南通市基地密卷（一）（教師）

1、PAGE PAGE 92013屆南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷(一)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答卷紙的相應(yīng)位置上1,若對應(yīng)點在第二象限,則m的取值范圍為 While 10End WhilePrint “”2.已知全集，集合，則中最 大的元素是 3 3已知，若函數(shù)的最小正周期是2, 則 -1 4.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是: 28 5已知函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間是 6在數(shù)軸上區(qū)間內(nèi)，任取三個點，則它們的坐標滿足不等式：的概率為 的實質(zhì)是點在點之間，故考慮它們的排列順序可得答案為7P為拋物線上任意一點，P在軸上的射影為Q，點M（4，5），則PQ與PM長度之

2、和的最小值為： 解析：焦點=,而的最小值是8、設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列正確命題序號是(3) (4) (1)若m,n,則mn， (2)若則(3)若，且，則；(4)若，則9. 定義在上滿足:，當時，=，則= 2 10.過平面區(qū)域內(nèi)一點作圓的兩條切線，切點分別為，記，則當最小時 當離圓最遠時最小，此時點坐標為：記，則，計算得= 11.如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第行有個 數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如：，則第行第3個數(shù)字是 12. 已知正方形的坐標分別是,，動點M滿足： 則 12.設(shè)點的坐標為， 整理，得（），發(fā)現(xiàn)動點M

3、的軌跡方程是橢圓，其焦點恰為兩點，所以13. “”是“對正實數(shù)，”的充要條件，則實數(shù) 1 若則不符合題意，若則于是，亦可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立展開討論。14.函數(shù)的定義域為,若滿足在內(nèi)是單調(diào)函數(shù),存在,使在上的值域為,那么叫做對稱函數(shù),現(xiàn)有是對稱函數(shù), 那么的取值范圍是 由于在上是減函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上有兩個不同實根。通過換元結(jié)合圖象可得二、解答題：本大題共6小題，共計90分請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15已知二次函數(shù)f (x)=x2+mx+n對任意xR，都有f (x) = f (2x)成立，設(shè)向量 eq o(sup6(),a)= ( sinx ,

4、2 ) ， eq o(sup6(),b)= (2sinx , eq f(1,2)， eq o(sup6(),c)= ( cos2x , 1 )， eq o(sup6(),d)=(1,2)，（）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；（）當x0,時，求不等式f ( eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)f ( eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)的解集.解；（1）設(shè)f(x)圖象上的兩點為A(x,y1）、B(2x, y2），因為 eq f(x)(2x),2)=1 f (x) = f (2x)，所以y1= y2,由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，x1時，f

5、(x)是增函數(shù) ；x1時，f(x)是減函數(shù)。（2） eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)=（sinx，2）（2sinx, eq f(1,2)）=2sin2x11， eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)=（cos2x，1）(1,2)=cos2x21，f(x)在是1，+）上為增函數(shù)，f ( eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)f ( eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)f(2sin2x1) f(cos2x2) 2sin2x1cos2x21cos2x1cos2x2 cos2x02k2x2k,kzkxk, kz 0

6、 x x綜上所述，不等式f ( eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)f ( eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)的解集是： x|x 。16在如圖的多面體中，平面，,，是的中點() 求證：平面；() 求證：；()求多面體的體積. 解：()證明：，. 又,是的中點， ， 四邊形是平行四邊形， . 平面，平面，平面. ()證明：平面，平面， 又，平面，平面. 過作交于，則平面.平面， . ，四邊形平行四邊形，又，四邊形為正方形， 又平面，平面,平面. 平面, . () 平面，平面， 由（2）知四邊形為正方形，. ， 17已知雙曲線的兩焦點為，為動點，若（）

7、求動點的軌跡方程；（）若，設(shè)直線過點，且與軌跡交于、兩點，直線與交于點試問：當直線在變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由解法一：（）由題意知：，又，動點必在以為焦點，長軸長為4的橢圓，又，橢圓的方程為（）由題意，可設(shè)直線為：取得，直線的方程是直線的方程是交點為若，由對稱性可知交點為若點在同一條直線上，則直線只能為以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上事實上，由，得即，記，則設(shè)與交于點由得設(shè)與交于點由得，即與重合，這說明，當變化時，點恒在定直線上解法二：（）同解法一（）取得，直線的方程是直線的方程是交點為取得，直線的方程是直線的方程

8、是交點為若交點在同一條直線上，則直線只能為以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上事實上，由，得即，記，則 的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立這說明，當變化時，點恒在定直線上解法三：（）同解法一（）由，得即記，則的方程是的方程是由得即這說明，當變化時，點恒在定直線上BA1A2COA318 如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個等分點A1，A2，A3。點C為上一點（不包含端點O、B），同時點C與點A1，A2，A3，B均用細繩相連接，且細繩CA1，

9、CA2，CA3的長度相等。設(shè)細繩的總長為（1）設(shè)CA1O = (rad)，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你設(shè)計，當角正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時 BC應(yīng)為多長。（）解：在COA1中， ， 2分=（）（）， 令，則 當時，；時，在上是增函數(shù)當角滿足時，y最小，最小為；此時BCm 19已知，數(shù)列有（常數(shù)），對任意的正整數(shù)，并有滿足。（1）求的值；（2）試確定數(shù)列是不是等差數(shù)列，若是，求出其通項公式。若不是，說明理由；（3）令，是否存在正整數(shù)M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說明理由。解：（1）由已知，得， （2）由得則，即，于是有，并且有，即，而是正整數(shù)，

10、則對任意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項公式是。 （3）；由是正整數(shù)可得，故存在最小的正整數(shù)M=3，使不等式恒成立。20已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式對一切都成立，求范圍；(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實數(shù)使，試問：他的判斷是否正確；若正確，請寫出的范圍；不正確說明理由解（1）定義域 在遞增，遞減（2）由題 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) 時， 時， 時，數(shù)學(xué)（附加題）1（矩陣與變換）求矩陣M=的特征值及其對應(yīng)的特征向量.1解：矩陣M的特征多項式為=.令得矩陣M的特征值為1和3 .當所以矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為.當,所以矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量為.2. （坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系中，橢圓C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù).以O(shè)為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.求橢圓C上的點到直線l距離的最大值和最小值.解：直線l的普通方程為：，設(shè)橢圓C上的點到直線l距離為.當時，當時，.PNMABC3. 如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，AC，M是的中點，N是BC的中點，點P在直線上，且滿足.（）當取何值時，直線PN與平面ABC所成的角最大？（）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為，試確定點P的位置.解：（1）以AB,AC,分別為軸，建立空間直角坐標系，則，平面ABC的一個法向量為則