工程碩士 數(shù)理統(tǒng)計課件 第一講1

1、 數(shù)理統(tǒng)計是用有效方法去收集和使用數(shù)據(jù)的科學(xué)。退 出目 錄前一頁后一頁 概率的概念形成于16世紀(jì)，與擲骰子進行的賭博活動密切相關(guān)。引言在生活當(dāng)中，經(jīng)常會接觸到一些現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象：特點：（1）在一次觀察中，試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性； （2）在大量重復(fù)實驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性。隨機現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象。在一定條件下可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。 隨機現(xiàn)象、隨機試驗、隨機事件是我們進入概率論世界的三把鑰匙。 E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（Heads）、反面T （Tails） 出現(xiàn)的情況。 這里試驗的含義十分廣泛，它包括各種各樣的科學(xué)實驗，也包括對事物的某一特征的觀察。

2、 其典型的例子有：隨機試驗（Experiment ）E3：觀察某一時間段通過某一路口的車輛數(shù)。 E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。退 出前一頁后一頁目 錄E4：觀察某一電子元件的壽命。 E5：觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度。這些試驗具有以下特點：（3）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，所有可能結(jié)果事先明確； （4）每次試驗之前，不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。（2）在相同的條件下可以重復(fù)進行；稱具備上面四個特點的試驗為隨機試驗。退 出前一頁后一頁目 錄（1）試驗具有明確的目的；隨機事件 : 隨機試驗中，每個可能出現(xiàn)的結(jié)果。 記作 A, B, C 等等；分類： 基本事件 :最簡單的不能再分的單個事件.

3、 復(fù)合事件:由兩個或兩個以上的基本事件組成的事件. 必然事件 :在隨機試驗中必然出現(xiàn)的結(jié)果. 不可能事件 :在隨機試驗中決不會的結(jié)果.隨機事件 我們稱一個隨機事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個基本事件在試驗中出現(xiàn)。退 出前一頁后一頁目 錄樣本空間 定義 將隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的 樣本空間,記為 。 樣本空間的元素，即 E 的每個結(jié)果，稱為樣本點。 每一個基本事件就是一個樣本點。退 出前一頁后一頁目 錄 E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（Heads）、反面T （Tails） 出現(xiàn)的情況。 E3：觀察某一時間段通過某一路口的車輛數(shù)。E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。E4：觀察某

4、一電子元件的壽命。E5：觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度。1 : H , T 2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 5 : ( x , y ) | T0 x , y T1 4 : t | t 0 3 : 0,1,2,3退 出前一頁后一頁目 錄 隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關(guān)系 每一個隨機試驗相應(yīng)地有一個樣本空間, 樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件隨機事件基本事件 必然事件不可能事件復(fù)合事件互為對立事件1 概率的計算2 一維隨機變量3 多維隨機變量4 數(shù)字特征第一章 概率知識（第一講）退 出目 錄前一頁后一頁一 事件之間的關(guān)系和運算二 概率的統(tǒng)計定義與公理化定義

5、三 古典概型及計算1.1 概率的計算 退 出目 錄前一頁后一頁1 包含關(guān)系 AB如果A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，則2 相等關(guān)系 退 出前一頁后一頁目 錄一、事件間的關(guān)系和運算AB3 和事件 事件 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A, B 至少發(fā)生一個 . 退 出前一頁后一頁目 錄4 積事件AB事件 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A , B 同時發(fā)生. 5 差事件ABAAB 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A 發(fā)生 B 不發(fā)生.退 出前一頁后一頁目 錄6 互斥（互不相容）7 逆事件 （對立事件）BA請注意互不相容與對立事件的區(qū)別！退 出前一頁后一頁目 錄A 8 完備事件組事件的運算規(guī)律交換律: 結(jié)合律:分配律:德摩根定律:(De Morgan)退 出前一

6、頁后一頁目 錄差化積:吸收律:例如，在 4 中觀察某一電子元件的壽命事件 A=t|t1000 表示 “產(chǎn)品是次品” 事件 B=t|t 1000 表示 “產(chǎn)品是合格品” 事件 C=t|t1500 表示“產(chǎn)品是一級品”則表示 “產(chǎn)品是合格品但不是一級品”; 表示 “產(chǎn)品是是一級品” ;表示 “產(chǎn)品是合格品”.退 出前一頁后一頁目 錄是互為對立事件；是互不相容事件；練習(xí)：設(shè) A, B, C 為三個隨機事件，用A, B, C 的運 算關(guān)系表示下列各事件.（1）A 發(fā)生.(2) A 發(fā)生，B 與 C 都不發(fā)生.(3) A , B ，C 都發(fā)生.(4) A ，B ，C 至少有一個發(fā)生.退 出前一頁后一頁目

7、 錄(5) A ，B ， C 都不發(fā)生.二、概率的統(tǒng)計定義與公理化定義1.概率的統(tǒng)計定義頻率 ,當(dāng) n 較小時波動幅度比較大，當(dāng) n 逐漸增大時,頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大小,它就是事件的概率 概率是用來表示事件發(fā)生的可能性大小的度量，記為P(A).試驗序號1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例 將一枚硬幣

8、拋擲 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大, 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實驗者德 摩根蒲 豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005頻 率 穩(wěn) 定 值 概率 事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義退 出前一頁后一頁目 錄2.概率的公理化定義 設(shè) 是隨機試驗E 的樣本空間，對于E 的每一個事件 A有 一個實數(shù) P(A)與之對應(yīng)，且P(A)滿足： 退 出前一頁后一頁目 錄 1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的

9、嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.3、概率的性質(zhì)退 出前一頁后一頁目 錄 生活中有這樣一類試驗，它們的共同特點是：（1）樣本空間的元素（基本事件）只有有限個；（2）基本事件發(fā)生的可能性相等。 1.古典概型定義 我們把這類隨機試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。退 出前一頁后一頁目 錄三、古典概型及計算.21ne=PePePL= 若樣本空間的樣本點總數(shù)為n，事件 A 包含 m 個基本事件，即 A =e1, e2, em , 則有 ： 退 出前一頁后一頁目 錄2.古典概型的計算：3.古典概型的性質(zhì)：（1）加法原理：完成某件事有兩類方法，第一類有n種，第二類有m種，則完成這件事共有n+m種方法。（3）排列：

10、 1）有重復(fù)排列:在有放回選取中，從n個不同元素中取r個元素進行排列，稱為有重復(fù)排列，其總數(shù)為 。排列組合公式（2）乘法原理：完成某件事有兩個步驟，第一步有n種方法，第二步有m種方法，則完成這件事共有nm種方法。退 出前一頁后一頁目 錄 2）選排列：在無放回選取中，從 n 個不同元素中取 r 個元素進行排列，稱為選排列，其總數(shù)為 （4）組合： 從 n 個不同元素中取 r 個元素組成一組，不考慮其順序，稱為組合，其總數(shù)為 例1 球放入杯子模型 把 4 個不同球放到 3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率, 其中假設(shè)每個杯子可放任意多個球. 4個不同的球放到3個杯子的所有放法 因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為 例2 設(shè)有 N 件產(chǎn)品，其中有 M 件次品，今從中任取 n 件， 問其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有 在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有 解：在 N 件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有退 出前一頁后一頁目 錄由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有 于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。1 電話號碼問題 在7位數(shù)的電話號碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率. 2 骰子問題 擲3顆均勻骰子,求點數(shù)之和為4的概率.練習(xí)如果事件A 與 B