1.2 能帶理論

1、1.2 1、了解能帶的產(chǎn)生原因2、理解導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體導(dǎo)電性差別的原因11.2 能帶理論 材料中原子、分子、離子的不同排列方式, 材料的內(nèi)部出現(xiàn)不同形式的勢場，使不同材料中電子表現(xiàn)出不同的運(yùn)動狀態(tài)。能帶理論: 關(guān)于材料中電子運(yùn)動規(guī)律的一種量子力學(xué)理論。能帶理論是在量子力學(xué)研究金屬導(dǎo)電理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，基于晶體結(jié)構(gòu)的平移對稱性，考慮離子實(shí)勢場對電子的影響而建立。它的成功之處在于定性地闡明了晶體中的電子運(yùn)動的規(guī)律。2一、能帶理論的一般性介紹在固體中存在著大量的電子，它們的運(yùn)動都是互相關(guān)聯(lián)的，每個電子運(yùn)動都要受到其他電子運(yùn)動的牽連，因此要想嚴(yán)格求解多電子系統(tǒng)（NZ個)幾乎不可能。所以能帶理

2、論是一個近似理論，它采用單電子近似的方法來處理復(fù)雜的多電子問題。1、單電子近似 把每個電子的運(yùn)動看成是獨(dú)立的在一個等效勢場中運(yùn)動。2、等效勢場(equivalent potential field) 在原子結(jié)合成固體的過程中，變化最大的是價電子，而內(nèi)電子的變化較小，所以可以把原子核和內(nèi)層電子看成是一個離子實(shí)（固定在瞬時位置）與價電子構(gòu)成的等效勢場。 把電子的運(yùn)動和離子實(shí)的運(yùn)動分開33、周期性勢場 (periodicity potential field) 晶體中原子排列具有周期性，那么晶體中的勢場也具有周期性，稱為周期性勢場 周期性勢場的特點(diǎn)：1)能帶理論的出發(fā)點(diǎn)是固體中的電子不在束縛于個別的

3、原子,而是在整個固體內(nèi)運(yùn)動,稱為共有化電子。2)在討論共有化電子的運(yùn)動狀態(tài)時,假定原子實(shí)處在平衡位置,而把原子實(shí)偏離平衡位置的影響看成微 擾 perturbation4根據(jù)對周期勢的不同處理方法，能帶理論主要有3種理論：1）近自由電子近似 考慮電子與晶格的正離子作用相當(dāng)微弱，將勢場對電子的作用視為微擾。2）贗勢法 造一個有效勢3）緊束縛近似 原子軌道線性組合法5二、 近自由電子近似的一維模型電子在周期性點(diǎn)陣中運(yùn)動，受到弱的原子實(shí)勢場的散射，這個模型稱為近自由電子模型。近自由電子模型是當(dāng)晶格周期性勢場起伏很小，從而使電子的行為很接近自由電子時，可以采取微擾處理方法。一些簡單金屬 Na、K、Al

4、等可用此模型。一、一維周期勢場中電子運(yùn)動的近自由電子近似晶體勢場 V (x) 具有周期性，那么它的平面波也具有周期性。6一維周期勢場 考察由N個間距a的正離子周期性排列所形成的一維晶體點(diǎn)陣，其勢能如圖所示，看到晶體點(diǎn)陣具有相同的周期性。 圖1 一維周期勢場 7E2E3E5E4E6E7E10E圖 2 E k 曲線的表達(dá)圖式8在弱周期勢場的作用下，原來簡并的能級，一個升高 Vn ，一個降低了 Vn ，二者之間能量差為 ，Vn 是周期勢場的傅里葉展開式中的第 n 個分量。原來自由電子的連續(xù)能譜，在晶格的周期勢場的作用下，分裂成為被能隙分開的許多能帶（產(chǎn)生了能級分裂），能隙的大小等于周期勢場的傅里葉分

5、量 Vn 的 2 倍；中間斷開 Eg稱為禁帶 (Forbidden band)在 Eg 能量范圍內(nèi)，沒有容許的能量狀態(tài)。這是在晶體弱周期勢場中運(yùn)動的電子產(chǎn)生的新現(xiàn)象。9能帶及其一般性質(zhì)1）在零級近似（無周期勢場的作用），能譜 E (k) k 是一個連續(xù)的拋物線；2）考慮晶體的弱周期勢場微擾（近自由電子能譜），在布里淵區(qū)邊界 ( k = /a , 2/a, ) 處發(fā)生跳變，產(chǎn)生帶隙（禁帶），它的寬度為 2V1 ，2V2 ， 3）在接近布里淵區(qū)邊界 E+、E 隨 變化，產(chǎn)生向上和向下的彎曲化； 4）在遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界，近自由電子能譜與在零級近似拋物線相同；10 各帶之間間隙對應(yīng)于 k = n/a

6、, k 的取值范圍是一個倒易點(diǎn)陣原胞的長度；5）周期勢場變化愈激烈，各付里葉系數(shù)愈大，禁帶越寬； 理想晶體中, 禁帶內(nèi)不存在能級。周期場中運(yùn)動的電子其能量狀態(tài)形成一系列被禁帶隔開的能帶，這是能帶理論中最重要的結(jié)論。它提供了導(dǎo)體和非導(dǎo)體的理論說明。11由于周期勢場的存在，自由電子的能級發(fā)生分裂，出現(xiàn)允帶和禁帶。周期場中電子運(yùn)動的E-K曲線及能帶12為什么會產(chǎn)生禁帶？ 由于我們把電子看成是近自由的，它的零級近似波函數(shù)就是平面波，它在晶體中的傳播就像X-射線通過晶體一樣，當(dāng)波矢 k 不滿足布拉格條件時，晶格的影響很弱，電子幾乎不受阻礙地通過晶體。但當(dāng) 時，波長正好滿足布拉格反射條件，受到晶格的全反射

7、。反射波與入射波的干涉形成駐波。 13三 、緊束縛近似前面 電子完全自由近自由電子完全被原子核束縛近似束縛亞能級彼此非常接近，故稱能帶電子數(shù)量增加時能級擴(kuò)展成能帶14151s2p2sEo原子間距禁帶禁帶能帶能帶存在的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：1、核磁共振磁致伸縮技術(shù)2、晶體軟X射線譜技術(shù)3、用高能電子束射入晶體，晶體中的電子從晶體中打出來后，電子從高能級向下躍遷而產(chǎn)生的輻射能量范圍在十幾ev，這正是能帶的寬度。16能帶術(shù)語能帶包括允帶和禁帶允帶（allowed band）：允許電子能量存在的范圍禁帶(forbidden band): 不允許電子能量存在的范圍，價帶最高能級與導(dǎo)帶最低能級之間的能量間隙17允帶又

8、分為空帶、滿帶、導(dǎo)帶、價帶空帶（empty band）：不被電子占據(jù)的允帶滿帶（filled band）：允帶中的能量狀態(tài)（能級）均被電子占據(jù)導(dǎo)帶（conduction band）：電子未占滿的允帶（有部分電子）價帶（valence band）：被價電子占據(jù)的允帶（低溫下通常被價電子占滿），導(dǎo)帶下的第一個滿帶 (最高的滿帶)18常溫下電子填充能帶有如下幾種情況：E禁帶禁帶禁帶禁帶價帶滿帶空帶未滿帶滿帶滿帶E滿帶-各能級都被兩個自旋相反的電子填滿的能帶空帶-各能級都沒有被電子填充的能帶導(dǎo)帶（半滿帶）-能級沒有被電子填滿的能帶19滿帶導(dǎo)（半滿帶） 當(dāng)電子從原來狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)時，另一電子必作相反

9、的轉(zhuǎn)移。沒有額外的定向運(yùn)動。滿帶中電子不能形成電流。半滿帶的電子可在外場作用下躍遷到高一級的能級形成電流。故又稱為導(dǎo)帶。20 導(dǎo)體 、半導(dǎo)體和絕緣體 （conductor 、semiconductor 、insulator） 它們的導(dǎo)電性能不同， 是因?yàn)樗鼈兊哪軒ЫY(jié)構(gòu)不同。晶體按導(dǎo)電性能的高低可以分為導(dǎo)體半導(dǎo)體絕緣體21二、判斷導(dǎo)體、絕緣體、半導(dǎo)體 1) 晶體是否導(dǎo)電，取決于電子在能帶中的分布情況。2) 原子結(jié)合成晶體后，原子的能級轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的能帶。由于原子內(nèi)層電子的能級是充滿的，相應(yīng)的內(nèi)層能帶就是滿帶不導(dǎo)電晶體是否導(dǎo)電，取決于價電子能級對應(yīng)的價帶是否被電子充滿。3) 由于每個能帶可容納 2N

10、 個電子，因此，價帶是否被電子充滿取決于每個原胞所含的價電子數(shù)目和能帶是否交疊。22 1. 絕緣體(1014 1022cm) 電子恰好添滿了最低的一系列能帶，能量更高的能帶都是空的；而且最高的滿帶(價帶)與最低的空帶之間存在一個很寬的禁帶 ( Eg 5 eV)。 由于沒有不滿帶，在外電場的作用下，不能引起電流的流動。而且滿帶之間被能隙隔開，每一個容許的態(tài)都被充滿。電子的總動量無法改變，從而不能導(dǎo)電。23什么樣的晶體是絕緣體？ 1) 價電子的數(shù)目是偶數(shù) 2) 沒有能帶重疊例：金剛石 每個原胞內(nèi)有 2 個電子，晶體中有 8N 個的價電子，正好填滿下面的 4 個能帶，上面的 4 個價電子全空。它的帶

11、隙在空帶和滿帶之間。 金剛石是典型的絕緣體。242、導(dǎo)體 (10-2 10-10 cm) 在導(dǎo)體中，除了滿帶和空帶外存在不滿帶。一部分處于不滿帶中的價電子在電場的作用下產(chǎn)生運(yùn)動導(dǎo)電。1）價電子為奇數(shù) 價電子數(shù) = 不滿帶中的電子數(shù) (堿金屬-特魯?shù)录僭O(shè))。 2）有偶數(shù)個價電子，但能帶產(chǎn)生交疊。 由于能帶的交疊，導(dǎo)致原來的滿帶變成了不滿帶，原來的空帶也 填進(jìn)電子，表現(xiàn)出導(dǎo)電性。二價金屬 Be，Mg，Zn 等，但它們不是好的導(dǎo)體 (半金屬）25某些堿金屬，其價電子是偶數(shù)，價電子能帶已有2N個電子，但仍能導(dǎo)電。2p滿帶禁帶原子間距Eo1s2s空帶滿帶 這是因?yàn)檫@類金屬結(jié)合成晶體時，能級分裂大，價電子

12、能帶與上空帶發(fā)生重疊，共同組成不滿帶。共同組成不滿帶2627 導(dǎo)體 conductor 堿金屬 鋰、鈉、鉀 鈉（1S22S22P63S1） 堿土金屬 鈹、鎂、鈣 鎂（1S22S22P63S2） 3S與3P重迭 貴金屬 銅、銀、金 銅（1S22S22P63S23P63d104S1） 過渡金屬 鐵、鎳、鈷 （1S22S22P63S23P63d74S2）重迭283. 半導(dǎo)體 (10-2 109 。cm) 在絕對零度下，大多數(shù)半導(dǎo)體的純凈完整晶體都是絕緣體。它的能帶填充情況和絕緣體相同。差別僅在于：禁帶的寬度 E g 2 e V，而絕緣體 Eg 3-6 eV。 ( Ge = 0.74 eV，Si = 1.17 eV) 半導(dǎo)體的能隙將滿帶和空帶隔開，在弱電場的作用下，不導(dǎo)電。 當(dāng)溫度升高時, 半導(dǎo)體中的電子受熱激發(fā)(產(chǎn)生光子)，把滿帶(價帶) 的電子激發(fā)到本來是空的能帶，即從價帶躍遷到導(dǎo)帶。29熱激發(fā)電子、空穴載流子，具備導(dǎo)電能力 半導(dǎo)體。載流子濃度多少決定了半導(dǎo)體的導(dǎo)電能力。30總結(jié)1、晶體是否導(dǎo)電，取決于電子在能帶中的分布情況。2、晶體是否導(dǎo)電，取決于價電子能級對應(yīng)的價帶是否被電子充滿。3、價帶是否被電子充滿取決于每個原胞所含的價電子數(shù)目和能帶是否交疊。 31導(dǎo)體：最高占有帶（即價帶）僅僅部分充滿，或者能