增區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合已知區(qū)間的長度為，分析不同情況下的的取值范圍，進(jìn)而確定最大、小值，D由題設(shè)知，或，結(jié)合區(qū)間長度即可求t.【詳解】A：當(dāng)時，由，得，此時，于是，正確由可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)，即時，則有，而，即當(dāng)，即時，函數(shù)的最小正周期，而區(qū)間的長度為，即，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，的最大值為，最小值為，故B

15、正確，C錯誤D：當(dāng)時，必有，或，由于區(qū)間的長度為，即，所以，即，錯誤故選：AB【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解最值的關(guān)鍵是想到將區(qū)間放到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間上和函數(shù)的關(guān)于對稱軸對稱的區(qū)間上考慮；判斷D的關(guān)鍵是能夠結(jié)合的值域和的取值得到，或，從而得到結(jié)果9【分析】當(dāng)直線斜率不存在時，易求得；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，利用直線與圓有交點可求得；將直線方程與圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式；根據(jù)和可整理得到，滿足的方程，代入韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得；當(dāng)時，知；當(dāng)時，可將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用對號函數(shù)的性質(zhì)可求得值域，即為所求的范圍；綜合兩類情況可得最終結(jié)果.【詳解】設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，此時，滿足

16、，此時；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為：，與圓有兩個不同交點，即，由得：，設(shè)，則，.，解得：，由得：，整理得：，整理得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，代入式得：，解得：，當(dāng)時，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：弦中點的橫坐標(biāo)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用、向量共線的坐標(biāo)表示、函數(shù)值域的求解等知識；求解本題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合韋達(dá)定理的形式，將所求的點的橫坐標(biāo)表示為關(guān)于直線斜率的函數(shù)關(guān)系式的形式，從而利用對號函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)值域；本題計算量較大，難度較高，對學(xué)生的分析和解決問題能力、運算和求解能力有較高要求.10【分析】設(shè)，可得共線，又，當(dāng)為最小時最

17、小，而此時、關(guān)于y軸對稱，結(jié)合已知即可求的最小值.【詳解】由題意，令，故有共線，故當(dāng)且僅當(dāng)為最小時，最小， 有、關(guān)于y軸對稱時，最小，此時到AB的距離為，即.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用向量的線性關(guān)系及共線性質(zhì)，可知，、的終點共線，且可分析得、關(guān)于y軸對稱時，最小，進(jìn)而求最小值即可.11【分析】由條件可得，為直角三角形，作直角三角形和斜邊上的高BE，DF，作平行四邊形BEFG，由此可得直線BD與AC的平面角為DBG，AC平面DFG，解三角形確定三棱錐D-ABC底面ABC上的高，利用體積公式求體積.【詳解】 AB=2，BC=，AC=4， 為直角三角形，同理可得為直角三角形，如圖，作直角三

18、角形和斜邊上的高BE，DF，則AE=CF=1 E，F(xiàn)是線段AC的兩個四等分點，作平行四邊形BEFG，則BEAC，DFAC，由線面垂直判定定理可得AC平面DFG，又AC平面ABGC, 平面ABGC平面DFG，在平面DFG內(nèi)，過點D作DHFG,垂足為H,由面面垂直的性質(zhì)定理可得DH平面ABGC， DH為四面體ABCD的底面ABC上的高，由三角函數(shù)定義可得又因為BGAC，所以BGDG,又因為直線BD與AC所成的角為45，所以DBG=45， 為等腰直角三角形， GD=GB=EF=2在中GD=2，BE=DF=由余弦定理可求得， 所以四面體的體積.故答案為：.【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法

19、，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角12【分析】令，作出圖象，作出圖像，通過圖象分析解的各種情況【詳解】令，作出圖象，作出圖像，時，有兩根，設(shè)為，則，即，此時有2個根，此時有2個根，共4個根，不滿足條件.時，解得或或6，即，無解，2解，2解，共4個解，不滿足條件.時，有四個根，設(shè)為，其中，即，無解，無解，2解，2解，共4個

20、解，不滿足條件.時，有4個根，0，2，（），1解，1解，2解，2解，共6解，滿足條件.時，有3個根，設(shè)為，其中，即有2解，有2解，有2解，共6解，滿足條件.時，有兩根和3，有2個根，有2個根，共4個根，不滿足條件，綜上.故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)與方程根的分布問題，解題時可把復(fù)雜的方程簡單化，如設(shè)，方程化為，這樣可作出兩個函數(shù)和的圖象，由圖象分析方程根的所有可能情形，從而得出結(jié)論數(shù)形結(jié)合思想是解這類問題的重要思想方法13（1）1千米；（2）【分析】（1）連接CB，CN，CM，可得，OM，ON，PM，QN均與圓C相切，通過圓心角為可求出QCB，從而得到四邊形BCQN是正方形，進(jìn)而可得QNCQ

21、1，（2）因為PCA，所以MCP，NCQ，利用弧長公式可求得MP，NQ，由于，所以（，），設(shè)新路長為，則，然后結(jié)合基本不等式進(jìn)行計算即可得解【詳解】（1）連接CB，CN，CM，因為OMON，所以O(shè)M，ON，PM，QN均與圓C相切所以CBON，CAOM，CPMP，CQNQ，所以CBCA因為PCA，PCQ，所以QCB，此時四邊形BCQN是正方形，所以QNCQ1，答：QN的長度為1千米；（2）PCA，可得MCP，NCQ，則MP，NQ設(shè)新路長為，其中（，），即，當(dāng)時取“”，答：新路總長度的最小值為【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，考查化歸與

22、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題14（1），；（2）見解析；，或.【分析】（1）根據(jù)定義計算可得相應(yīng)的計算結(jié)果.（2）利用反證法結(jié)合分量的特征可證明該結(jié)論.先求出，找出一般規(guī)律后可求出，結(jié)合解析式的形式可得到何時的最小正周期有最小值.【詳解】（1），故，（2）：當(dāng)時，故，即，同理，類似的求法，有：，若中為0的分量個數(shù)是2個，不妨設(shè)，則，兩式相加后有，故，矛盾故中為0的分量個數(shù)不可能是2個：由的計算可知：，；類似地，有：，；也就是：而，也就是：，依次類推則有的第一個分量為：，故，其中或，當(dāng)?shù)姆柦惶娉霈F(xiàn)時，的最小正周期有最小值，此時或，最小正周期的最小值為，對應(yīng)的或.【點睛】方法點睛：本題為與三角函數(shù)有關(guān)的新定義題，解決此類問題關(guān)鍵是弄清楚新運算的性質(zhì)與三角函數(shù)