二次根式講義和練習(xí)題

1、學(xué)材教育二次根式及一元二次方程知識點(diǎn)一：二次根式的概念.定義：形如而(”之0)的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù) 式，把握的重點(diǎn)：(1)二次根式是形式上定義的，必須含有二次根號(2)被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)，即aMO(3)/二的根指數(shù)是2, 一般省略根指數(shù)2,寫作工，這一點(diǎn)一定 要切實(shí)注意，不可誤認(rèn)為根指數(shù)為“1”，“0”。.性質(zhì)/ 1、兩個(gè)非負(fù)性：(1)根號下的a必須是非負(fù)數(shù),表示為a20；(2) & (a0)本身是一個(gè)非負(fù)數(shù).表示為亞宣2、a (a20)的平方根是土0,a (a20)的算術(shù)平方根是正/a (a0)3、V? =_|_a_L

2、= -J一、-a (a0o因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差異的，（/ =以口之）a(a0)a0)2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)-，（俐2=G；a0）即兩個(gè)二次根式相除， 把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。注意 （1）除法運(yùn)算的結(jié)果也要進(jìn)行化簡（2）在運(yùn)算過程中要注意條件（且，b0）（3）假設(shè)含有系數(shù)的二次根式相除，可類比單項(xiàng)式的除法法那么，將它分為 系數(shù)和根式兩局部分別運(yùn)算，然后想乘。1 性質(zhì) b = （aNO, b0）三最簡二次根式1最簡二次根式應(yīng)滿足的條件:學(xué)材教育（1）被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式;（2）被開方數(shù)中不含開得 盡方的因數(shù)或因式（熟記20以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)

3、系，當(dāng)被開方數(shù)是整式時(shí)要 先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個(gè)因式的指數(shù)是否是2 （或2的倍數(shù)）， 假設(shè)是那么說明含有能開方的因式，那么不滿足條件，就不是最簡二次根式）2、化簡最簡二次根式的方法：（1）把被開方數(shù)（或根號下的代數(shù)式）化成積的形式，即分解因式;（2）化去根號內(nèi)的分母（或分母中的根號）,即分母有理化:（3）將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)（或因式）開出來.（此步需要特別注意的是： 開到根號外的時(shí)候要帶絕對值,注意符號問題）知識點(diǎn)三二次根式的加減1二次根式的加減法：先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式,再找被開方數(shù)相 回的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減,二 次根

4、式局部不變）,不能合并的直接抄下來?？蓺w結(jié)為“一化二找三合并”知識點(diǎn)四一一比擬大小一、移動(dòng)因式法此法好學(xué)，適用。就是將根號外的正因式移入根號內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比擬被開方數(shù)的大小 例1：比擬一 5、萬5與- 6、厄的大小。二、運(yùn)用平方法兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為比擬哥的大小。此法的依據(jù)是：兩個(gè)正數(shù)的平方是正 數(shù)，平方大的數(shù)就大；兩個(gè)負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小例2：比擬小+、厄+出-花與四+新的大小。學(xué)材教育三、分母有理化法此法是先將各自的分母有理化，再進(jìn)行比擬。1 + 0 2+ 淄例3：比擬3 +與尤+ 1的大小。四、分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比擬大小。2出-舊例4：比擬3&與2

5、4的大小五、求差或求商法六、求倒數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)行比擬。例 7：比擬 J2009 J2008與J2008 V2007 的大小。學(xué)材教育一.利用二次根式的雙重非負(fù)性來解題（/2 0 （20）,即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)。） TOC o 1-5 h z 1.以下各式中一定是二次根式的是（）。A、J-3 ； B、yx ； C、dX? +1 ； D、-12J取何值時(shí)，以下各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義/、5 + x/、 , 1(4) J-(5)/V X + 4V2X-13.假設(shè)J3加-1有意義,那么m能取的最小整數(shù)值是5.當(dāng)x為何整數(shù)時(shí)，J10 x-1+1有最小整數(shù)值,這個(gè)最小整數(shù)值為6

6、.假設(shè)|2004-4 +，/-2005 =4 ,那么。一20042=學(xué)材教育7 右 y - Jx 3 + J3 x + 4 ,那么 x + 歹=8設(shè)n n滿足=近亙十匹了+ 2 771-38設(shè)n n滿足=近亙十匹了+ 2 771-3,那么 yjmn =那么第三邊c的取值范圍是9 .假設(shè)三角形的三邊a、b、c滿足/ 4a + 4 +Jb 3 =0,10方程| 4x 8 | + y _2 = 0 ,當(dāng)0時(shí)，m的取值范圍是（）A 0 m m2C m m b）二.利用二次根式的性質(zhì)行=同=0（。= 0）（即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)-aa 0）數(shù)的絕對值)來解題. Vx3 + 3x2 =xJx

7、+ 3，貝ij ()A.xWOB.xW 3C.xN3 D.3WxW0.ab,化簡二次根式J-的正確結(jié)果是()A. 一 a J- abB. -C. a4ab D. ay/- ab.假設(shè)化簡1 l-x-J%28x + 16的結(jié)果為2x-5那么X的取值范圍是()A、x 為任意實(shí)數(shù) B、1WxW4 C、xl D、xW4. a, b, c 為三角形的三邊，那么 J(a+.-c)2 +J(b-c-a)2 +y/(b + c-a)2 =.當(dāng)-3x5 時(shí)，化簡 Jx2 +6x +9 + Vx2 - 10 x + 25 =6、：a + y/-2a + a2 =1,那么a的取值范圍是()。A、a = 0 ； B、

8、(7 = 1； C、4 = 0 或 1； D、a 0）,即1 .把以下各式化成最簡二次根式:(1)小| (2) a/412 -4022.計(jì)算以下各題：（1） 6后（-3回3.計(jì)算(1) 2 V- 3 J Vs HJ12 TV50 V3 25學(xué)材教育4 虛+2更+際=10，那么x等于（）A. 4 B. 2 C. 2 D. 4.假設(shè) abcO,且 abc,化簡飛a，b3c?.如果最簡根式叫4a +1仍與2即 + 46 + 1是同類二次根式,求（a+b） 1007./ +2ab + b2 a2-b2 1 , 1， 其中，aj=-?/? = -p=-oV2+1V2-1：a h = 1 + VTo, / -= aa四.二次根式的分母有理化1.1.己矢口:x=V3 V3 + V2V3 + V2求代數(shù)式3/-5xy+3歹2的值。學(xué)材教育2.化簡：廠=，化簡并求值：辜叵 + 向/,其中x=2+ V3，y=2-6，Ja+Jby/xy + y x-y/xy答案為 o化簡:屈+用