高中數(shù)列專項(xiàng)練習(xí)等差數(shù)列及應(yīng)用

1、第1節(jié)：等差數(shù)列及應(yīng)用題型1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其變形公式、幾何意義。通項(xiàng)公式：(變形公式)。幾何意義：等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率是公差。通項(xiàng)也可以用數(shù)列中任意一項(xiàng)來(lái)表示，不一定用首項(xiàng)與公差來(lái)表示，等價(jià)于直線可用直線上任一點(diǎn)與斜率來(lái)表示(點(diǎn)斜式)(變形公式幾何意義)。公差等于等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差與序號(hào)之差之比（幾何意義即斜率）。表示為：(變形公式)。利用等差數(shù)列上述特點(diǎn)，考生學(xué)會(huì)口算等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。1.(高考題)已知為等差數(shù)列，且21，0，則公差 ( )A.2 B. C. D.2【解析】：，選B。2.(2018年北京卷)設(shè)是等差數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式為 。【解析】：。3.（1

2、）在等差數(shù)列中，已知求。（2）在等差數(shù)列中，已知求。【解析】：（1）；（2），。【題型2】：等差數(shù)列單調(diào)性。秒殺策略：等差數(shù)列單調(diào)性分類： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)為遞增數(shù)列； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)為遞減數(shù)列； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)為常數(shù)列。1.(2013年遼寧卷)下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題： :數(shù)列是遞增數(shù)列 :數(shù)列是遞增數(shù)列 :數(shù)列是遞增數(shù)列 :數(shù)列是遞增數(shù)列 其中的真命題為 ( ) A. B. C. D.【解析】：命題（1）正確，命題（4）的公差為4d，正確，選D。2.(2014年遼寧卷)

3、設(shè)等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則 ( ) A. B. C. D. 【解析】：亦為等差數(shù)列，為遞減數(shù)，只需為遞減數(shù)，只需，選D。題型2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其變形公式與幾何意義。=(與首末兩項(xiàng)等距離兩項(xiàng)之和)；幾何意義：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是公差的一半。利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的上述特點(diǎn)，考生學(xué)會(huì)口算等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。1.(高考題)在數(shù)列在中，,，其中為常數(shù)，則 。【解析】：直接可得d=4，a=2，b=-，即ab=1。2.(2007年新課標(biāo)全國(guó)卷4)已知是等差數(shù)列，其前10項(xiàng)和，則其公差 ( ) A. B. C. D.【解析】：，選D。3.(2017

4、年新課標(biāo)全國(guó)卷 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I4)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的公差 為 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8【解析】：，作差得，選C。4.(2019年新課標(biāo)全國(guó)卷 = 3 * ROMAN * MERGEFORMAT III14)記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則= 。【解析】：秒殺方法：令，則，。5.(2020年上海卷8)已知是公差不為零的等差數(shù)列，且，則 。【解析】：秒殺方法：令，則，原式=。6.(高考題)若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34，最后3項(xiàng)和為146，所有項(xiàng)和為390，則這個(gè)數(shù)列有 ( )項(xiàng)。A.13 B.12 C.11 D.10【解析】: 由前3項(xiàng)

5、和為34，最后3項(xiàng)和為14，知首末兩項(xiàng)和為，代入求和公式可得。 7.(高考題)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且三點(diǎn)共線(該直線不 過(guò)原點(diǎn))，則 ( )A.100 B.101 C.200 D.201【解析】：利用三點(diǎn)共線可知，選A。8.(高考題)設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則= ( ) A.6 B.4 C.2 D.2【解析】：，選 A。9.(高考題)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和，若，則 。【解析】：法一：由可得，即，。法二：由得，即，。 10.(高考題)設(shè)為等差數(shù)列，公差，為其前項(xiàng)和，若，則= ( ) A.18 B.20 C.22 D.24【解析】：可得，選 B。11.(高考題)在等差數(shù)列中，若

6、，則 ?！窘馕觥浚?0。12.(2013年新課標(biāo)全國(guó)卷 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I7)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ( )A.3 B.4 QUOTE C.5 D.6【解析】：，可求得，或直接寫出數(shù)列前項(xiàng)觀察得到,。秒殺方法：等差數(shù)列中，亦為等差數(shù)列，即，代入得。13.(2013年新課標(biāo)全國(guó)卷 = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II16)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則的最小值為 ?！窘馕觥浚海脤?dǎo)數(shù)知當(dāng)時(shí)最小為-49。14.(高考題)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第

7、5節(jié)的容積為 升。【解析】：。15.(2020年新高考全國(guó)卷 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I14)將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為 。【解析】：公共項(xiàng)的通項(xiàng)為：，其前n項(xiàng)和為。16.(2012年新課標(biāo)全國(guó)卷16)數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為 ?！窘馕觥浚悍ㄒ唬?，成對(duì)作差后得：，.，可發(fā)現(xiàn)成對(duì)新數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列2，2，.，偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為8公差為16的等差數(shù)列，。法二：設(shè)首項(xiàng)為，則數(shù)列各項(xiàng)為：.，可知每4項(xiàng)和是首項(xiàng)為10公差為16的等差數(shù)列，前15項(xiàng)和為1830。題型3.等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算技巧。等差數(shù)列中，若則。注意左、右項(xiàng)數(shù)必須相等，如。1.(2012年遼寧卷)在等差數(shù)列中，已知，則= ( ) A.12 B.16 C.20 D.24【解析】：=，選B。秒殺方法：取常數(shù)列，選B。2.(高考題)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則 ?！窘馕觥浚?，而。秒殺方法：取常數(shù)列，7。3.(高考題)如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則 ( )A. B. C. D.【解析】：，由基本不等式性