兩角和與差的余弦(教師)

1、三角恒等變換【學習導航】本章利用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式，并由此公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上。三角恒等變換公式反映了角的相加、相減、二倍角運算引起三角函數(shù)值變化的規(guī)律，是研究三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的一種工具。學習和應(yīng)用三角恒等變換，有利于發(fā)展推理能力和運算能力。3、三角恒等變換具有幾何和物理的應(yīng)用背景。以向量為橋梁將三角恒等變換的算式與直觀的幾何圖形相互溝通和轉(zhuǎn)化，有助于學習和應(yīng)用三角恒等變換，還能提高學習數(shù)學的興趣，體會數(shù)學是一個有機聯(lián)系的整體，二不是各不相關(guān)

2、的內(nèi)容的堆積。cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossintan（+）= tan（-）= sin2=2sincoscos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2 sin2tan2=知識網(wǎng)絡(luò) 學習要求1. 了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3. 運用上述公式進行簡單的恒等變換，推導半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本

3、訓練，進一步提高運用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應(yīng)用。3.1.1兩角和與差的余弦【學習導航】掌握推導兩角差的余弦公式的多種方法，充分認識到兩角差的余弦公式是本單元所有公式的基礎(chǔ)。掌握的誘導公式。學習要求1、理解向量法推導兩角和與差的余弦公式，并能初步運用解決具體問題；2、應(yīng)用公式，求三角函數(shù)值.3培養(yǎng)探索和創(chuàng)新的能力和意識.【自學評價】1探究反例：問題：的關(guān)系？解決思路：探討三角函數(shù)問題的最基本的工具是直角坐標系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線2探究：在坐標系中、角構(gòu)造+角3探究：作單位圓，構(gòu)造全等三角形4探究：寫出4個

4、點的坐標，5計算，=6探究 由=導出公式展開并整理得所以 可記為 7探究 特征熟悉公式的結(jié)構(gòu)和特點； 此公式對任意、都適用公式記號8探究 cos()的公式以代得：公式記號【精典范例】例1 計算 cos105 cos15 coscossinsin解：cos105=cos(60+45)=cos60cos45sin60sin45=cos15 =cos(6045)=cos60cos45+sin60sin45=coscossinsin= cos(+)=cos=0 例2已知sin=，cos=求cos()的值解：sin=0，cos=0 可能在一、二象限，在一、四象限若、均在第一象限，則cos=，sin= c

5、os()=若在第一象限，在四象限，則cos=，sin= cos()=若在第二象限，在一象限，則cos=，sin= cos()=若在第二象限，在四象限，則cos=，sin= cos()=例3已知cos(2-)=-,sin (-2)=,且,0,求cos(+)的值。 分析：已知條件中的角與所求角雖然不同，但它們之間有內(nèi)在聯(lián)系，即(2-)-(-2)=+由、角的取值范圍，分別求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。 解：, 2-,- -2, 由cos(2-)=-得，sin (2-)=; 由sin (-2)=得，cos(-2)=。 cos(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(

6、-2)+sin (2-)sin (-2)=- +=。 例4不查表，求下列各式的值.（1）（2）（3）思維點拔：在三角變換中，首先應(yīng)考慮角的變換如何變換角？一定要根據(jù)題目的條件與結(jié)論來變，簡單地說就是“據(jù)果變形”，創(chuàng)造出使用三角公式的條件，以達到求值、化簡和證明的目的常用的變換角的方法有：=(+)-,+2=(+)+, ,【追蹤訓練】：1sinsin=，coscos=，(0, ),(0, ),求cos()的值。解: sinsin=，coscos=，(0, ),(0, ),， 2-2 cos()= cos()=2求cos75的值 解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45s

7、in30=3計算：cos65cos115cos25sin115解：原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=14 計算：cos70cos20+sin110sin20原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=05已知銳角,滿足cos= cos(+)=求cos解：cos= sin=又cos(+)=0 +為鈍角 sin(+)=cos=cos(+)=cos(+)cos+sin(+)sin = （角變換技巧）6已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值解: (sin+sin)2+(cos+cos)2=2+2 cos()=2+=【選修延伸】例5已知，是第三象限角，求的值.解：因為，由此得又因為是第三象限角，所以所以點評：注意角、的象限，也就是符號問題.例6設(shè)，且，求的值。解：因為所以所以，所以故【追蹤訓練】：1滿足的一組的值是 （ D ） A. B. C. D. 2若，則的值為 （