2022年一高中數(shù)列知識點總結(jié)

1、學習必備 歡迎下載一 高中數(shù)列知識點總結(jié)1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)），等差中項：成等差數(shù)列前 項和性質(zhì)：是等差數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為（1）若，則（2）數(shù)列等差數(shù)列，公差為；（3）若三個成等差數(shù)列，可設為（4）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)， 是關于的常數(shù)項為 0的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負分界項，即：當，解不等式組可得達到最大值時的值. 當，由可得達到最小值時的值. (6) 項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有，. （7）項數(shù)為奇數(shù)學習必備歡迎下載的等差數(shù)列，有，. 2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)，），.等比中項：成等比數(shù)列，或

2、前項和：（要注意?。┬再|(zhì)：是等比數(shù)列仍為等比數(shù)列 ,公比為. （1）若，則（2）注意 ：由求時應注意什么？時，；時，. 二解題方法1 求數(shù)列通項公式的常用方法（1）求差（商）法解如：數(shù)列，求時，時，學習必備歡迎下載得：，練習數(shù)列滿足，代入得又，求，是等比數(shù)列，注意到；時，（2）疊乘法如：數(shù)列中，求解，又，. （3）等差型遞推公式由時，求，用迭加法兩邊相加得練習數(shù)列中，求（）（4）等比型遞推公式（為常數(shù)，）可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設令，學習必備歡迎下載為公比的等比數(shù)是首項為列，（5）倒數(shù)法如：，求由已知得：，為等差數(shù)列，公差為，( 附：公式法、利用、累加法、累乘法 . 構造等差或等比或、待定系數(shù)法、對

3、數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學歸納法、換元法 ) 2 求數(shù)列前 n 項和的常用方法( 1) 裂項法把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項 . 如：是公差為 的等差數(shù)列，求解：由學習必備 歡迎下載練習求和：（2）錯位相減法若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項和，可由，求，其中為的公比 . 如：時，時，（3）倒序相加法把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加 . 相加練習已知，則由學習必備 歡迎下載原式 ( 附： a.用倒序相加法求數(shù)列的前 n 項和 如果一個數(shù)列 a n ，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把 正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的

4、和， 這一求和方法稱為倒 序相加法。我們在學知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知 n 項和公式的推導，識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前 用的就是 “倒序相加法 ”。b.用公式法求數(shù)列的前 n 項和 對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前 n 項和 Sn 可直接用等差、等比數(shù)列的前 n 項和 確定公 公式進行求解。 運用公式求解的注意事項： 首先要注意公式的應用范圍，式適用于這個數(shù)列之后，再計算。c.用裂項相消法求數(shù)列的前 n 項和 裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限 項，從而求出數(shù)列的前 n 項和。n 項和 d.用錯位相減法求數(shù)列的前 錯

5、位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的 形式。即若在數(shù)列 anbn 中，a n 成等差數(shù)列， b n 成等比數(shù)列，在和式的兩邊 同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前 n 項和。e.用迭加法求數(shù)列的前 n 項和 迭加法主要應用于數(shù)列 an 滿足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù) 列的條件下，可把這個式子變成 an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所 有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出 an ，從而求出 Sn。f .用分組求和法求數(shù)列的前 n 項和 所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將 這類

6、數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將 其合并。g.用構造法求數(shù)列的前 n 項和 所謂構造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構及特征進行分析，找出數(shù)列的通項的特征，構造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式，從而求出數(shù)列的前 ) n 項和。三方法總結(jié)及題型大全方法技巧數(shù)列求和的常用方法 一、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差、等比數(shù)列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法 . 學習必備 歡迎下載等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式： 4、例 1（07 高考山東文18）設是公比大于1 的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和已知，且構成等差數(shù)列項和（1）求數(shù)列的等差數(shù)列求數(shù)列的

7、前（2）令解：（ 1）由已知得解得設數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項為又（2）由于，由（ 1）得是等差數(shù)列故學習必備歡迎下載練習：設 Sn 1+2+3+ +n ，nN* ,求 的最大值 .解：由等差數(shù)列求和公式得，（利用常用公式） 當，即 n8 時，二、錯位相減法設數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。例 2（07 高考天津理21）在數(shù)列；中，其中，（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和（）解：由可得所以學習必備歡迎下載，所以數(shù)列為等差數(shù)列， 其公差為 1，首項為 0，故的通項公式為，（）解：設當時，式減去式，得這時數(shù)列的前項和當時

8、，這時數(shù)列的前項和例 3（ 07 高考全國文21）設是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項公式；（）求數(shù)列的前 n 項和解：（）設的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以（）學習必備 歡迎下載，得，三、逆序相加法把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加（即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣）例 4（07 豫南五市二聯(lián)理22.）設函數(shù).的圖象上有兩點P1(x1, y1) 、P2(x2, y2) ，若,且點 P 的橫坐標為（I）求證： P 點的縱坐標為定值，并求出這個定值；（II ）若（III ）略（I）的中點，且,且點 P 的橫坐標為. P 是學習必備 歡迎下載由（ I）知，（1）+（2）得

9、：四、裂項求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的 . 通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）等。例 5 求數(shù)列 的前 n 項和 .解：設（裂項）則（裂項求和）學習必備 歡迎下載例 6（ 06 高考湖北卷理17 ）已知二次函數(shù)，點的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為，數(shù)列的前 n 項和為均在函數(shù)的圖像上。（）求數(shù)列的通項公式；的前 n 項和，求使得對所有都成立的（）設，是數(shù)列最小正整數(shù) m；解：（）設這二次函數(shù) f(x) ax2+bx (a 0) ,則 f(x)=2ax+b, 由于 f(x)=6x

10、2,得a=3 , b=2, 所以 f(x) 3x22x. 又因為點 均在函數(shù) 的圖像上，所以3n22n. 當 n2 時， anSnSn 1（ 3n22n） 6n5. 當 n1 時， a1S131226 15，所以， an6n5 （）（）由（）得知，故 Tn（1）. 因此，要使（1）an-a(n-1)=3(n-1) 同樣 a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-3)=3(n-3) a3-a2=32 a2-a1=31 以上的 n 個等式的兩邊相加得到An -a1 =3+32+ +3(n-1)=3(1- 3n-1 )/(1-3 )=(3n-1)/2學習必備 歡迎下載1判斷和證

11、明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1) 定義法：對于n 2 的任意自然數(shù) , 驗證為同一常數(shù)。(2) 通項公式法：若 = +（n-1 ）d= +（ n-k ）d ，則為等差數(shù)列；若，則為等比數(shù)列。(3) 中項公式法：驗證中項公式成立。2. 在等差數(shù)列 中 , 有關 的最值問題常用鄰項變號法求解：(1) 當 0,d0 時，滿足 的項數(shù) m使得 取最大值 . (2) 當0 時，滿足的項數(shù) m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時 , 注意轉(zhuǎn)化思想的應用。3. 數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。注意事項1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明或而得。2

12、在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時，“ 基本量法” 是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。3 注 意與之 間 關 系 的 轉(zhuǎn) 化 。 如 ：=，=4解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略【問題 1】等差、等比數(shù)列的項與和特征問題例 1.數(shù)列的前項和記為學習必備歡迎下載（）求的通項公式；（）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求 本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎知識，以及推理能力與運算能力。解 ： （ ） 由可 得是首項為，

13、公比為， 兩 式 相 減 得又故得等比數(shù)列（）設的公比為由得，可得，可得故可設列又，解得由題意可得的 各項為正等差 數(shù)例 2. 設數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，。（1）求數(shù)列的通項公式？ （2）設數(shù)列的前項和為, 對數(shù)列，從第幾項起=？.解(1) an+ Sn=4096,a1+ S1=4096, a1 =2048. an 1 an當 n 2 時 , an= Sn Sn 1=(4096 an) (4096 an 1)=an=2048()n1. )n1=12 n, Tn=( n 2+23n). log 2an=log 22048( (2)由 Tn學習必備歡迎下載從第46 項起, 而 n 是正整數(shù)

14、 , 于是 ,n 46. Tn509. 【問題 2】等差、等比數(shù)列的判定問題例 3.已知有窮數(shù)列共有 2項（整數(shù) 2），首項2設該數(shù)列的前項和為，且2（1，2， ， 21），其中常數(shù)1滿 足（ 1） 求 證 ： 數(shù) 列是 等 比 數(shù) 列 ； （ 2 ） 若 2， 數(shù) 列（1，2， ， 2），求數(shù)列的通項公式；|（3）若（ 2）中的數(shù)列滿足不等式 | |4，求 的值(1) 證明 當 n=1 時 ,a2=2a,則 =a；2 n 2k1 時, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 數(shù)列 a n 是等比數(shù)列 . (2) 解：由 (1) 得

15、 an=2a, a1a2 an=2a=2a=2, bn=(n=1,2, ,2k).；（3）設 bn ,解得 n k+ ,又 n 是正整數(shù) ,于是當 nk時 , bn . 原式 =( b1)+(b2)+ +(bk)+(b k+1)+ +(b2k) =(b k+1+ +b2k)(b1+ +b k) =學習必備歡迎下載=. 當 4,得 k28k+40, 42k4+2,又 k2,當 k=2,3,4,5,6,7 時,原不等式成立 . 例 4。已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù) 列，求證： 數(shù)列， 求 證 ： 數(shù) 列是 等 比 數(shù) 列 ； 設 數(shù) 列是等差數(shù)列； 求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于 b 和 c 中的項都和 a 中的項有關， a 中又有 S =4a +2，可由 S-S 作切入點探索解題的途徑解：(1)由 S =4a，S =4a +2，兩式相減， 得 S-S =4(a-a )，即 a =4a-4a(根據(jù) b