信號與系統(tǒng)：5-3 拉普拉斯變換的性質(zhì)

1、5.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)北京航空航天大學(xué)電子信息學(xué)院2022/7/9信號與系統(tǒng)一、基于信號時間運(yùn)算的性質(zhì)1時移性質(zhì)根據(jù)拉普拉斯變換的定義，若 L f(t)=F(s)，且常數(shù)t00 ，則令=t-t0 ，代入上式，得到一、基于信號時間運(yùn)算的性質(zhì)1時移性質(zhì)收斂域?yàn)镽es 。對于雙邊拉普拉斯變換，若 L f(t)=FB(s)，且Res0 ，則令=at，則根據(jù)拉普拉斯變換的定義，得到一、基于信號時間運(yùn)算的性質(zhì)2壓擴(kuò)特性收斂域分兩種情況： 1）當(dāng)0時，為aResa 2) 當(dāng)0時，為aResa對于雙邊拉普拉斯變換，若 L f(t)=FB(s)，且Res0及b0 ，則對于雙邊拉普拉斯變換，若 L f(t)=

2、FB(s)，且Res0時，為aResa 2) 當(dāng)0時，為aResa二、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)1線性性質(zhì)根據(jù)拉普拉斯變換的定義，若 L f1(t)=F1(s)， L f2(t)=F2(s)，k1, k2為常數(shù)，則二、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)1線性性質(zhì)對于雙邊拉普拉斯變換，若 k1, k2為常數(shù)， L f1(t)=F1(s) 且1Res1 ， L f2(t)=F2(s) 且2Res2 ，則收斂域至少為 max(1, 2)Resmin(1, 2) 二、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)2時域微分根據(jù)拉普拉斯變換的定義，若 L f(t)=F(s)，則二、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)2時域微分對上式進(jìn)行推廣，可以得到其中n

3、為正整數(shù)，f(0) (0-)=f(0-)。二、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)2時域微分特別地，對于因果信號f(t)=f(t)u(t)，因?yàn)樗远?、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)2時域微分收斂域至少為Res 。對于雙邊拉普拉斯變換，若 L f(t)=FB(s)，且Res ，則二、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)3時域積分根據(jù)拉普拉斯變換的定義，若 L f(t)=F(s)，則其中第一項(xiàng)為常數(shù)，第二項(xiàng)采用分部積分計算，令則有二、基于信號幅度運(yùn)算的性質(zhì)收斂域?yàn)閙ax(,0)Res0。對于雙邊拉普拉斯變換，若 L f(t)=FB(s)，且Res ，則三、基于信號s域運(yùn)算的性質(zhì)1s域平移根據(jù)拉普拉斯變換的定義，若 L f(t)=F

4、(s)，對于任意復(fù)數(shù)s0，有雙邊拉普拉斯變換中， s域平移性質(zhì)與單邊拉普拉斯變換中的完全相同，其收斂域?yàn)?+Res0Res +Res0。如果s0 為虛數(shù)，則 F(s-s0)的收斂域與F(s)相同。三、基于信號s域運(yùn)算的性質(zhì)2s域微分若 L f(t)=F(s)，有將 兩端對s求導(dǎo)，得到由拉普拉斯變換定義，-tf(t)與 是一對拉普拉斯變換對。推廣，得到雙邊拉普拉斯變換 s域微分性質(zhì)與單邊拉普拉斯變換完全相同，且收斂域Res 不變。三、基于信號s域運(yùn)算的性質(zhì)2s域積分若 L f(t)=F(s)，有將 代入上式右邊，交換積分次序可得雙邊拉普拉斯變換 s域微分性質(zhì)與單邊拉普拉斯變換完全相同，且收斂域R

5、es不變。四、基于卷積運(yùn)算的性質(zhì)1時域卷積定理若L f1(t)=F1(s) ，L f2(t)=F2(s) ，則根據(jù)拉普拉斯變換和卷積的定義，四、基于卷積運(yùn)算的性質(zhì)1時域卷積定理對于雙邊拉普拉斯變換，若 L f1(t)=F1(s) 且1Res1 ， L f2(t)=F2(s) 且2Res2 ，則收斂域?yàn)?max(1, 2)Resmin(1, 2) 四、基于卷積運(yùn)算的性質(zhì)2s域卷積定理若L f1(t)=F1(s) ，L f2(t)=F2(s) ，則對于雙邊拉普拉斯變換，若 L f1(t)=F1(s) 且1Res1 ， L f2(t)=F2(s) 且2Res2 ，則收斂域?yàn)?(1+ 2)Res (1+2) 五、基于拉普拉斯變換定義的性質(zhì)1初值定理根據(jù)時域微分性質(zhì)，可知即五、基于拉普拉斯變換定義的性質(zhì)對上式兩端取極限s，則五、基于拉普拉斯變換定義的性質(zhì)1終值定理對初值定理證明過程中的式（5.3.27）兩端取s0的極限，即六、拉普拉斯變換性質(zhì)的應(yīng)用和傅里葉變換相同，求解信號的拉普拉斯變換的主要方法不是通過定義直接求解，而是根據(jù)一般信號與基本