22李永樂數(shù)學(xué)二《六套卷》

1、考生編號(hào)姓 名2022年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二模擬一考生注意事項(xiàng)答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生姓名和考生編號(hào)；在 答題卡指定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考 生編號(hào)信息點(diǎn)。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊(cè)、草稿紙上答題無效。填（書）寫時(shí)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂?？荚嚱Y(jié)束，將答題卡、試題冊(cè)和草稿紙按規(guī)定交回。一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.設(shè)g&

2、)可導(dǎo)，且當(dāng)H0時(shí),g(H)是工的高階無窮小，則當(dāng)攵0時(shí)，必有g(shù)(工)是無窮小量.(E)壬、是無窮大量.若GQ) = g(工)，則G(r)是工的高階無窮小.山是工2的高階無窮小. 設(shè) /(x)為連續(xù)函數(shù)，lim ”了(無) 史1 + 刃=2 ,F(x) = tf t)dt，當(dāng) h 0 時(shí) F(h)xf 0 xJ oJx與b衛(wèi)為等價(jià)無窮小，其中常數(shù)b工Q,為某正整數(shù)，則/(0)=虹/(0) = b.(B)(0 ) = ，()= b.(C)y(0)-務(wù),/(0) = 66.(D)(O ) = ,”(0) = 66.uO下列命題中正確的是設(shè)(工)，/(2。)是夕=/(-)的拐點(diǎn)，則x = j：0不是

3、(t)的極值點(diǎn).設(shè)x =工0是/(工)的極小值點(diǎn)，/(z)在x = JCO二階可導(dǎo)，則/(zo) = (,#(攵0) 0.(工)在(a,b)只有一個(gè)駐點(diǎn)jco，且是/(工)的極小值點(diǎn)，則(S)是f(z)在(a,b)的最小值.若/_ (6) V 0,則/(6不是/(x)在a,6的最大值.下列反常積分發(fā)散的是r+ i(D)d.J 2 )rln x設(shè)P”Q)為”次多項(xiàng)式，則常微分方程= Pne的通解的形式為y = Ge2+Gee+Q”(z)eH其中G C 為任意常數(shù),Q”Q)為待定”次多項(xiàng)式.)=(尹+。2廠+&”(工疋，其中G，G為任意常數(shù),Q”Q)為待定”次多項(xiàng)式.y = Ge- + Ge +Q

4、”Q)e*,其中G，G為任意常數(shù)，Q”(S為待定”次多項(xiàng)式.y =+其中C】，C2為任意常數(shù)，Q”Q)為待定n次多項(xiàng)式.設(shè)ux,yy在點(diǎn)Mo(h)處取極大值，且：(號(hào)Q均存在，則 dxdy(A)“(電呼) o.(D) d 呼/ 0, / :警)“ 0. 3ydx?設(shè)常數(shù)0 VaV 1,區(qū)域D由工軸，軸，直線工+夕=a以及h + y = 1圍成.記=卍(z + y)7 ,J = JJln3 (z + y)d(r,K = JJ(h DDD+ y)c則IJK的大小關(guān)系是(A)J KL(B)J(C)VJVK.O)K(a3 + 4線性無關(guān).如線性無關(guān),貝則：)(：)(：)線性無關(guān)如a不能由i心,線性表示

5、，則a】,a2，心3線性相關(guān).已知 a= (1,1,a)T 是二次型 xrAx = x + ax. xl + 2(a 1 )lrllr2 + 4a：i a3 + 4氐工3 的矩陣 A的特征向量如xT(A +融)x的標(biāo)準(zhǔn)形是硏+ 3y| + 5式,則怡的取值范圍為(-oo, 3)(B)(一3,1).(0(13).(D)(,+r).二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分請(qǐng)把答案填在答題卡指定位置上. TOC o 1-5 h z lim (1 + sin(兀丿42 + 2)=”一 8 設(shè) f(攵，y) = +siiSDd,則 f J.J x2dxdy (13(設(shè) D = Q ,y) | jc

6、2 + $2 冬 2z + 2,貝+.D設(shè)/(刃)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),*0) = 0,/(a)= 1,F&) = fOFGa Ddl,則 F(2a) 2!F(c) =.已知6 0,+co)為連續(xù)函數(shù),且滿足| /U2-Z)ck-,則*(刃=.2 0(16)已知矩陣直=0 a_0 20_2與B =3_0,00_0相似，則二次型xT(A + E)x在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)b_形為三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(本題滿分10分)已知極限lim(予 + 呂 +dt)= 1,求 a,b,c.(18)(本題滿分12分)(I )設(shè)于(工在(a, + 連續(xù)又存在1 im/

7、(z)及l(fā)im fO,求證：/(z)在(a, + 有界; 1+8(H)求證：/Q)=丄一J有在(0 + g)有界.x ex 1(19)(本題滿分12分)設(shè) /(北)在a, + 連續(xù)且 0,又 b a,F(z) = +dt,求證:(I )F(a)在(a, +s)有唯一零點(diǎn).lim F(x) =+a.(20)(本題滿分12分)設(shè)工1 = 1，攵卄1 =-Tp (n = 1,2,)，求極限 lirmz”.L -T 3Cnnf(21)(本題滿分12分)設(shè)廠:工= z(t),y = y ( t ) (a冬t0)是區(qū)域D內(nèi)的光滑曲線，即力(，夕在a,0有連續(xù)的 導(dǎo)數(shù)且/2()+2(0 HO.T的端點(diǎn)為,B

8、,fCx,y)在。有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且y(A) = *B).求證:存在to c (a,/)相應(yīng)地Xo = zdo)，夕0 = 夕(to)使得咋5。)/仏)+咋.，為“，仏)=0dxdy(22)(本題滿分12分)-1200_設(shè)人=10000012_ 0001.(I )求矩陣A的特征值、特征向量；(H )求 A.(皿)矩陣A可否相似對(duì)角化，并說明理由.考生編號(hào)姓 名2022年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二模擬二考生注意事項(xiàng)答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生姓名和考生編號(hào)；在 答題卡指定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考 生編號(hào)信息點(diǎn)。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上,非

9、選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊(cè)、草稿紙上答題無效。填（書）寫時(shí)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。考試結(jié)束，將答題卡、試題冊(cè)和草稿紙按規(guī)定交回。一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.已知當(dāng)工f 0時(shí)，(1 + sin 2；)厘譽(yù)與a山”(工+ y 1 +)是等價(jià)無窮小，則t? = l,a = 2宀 (B)n = l ,a =一 2e2(C)z = 2 ,a = 2e2.設(shè)于Q) = limCr 1)arctan | x |,則”一*8”(

10、H)為(一 oo, + oo)上的連續(xù)函數(shù)./(jc)在(co, + oo)只有一個(gè)間斷點(diǎn) X = 1./(j)在(一+ 8)只有一個(gè)間斷點(diǎn)工=1y(H)在(一oo,+oo)有兩個(gè)間斷點(diǎn) xc = 1.設(shè)函數(shù)/(工)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)y(a)的圖形如圖，令函數(shù) y = /(無)的駐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為加，曲線夕=/(無)的拐 點(diǎn)個(gè)數(shù)為卅，則(A)Z = m = n = 3.(B)Z = m = n = 2.(C)Z = 3,m = 2,? = 3.(D)Z = 3,m = 2,n = 1.下列四個(gè)不等式中成立的是(D)n = 2 ,a =2譽(yù).ex V e + e(jr 1)(

11、* H 1)ex e + e(z 1) (z H 1)(C) ex V e + e(z 1)(D) ex e + e(H l)設(shè) FQ) = J sinn+rdt/z 是正整數(shù)，則F(Q是奇函數(shù).F(h)在(一x, + oo)上單調(diào)遞減.F(文)在(00, + o)上單調(diào)遞增.(D)FQ)是以2t為周期的函數(shù).(hV l),ee + e(g l) (h1)(z V 1) ,e V e + e(w 1 (工 1). 設(shè)夕=2 ,則(0) = ( = 1,2,3,)1 x(A)y2Li)(o)= O,y2n)(0)=(2/)!.(B)yn(0) = n!.“2i(o)= (22l)!,y2(o)=

12、 0.(D)yn(o) = (2n)!.點(diǎn)(0,0)是 f(x ,y) = x3 心2 + 2巧 yz 在區(qū)域 D = (工,)一25無工4, 1 夕= 1 內(nèi)的唯一駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn).(B)且是極小值點(diǎn).且是極大值點(diǎn)，但不是D的最大值點(diǎn).(D)且是極大值點(diǎn)，也是D的最大值點(diǎn)58 1一8-3 =13 -8 -_5-3 一913一 13522139+ k5+ k(B)+ k.(C)+ k12.(D)3331212-3-9J2_6-62862一2 已已知心 是4元非齊次線性方程組Ax = “的3個(gè)解，且廠(A) = 3.若o】+a2 =(5,9,3, 2廠皿2 2a3 =(8,13, 12,6)t,

13、&是任意常數(shù)，則方程組山=b的通解是)寺設(shè) A =妙，其中 a = (1,3,2)T ,0 = (a, 1 ,a)T= a_22 a ,A和礦分別是A和B的a a_(A)l (E)-l(C)2.(D) -2.伴隨矩陣，如果r（A# 一少）=1則a =（1C）已知矩陣231 -一-21r一 200_02-)=0209 人2 =0209 A3 =1一 10,人4 =020_00_1_43_-132_201_2則能和對(duì)角矩陣A =2相似的是-1_(A)Ai加3(E)4山4(CM2,A3.(D)A2 ,人41工2（11）設(shè) y（a）=2，az 十 bx ,丁 V 1二在龍=處可微，則a =,b=二、填

14、空題16小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡指定位置上.=+ 工(j /(x)dz，則J fkxidx =f+oo（12）設(shè)二/（工）山 收斂，/&）（13）設(shè)擺線L：= , _S （一x e tt ），則l繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)面的面積a =y = 1 cos 9(14)設(shè)積分區(qū)域D2 + y2 0）所圍區(qū)域的面積 之和為t2,求曲線夕=J 的方程.（19）（本題滿分12分）設(shè)設(shè)（心，g（G）在0,1上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且J = 3社 fkxiAx.試證存在兩個(gè)不同的點(diǎn) 冷6（o,i）,使得fe）= go）y（e /（）.（20）（本題滿分12分）（工一2t）y（t）dz設(shè)

15、/（工）在（一, + oo）連續(xù)，且 F（q） = v -，攵工 ,、0 ,z = 0.（I）求 FCz）（h H0）.（H 求證:FQ）在z = 0連續(xù)，且若于（刃 在（一oo,+oo）單調(diào)遞增，則FQ）在（一8,0單 調(diào)遞增，在I0, +）單調(diào)遞減.（皿）證明：FQ）在（一oo, +oo）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).（21）（本題滿分12分） 證明下列結(jié)論：（I ）設(shè)ft“）定義在全平面上，且字=0,字=0,則/恒為恒為常數(shù). dxdy（I）設(shè)（工,了）定義在全平面上，且滿足3u _ dv du dz dy，dy+ v2 = c（常數(shù)）,則“（z,），q（h,_y）恒為常數(shù).（22）（本題滿分12分）設(shè)

16、二次型 /（，工2，攵3）= ZAz = 3x1 -az + 4zxx2 ）x1X3 4工2工3，其中一2 是二次型矩陣A的一個(gè)特征值. I ）求并用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所用的正交變換.（H）求二次型y在條件喈+十+工加=1下的極小值.（皿）若xT（A + 融）x是正定二次型，求怡的取值.考生編號(hào)姓 名2022年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二模擬三考生注意事項(xiàng)答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生姓名和考生編號(hào)；在 答題卡指定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考 生編號(hào)信息點(diǎn)。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)

17、域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊(cè)、草稿紙上答題無效。填（書）寫時(shí)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂?？荚嚱Y(jié)束，將答題卡、試題冊(cè)和草稿紙按規(guī)定交回。、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.心)“(皿(1)設(shè)/(在z = 0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且#(0)工0,1血以空=O.lim山_: =0工0,則 lo x”o+ x sin xa=l,/?=/(O).(B)a = 2,p = 2/(0).(C)a = 1，P = /(O).(D)a = 1,0 = 2/(0).設(shè)有方程分3工+怡=0,其中

18、k為常數(shù)，則該方程當(dāng)k=2時(shí)，一個(gè)實(shí)根.當(dāng)丨k2時(shí)，兩個(gè)實(shí)根.當(dāng)M |2時(shí)，三個(gè)實(shí)根.當(dāng)k = 2時(shí)，三個(gè)實(shí)根.(3)曲線y =工?(工一)(工+1)2的漸近線條數(shù)為(A)l.(E)2.(03.(D)4.(4)函數(shù)y卄皆的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)守=(A) 一(l+ex)3*(B)-1l+v*(C)(TTFF-(D)11+于下列反常積分J (工廠，+ sin x)dj：.中收斂的是(A)，.(B)，.(C)，.(D)，.| x | Acos , re 工 0,設(shè) g = 0 為常數(shù)，則 I = J 0 J ofa r a -X(A) dr .f(x9y)dy.J a J V a x已知x維向量0可由心

19、，血，線性表示，則錯(cuò)誤的是r(at ,a2，,a$)= r(i ,a2,0)r(i +0,。2 + 0，& +0,0)=廠(on ,02，,，0)r(ai 4 0,。2 +0，a$ +0)W 廠Si ,02，%)r(ai 丄“，02 + 俟，a、亠 0) = r(i ,a2，,a$)九是3階矩陣陣的二重特征值，在下列向量組中(1,2, - 1)丁，(2,4, 2)丁，(0,0,0)(1,1,1)t,(1,2,1)t,(-1, 3,5)1. 有可能是入的特征向量是或.(B)或.(1,0,1)t,(2,3,2)t,(1, 一1,1)丁.(1,3, 2)丁，(3,9, 6)丁 ,( 2, 6,4).

20、(C)或.(D)或.已知A是4階實(shí)對(duì)稱矩陣，滿足A。+A2 + 2A = O,若r(A) = 3,則A + B相似于11(A)-1一 1-11(C)1_ -1_一2(B)(D)-2_20_二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分請(qǐng)把答案填在答題卡指定位置上.(11)設(shè) / (工 + * ) = Inz | 一 *ln (工4 + 1),則=(12)(1捧虧虧山函數(shù)y = 1 +壬扌弓的麥克勞林公式中疋項(xiàng)的系數(shù)是.1 X 十 X(14)通解為y = G* + C2x的常微分方程是.(155 設(shè)二二v),du =d.z +夕dv,則 u(z, v).已知的是3階矩陣,ai心,a3是3維線性無

21、關(guān)列向量且ai +a2 +a3是矩陣的屬于特征值入=5 的特征向量，又 Aax = ai + 3a2 + 2a3，的X2 = 2at + a2 + a3,則丨 2A* | =.三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(本題滿分10分)設(shè)曲線夕=sin jc(O M 乂 W nic,n = 1,2,)和z軸所圍成的區(qū)域?yàn)锳,區(qū)域A繞夕軸旋轉(zhuǎn)所 得旋轉(zhuǎn)體體積為S”.(I)求 S” ；(口)求極限膽希 + 懸 +禹(本題滿分12分)設(shè)z = fl J + b)，其中/()有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),/(0) = /(0) = 0,且務(wù)+ I工一丄學(xué)= dx Iy x Ixz

22、+ J亡 + 夕2,求 y(w).(本題滿分12分)設(shè) f(jc) = f t I X i I 令，試求J 00(I )函數(shù)/(&)的極值和曲線y = 2)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；(U)曲線夕=/2)與工軸圍成的區(qū)域的面積及繞夕軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(本題滿分12分)求1 = JJ( +夕+ 2b)曲,其中D是圓周x2 + y2 = 2cax所圍成的區(qū)域 0.D(本題滿分12分)設(shè)F(h) = jc： + ax2 + bx + c,a,b,c,為常數(shù)，方程P(x) = 0有三個(gè)相異實(shí)根勸，互，比，且V X2 工3，又P(t)It 為勸 1 + 2九 一 口3一 2 工4=1，2 2工2 + 攵3

23、+ 工4 = 1,4攵1 10j：2 + 5無3+ 戀4 = b,(I )當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有解、無解?并在有解時(shí)求其通解.(H)求方程組滿足Q =氐的所有的解.(皿)若AATx = 0有非零解，求a.考生編號(hào)姓 名2022年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二模擬四考生注意事項(xiàng)答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生姓名和考生編號(hào)；在 答題卡指定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考 生編號(hào)信息點(diǎn)。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊(cè)、草稿紙上答題無效。填（書）寫時(shí)必須使用黑色字跡簽字筆

24、或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂?？荚嚱Y(jié)束，將答題卡、試題冊(cè)和草稿紙按規(guī)定交回。一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.設(shè)在乂 = 0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且/(0) = 0,若limIjcx = 3,則f(x)I f(x) J ln(l +z2)d在z = 0處不連續(xù).(B)連續(xù)但不可導(dǎo).(C)可導(dǎo)且 /(0) = 2.(D)可導(dǎo)且 /(0) =已知函數(shù)z = z(z,y)滿足z?字+ b學(xué)=嚴(yán).設(shè)u = x,v =丄一丄, =丄一丄對(duì)函數(shù)dxdyy xz xib =0(u,u),則學(xué)=duU(B) us(C) 0.

25、(D) 1.T (匸:心-超)=(A) 8e.( B) 4e.(C)4e.(D) 8e.設(shè)b為實(shí)數(shù)，二階線性齊次常系數(shù)微分方程J + 色+ y = 0的每一個(gè)解yQ)在區(qū)間0 V z V+s 有界,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(A) (oo,0).(B) (8, 1.(C)0,+).(D) _ 1, + oo),f(.x,y) = /jc2y 在(0,0)處不連續(xù).連續(xù)但 /(0,0),/(0,0)不存在.連續(xù)且A(0,0),/0,0)均存在，但不可微.可微.(6)下列函數(shù)中在區(qū)間2,3上不存在原函數(shù)的是Jnd+X) F(A”(工)=v_空，/(j：) = max | x , 1.H 0 ,H = 0

26、 ,z V 0.*(八 1), 寺(1),ln( 1 + 工?)一 j?x4(0/() = 0,tan x sin x/(x) = J g()dz,其中 g(H)設(shè)于&)有一階導(dǎo)數(shù)且/(O) = 1,F(Q =&2 產(chǎn)”曲，則函數(shù)FQ)在x = 0處取極大值.函數(shù)FQ)在工 = 0處取極小值.函數(shù)FQ)在工 = 0處不取極值，但點(diǎn)(0,F(0)是曲線y = FQ)的拐點(diǎn).函數(shù)FQ)在工 = 0處不取極值，點(diǎn)(0,F(0)也不是曲線j = FQ)的拐點(diǎn).(8)已知a】，価皿3是齊次方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系，那么Ax = 0的基礎(chǔ)解系還可以是ai + 2a2 5a3,3a) ct2 + 4a3

27、.ai + 2a2 a3,3a2 + 2a3,4a3 2血 ai.ai + 2a3,3a3 + 7ai ,5ai 4a3.ai + 2a3,3a2 + 5a3 + ax ,a3 + 2ai + a2.(9)下列矩陣A和B不相似的是200_100(B)A =001,B =020_010_00-1-123003_(D)A =000,B =002 ._000_001_已知 a =(1,3,5, 1)丁皿2 = (2,1,3,4)丁皿3 = (5,1, 1,7)丁 線性相關(guān)，若 V0仏0+ 血 , 仇0 +。2異3 0 + 仍線性相關(guān)，則 H 依次可以是(A)l,3,5.(B)3,l,5.(C)5,1

28、,3.(D)l,5,3.二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分把答案填在答題卡指定位置上. TOC o 1-5 h z 曲線y = -”+:的斜漸近線方程為.v x2 1設(shè)二元函數(shù)滿足 dF = (ecos y + 2巧？)dx + ( 2 x2 y e)sin則 FQ,j)=(13)設(shè)C,11上連續(xù)函數(shù)y(z)滿足y&) = 4乂“丄魚孕二旳山,則_y(z) =.設(shè)有以極坐標(biāo)表示的曲線L：r = 1 + cos 0,則L在點(diǎn)M (號(hào)，1)處的切線的直角坐標(biāo)方程是設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系Ozy的y軸上作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為c,定點(diǎn)A在工軸上鼻=a 0處，記AP之長(zhǎng)為Z則直線段AP的角速度與廠之

29、積為.二次型,：C2 ,心)=(2心 + 3乜 + 口)2 + (4m + 5工2 + 3工3)2 + (2口 + ax2 3j：3 )2 是正定二次型，則a的取值為.三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本題滿分10分)1丄1丄1 + V九求極限I = limn-*1sin .n空土 1 +2 Hp na/2 + 疥a/22 + 圧y/n2 + 看(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)/(Z二階可導(dǎo),y(o)= i,/(o)= o,且對(duì)任意2上o有嚴(yán)(刃一厶門工+ 6/&)$o,證 明不等式/(&) 3e2j 一 2e% 0).(本題滿分12分)設(shè)曲線L過點(diǎn)

30、(1,1)丄上任一點(diǎn)PQ,y)處的切線交乂軸于T,且丨PT =丨CTT | ,試求曲線 L的方程.(本題滿分12分)求二重積分J =& + j)dzd，其中D由直線z = a,x = 0, = a,y = a及曲線 DX + y2 = a,(0)所圍成.(本題滿分12分)設(shè),(x)是連續(xù)函數(shù).(y + 4 V = o(I)求初值問題(，、，、 的解y = p3 ；b(0) = 0(/(0) = 1仔(y + 4v = f (z)(II )求證y(z)= |卩j(g t)dt是初值問題,的解；Job(0) = 0,y(0) = 0(H)求y + 4y = f(O的通解.(本題滿分12分)設(shè)A是各

31、行元素之和均為0的三階矩陣,a,0是線性無關(guān)的三維列向量，并滿足Aa = 3= 3a(I )證明矩陣A和對(duì)角矩陣相似；(H)如 a= (0, 一1,1),0= (1,0, 一1)丁，求矩陣 A；(皿)由(口)用配方法化二次型丁ta為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用坐標(biāo)變換.考生編號(hào)姓 名2022年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二模擬五考生注意事項(xiàng)1答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生姓名和考生編號(hào)；在 答題卡指定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考 生編號(hào)信息點(diǎn)。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試

32、題冊(cè)、草稿紙上答題無效。填（書）寫時(shí)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂?？荚嚱Y(jié)束，將答題卡、試題冊(cè)和草稿紙按規(guī)定交回。、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.設(shè)/&)在x = a處連續(xù)，且lim=-1,則(A)h = a是/(工)的極小值點(diǎn).(E) X = a是/(工)的極大值點(diǎn).(a,/(a)是曲線y =的拐點(diǎn).(D) f (工)在x = a的鄰域內(nèi)單調(diào).設(shè)曲線L-y = lnz,貝I(A)L在(普，罟)點(diǎn)取得最小曲率半徑攀.L在(|,1一 ln2)點(diǎn)取得最小曲率半徑欝.L在(號(hào),1 In 2)點(diǎn)

33、取得最大曲率半徑普.設(shè) /(x) = F I 斗ysin 工,則 f(x)有丨z 1丨(A)兩個(gè)可去間斷點(diǎn).(B)兩個(gè)無窮間斷點(diǎn).(C) 一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn).(D) 個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)無窮間斷點(diǎn).設(shè)= jj (jc + j)3da,N = jj cos j?2sin y2da9P = jj (e_J 1)曲,貝！|必有工 i+WQx2+7ix2+7 N P. (B)N M P. (C)M P N. (D)NPM.微分方程/ + 9=工+ cos 3工的特解可設(shè)為(A)ar + b + j?(Acos + Bsin 3h)(B)j：(az + b + Acos 3x + Bsin 3

34、jc)(C)az + b + Arcos 3h.(D)ar + b + Asin 3jc.質(zhì)量為M,長(zhǎng)為2的均勻桿AB吸引著質(zhì)量為加的質(zhì)點(diǎn)C,C位于AE延長(zhǎng)線上并與近端距離為a,已求得桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)C的引力F =號(hào)經(jīng)，其中怡為引力常數(shù)，將質(zhì)點(diǎn)C在桿的延長(zhǎng)線上從距 a (7 十 a)離近端ro處移至無窮遠(yuǎn)時(shí)，則引力作的功為(A) -ln(l + -V(B) -ln(H-V21 r0 /I r0 /(C)甥Mn(/ +右).(D)彎Hn(/ +右).函數(shù)u = xyz2在條件x2 + j/2 + z2 =4(H0,y0,z0)下的最大值是(A)4.(B)3.(02.(D)l.已知A是3階矩陣且丨A |=

35、土,則| (yA) 1 +(2A)-=(A)16.(B) -16.(0256.(D) - 256.設(shè)a心，f.、.是九維列向量，則下列命題中正確的是若仙心，中任意5 1個(gè)向量都線性無關(guān)，則向量組血心,心必線性無關(guān).若a不能由a】,a2，,i線性表示，則向量組a 心，心必線性無關(guān).(C)若ai心，心線性無關(guān)，則1弘2asa必線性無關(guān).(D)若ai ,a2，jds線性無關(guān)，則+ a 心 + 3，,a + a+ a必線性無關(guān).(10)已知A是3階矩陣，5心是Ax = 0的基礎(chǔ)解系，a是(A + 31E)x = 0的非零解，則廠1 AP = A正確的是 TOC o 1-5 h z P = (a , 5

36、仗2 ,a) yJA =0._3_P = ( + a? ,ai C2 ,a),A =0.-3_P = (ai + a,a2 ,a)=0._3_0-P =(a,ai ,a2)A =0-3二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡指定位置上.已知方程3分 - 8工彳 - 6工2 +24z十a(chǎn) = 0有四個(gè)不相同的實(shí)根，則a的取值范圍為.(12)已知g =，則 #(1 )=(工 1)(工 2)(無 n)(z + 1)Q + 2)Q + ”) 設(shè)連續(xù)函數(shù)非負(fù)，且/(&)/(&)曲=2工2,則gg在區(qū)間0,2上的平均值為.方程3工夕5/(工)+ x2 +y = 0的通解為r+1設(shè)a

37、 ,b0,反常積分|鳥丄、”吐收斂，則a，#滿足的條件為-J o x (ZOZZ 十 x)12 r已知入=0是矩陣A = 15 a的特征值,A*是A的伴隨矩陣，則齊次方程組_2 a + 32_A i x = 0的通解是模擬五第2頁(共)頁)三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分10分）已知曲線y = 和f e-2 At = 2一sin r在原點(diǎn)處相切，試求極限lim（旦瑁刃J a OC/（18）（本題滿分12分）設(shè)拋物線y = ar2+c通過點(diǎn)（0,0）和（1,2）,且a0,試確定a,b,c的值使該拋物線與z軸所圍圖形D的面積最小，并求此

38、圖形D繞直線工=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.（19）（本題滿分12分）設(shè)設(shè)=（亍，子）其中中心。有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求d“及盤走.（20）（本題滿分12分）0r V4_上222r J4-/2計(jì)算 7 = I（乂2 + 夕2 ）dy + I dz| .-（J：2 + y2）dy.a 罷 j xa o a v 2 工x（21）（本題滿分12分）設(shè)/（工）在0,1 連續(xù)，在（0,1）可導(dǎo)，且yco） o,/（1） 0. 求證：至少存在一點(diǎn)$（0,1）,使得t（e）+ $2（t（e） e = 1.（22）（本題滿分12分）設(shè)二次型xTAx = ax + 2工2 & + 8zi2 + 2bHXz + 2

39、i:jc23：3j 0 矩陣A滿足AB = O,其中B= 0 0 0.1 0 1_（I ）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用正交變換.（H）判斷矩陣A和B是否合同，并說明理由.（皿）若二次型xT （A + 融）X的規(guī)范形是閔+立一崩，求反考生編號(hào)姓 名2022年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二模擬六考生注意事項(xiàng)1答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫考生姓名和考生編號(hào)；在 答題卡指定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考 生編號(hào)信息點(diǎn)。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊(cè)、草稿紙上答題

40、無效。填（書）寫時(shí)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂。考試結(jié)束，將答題卡、試題冊(cè)和草稿紙按規(guī)定交回。一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.已知lim 心tan號(hào)arcsinjo,則恤1 +廠下毗=j-0JC3X-O L1 + JJC)(A)e.(B)e2.(C)e6.(D).若/(x)在點(diǎn)x0處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在，則在點(diǎn)處(A)可導(dǎo).(B)連續(xù).不可導(dǎo).(D)不一定連續(xù).設(shè) (J)= -4 (1 x) ,/2(工)=y/3J2 - 4x3, f3(x) = sin 2x 2sin x, (x)

41、= /l + tan x 一 sin E,貝I當(dāng)無f 0時(shí)，將 (力),f2 (工),f3(無)(工)按無窮小的階數(shù)，從小到大排列為f3 (工)，/*4 (無)，九(無)(工)/4(工)，九(工)，九(無)/1 (工)(D) f2 (x) ,/4 (x) , f (x) ,/3(工)丁卄2設(shè)/(jr) = lim一(工Z 0)，則門工)在區(qū)間(0, + oo)上”f00 /22n +x2n(A)連續(xù).(B)有一個(gè)可去間斷點(diǎn).有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn).(D)有一個(gè)第二類間斷點(diǎn).設(shè)函數(shù)/()有二階導(dǎo)數(shù)，且lim 島苓弋=0,lim#W 一 1 = 2021,則x-o ln( 1 十工)x-o 上一1/(0

42、)是/(x)的極大值./(0)是/(x)的極小值.(0(0,/(0)是曲線y = /(x)的拐點(diǎn)./(0)不是/(x)的極值,(0,/(0)也不是曲線y = /(x)的拐點(diǎn).曲線，=吐/寸的漸近線條數(shù)為(A)l.(B)2.(03.(D)4.由下列四個(gè)條件/(Z)= (x a)p(x),其中(p(.x)在 x = a 連續(xù)./Xz) = | x a | 0,使對(duì)任意工 (a d,a+d),有丨fCx) |L | x-a卜，其中A1為常數(shù).他+小敖()存在.aoZn能分別推出/(a)存在的條件是(A)，.(B)，.(C)，.(D)，.設(shè)A為”階矩陣，對(duì)于齊次線性方程組(I)A”x =0和(U)A+

43、x = O,必有(A)( D )的解必是(I )的解,(I )的解也是(H )的解.( I)的解必是(n)的解，但(n)的解不是(I)的解.( n)的解必是(I)的解，但(I)的解不是(n)的解.( I)的解不是(D)的解，(口)的解也不是(I)的解設(shè)A是mXn矩陣，矩陣A經(jīng)若干次初等行變換得到矩陣B ,下列命題中錯(cuò)誤的是A的列向量可由B的列向量線性表75.A的行向量可由B的行向量線性表示.A和B的行向量組等價(jià).A的列向量子集與B的對(duì)應(yīng)的列向量子集同時(shí)相關(guān)(或無關(guān)).-o 1 一 r已知A= 101 皿是3維單位列向量，則與A合同的矩陣是-1 1 0 _(A)E ar.(b)e + aar.(

44、C)- W1.(D)E +二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡指定位置上.zcos 7 , H H 0 , TOC o 1-5 h z 函數(shù)f(H)=Y X在H = 0點(diǎn)可微，則自然數(shù)的范圍為、0,x = 0設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 /(.r ,y) = y2 +x IT f(j：,y)djcdy,則/Xz,，) = .曲線夕=嚴(yán)嚴(yán)的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)# = (2 1)設(shè)甲(Z有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，1 屛豐0,z = z(jzy)由方程z = x + y(z)確定，則dz =三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本題滿分10分)試證明不等式

45、3x C tan x + 2sin x,x (0,冷J.(18)(本題滿分12分)求極限，:豎. 才一(sin工尸 腎 dn(l+Q (19)(本題滿分12分)求 z = jc2 + 12可 + 2y2 在區(qū)域 D= (工，夕)| 4工2 + y2 W 25上的最值.(本題滿分12分)已知通過工軸上的兩點(diǎn)A(l,0),B(3,0)的拋物線夕=a(h1)(9 3),a為參數(shù).(I )求證:兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍成的面積等于軸與該拋物線所圍成的面積；(n)計(jì)算上述兩個(gè)平面圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積之比.(本題滿分12分)設(shè) /(x)在0,1連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，/(0) = 0,產(chǎn)

46、(1) = 1.求證：(I )22() 1 = 0 在(0,1)存在根.(II )存在w H可w(o,i)使得使y +得)=2.(本題滿分12分)設(shè)A是三階矩陣， ,0.2 ,a3是3維列向量，其中a3工0,若Aai = a? ,Ax2 = a3，血，=0.(I)證明明，線，as線性無關(guān)；(口)求矩陣A的特征值和特征向量；(皿)若 a】=(0,l,0)T,a2 = (l,0,0)T,a3 = (0,0,1)T,求 A,A 和(A + E).2022年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二模擬一參考答案一、選擇題（1）【答案】D|g（r）空響響【分析】由于lim _2= “m打壬=0 -故應(yīng)選（D）.x-

47、*0 XX0 LX（2）【答案】D【分析】F(h)= J tf (a t)dt(令工一 t = u)x f(u)du I ujf(u)du 古去o TOC o 1-5 h z (jc u) jfG)d = x J(D)d” 一 u/XQdw. 0JoJoFG) 一 昇 limt= limz- 0boCx0J(u)du + Hf O)好(h) x lim仏x-*01- /(1) 一 1 =Xo hkf42 由im M 護(hù) 土 Q = lim g- H ：手 + ) =2 知 lim 41 = Zf 0 x工一 0T則人=3,b= y-,/0) = l,/(0) = y.（3）【答案】D【分析】方

48、法一由舉例易知（A）（B）（C）不正確.如圖1所示，（工0 J（Ho）是夕=/（刃的拐點(diǎn)且無=H是/（工）的極小值點(diǎn).（A） 是錯(cuò)的.極小值點(diǎn)工0處可以有f （工0）= 0.如/（JC）=（2無0）=Zo是f（x）的極小值點(diǎn),fS = 0. （B）是錯(cuò)誤的.若于（工不連續(xù)，命題（C）不正確，如圖2.S 在（a,&）有唯一駐點(diǎn)氐，是/（工）的極小值點(diǎn)，但/（x0）不是/（刃在（a,b的最小值.因此，選（D）.方法二由最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可知（D）正確.因?yàn)?，?（6）是 g 在a-6的最大值且（6存在，則仁=上m 心一少$ 0-于是當(dāng)/- （6） 0（ 0）,則/J在X =工0取極?。ù螅┲?若/（

49、工）在乂 = 無0取極?。ù螅┲担瑒t”（工0）= 0 9 f （如）3 0（ W 0）.若fix）在（q“）連續(xù)，工=云是在（,）的唯一極值點(diǎn)則X = jc 一定是/（工）在（a,b的相應(yīng)的最值點(diǎn).設(shè)/（j:）在在可導(dǎo)，工=c G a,b是/（在在,的的最值點(diǎn).若 c W (a,b,則= 0.若 c = a,j(c) = maxX(H),則 f (c) W 0. f(c)=a,6若 c = 6,f(c) = max/Xj),則 f (c) $ 0. f(c)=minfO),則 f (c) $ 0. min/X k)，則 f (c) W 0. a（4）【答案】DC+8+8 1I +8【分析】由于

50、|応=:d（ln工）=ln（ln=+ 故選（D）.J 2 Hln jc J 2 In x12實(shí)際上，用比較判別法知（A）（B）（C）均是收斂的.因?yàn)?limz寺 3 ” = 1, lim （1 無）+ 丄= 丄，1曲工一，=0.工_0VSnX_i-a/1 F 梶 z_+8（5）【答案】D【分析】 齊次線性常微分方程y+yty = 0的特征方程為Az+A-2 = 0,特征值為右=2,入2 = 1,所 以常微分方程/ + 2 =工0是/（X）的極大值點(diǎn)亠”/、 d / 、丨_ 9%（Mo） _0（5）=蒼（2M）lr = 0,（若fZ = 警呼）0,則工=工。是/（刃的極小值點(diǎn)，于是得矛盾）.同理

51、，令g（y） = %（工0 ,y）Qy = m是g（y）的極大值點(diǎn)亠3%(Mo)3y叫、 嚴(yán)J/ “（M。）孑門g（y。）=辱“如叫 ”=* =因此，應(yīng)選（A）.（7）【答案】B【分析】 在區(qū)域D上有0 z + y 1,于是lr?（Q + y） 0 WsirQ + y） （工+丿嚴(yán) Q + y）,且它們互 不恒等，連續(xù).因此，它們?cè)贒上的積分值滿足JJln3 (z + y)dr DJJsin2 (無 + y)d(j V DJJ(z + y)d(r.D應(yīng)選（B）.（8）【答案】A【分析】由于_ 2知2 2122gl3200刁1112Q13A】=000=003|。22如33313 232%33-_

52、00-3_|1_衛(wèi)31如3233 22一 4那么am =0AA=0(一2E)=0_- 3_3_ 6_- 3*7故(E + ArA )* =1=217_3_（9）【答案】B【分析】 如偽=,可知（B）不正確. TOC o 1-5 h z _111 一（CC1 + 0 2 一 02，血）=（CE1 ,。2，心）1 一 10,_00一_11 1 _而 1 10 可逆，于是 r（ctl +。2，。1 02 9 01 3）=廠S| 9 02，。3）= 3, （A）正確._0 0 - 1_低維無關(guān)，則延伸組必?zé)o關(guān)，（C）正確.因6 ,02 皿3 皿4是4個(gè)3維向量，必線性相關(guān).若血，02 ,03線性無關(guān)，

53、則0必能由ai ,02心 線性表示，可知（D） 正確.（10）【答案】D【分析】二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，由正（負(fù)）慣性指數(shù)來確定.設(shè)？血=入10,有1 + (q 1) + 2a =右，即y (q D+a + 2q = A，解出 a=l，A =3.2 + 2 a = Ai 0,標(biāo)準(zhǔn)形 p = 3少y & + 3 3.、b 3 0,所以選(D).二、填空題（11）【答案】e于【分析】sin(7TV4n2 4-2) = sin2n7t + 兀(J4滬 + 2 2n)=sin 7t( J4滬 + 2 2n)=sin J 加？ + 2 + 2/27t21 71 1 i-i 71 1 厶 7Tlim n

54、sin = lim n = lim - ”f gJh朮 + 2 + 2n -8+ 2 + 2n n- 寸& + Z + 2故 lim (1 + sin(7tV4n2 +2) = e2 .（12）【答案】1【分析】If i + 2winy，鬆 7（13）【答案】5 k【分析】積分域E+b 2工+ 2夕為圓域（工一1）2 + 01）2 2.令無一1 = u,yl = u,貝IJJ(x + j/2 )dj?djz =D(% + 2*w + 2 + t/ )d“(lu =u2+v22= 4k+t jjm2+p22I f2n p/F I dd r3dr = 4k + n = 5n.(u2 + v2) d

55、udv=4兀+(2 + d )dudvu2+p22（14）【答案】1【分析】F(2a) 一 2F(a) =:a 一 t)dt 一 2 P/()/(2a t)dt2afa對(duì)第一個(gè)積分令 2a t = u(/(2a u) f(.u)Yudu = f(2a u) /(u)=f2 (a)/(2a)/(0) = 1./()/(2a-)dz- | /()/(2a-t)d 0今乂 0）最后得f& ） =（工）=歩工,*）= 希丘、LT22（16）1 答案】2yl + 3yl + 6 式【分析】A有如=求仇,I A | = | B | ,（5 + a = 3 + 6,即解出a = 3,b = 5.6a 8 =

56、 26,由AA = B故A的特征值：1,2,5.那么A + E的特征值：2,3,6.從而經(jīng)正交變換二次型xT（A + E）x的標(biāo)準(zhǔn)形為：2拜+3疋+6拆.三、解答題（17）【解】方法一由泰勒公式+ y? +o（*）（t 0）.工211則 J。血 一 和3 + 帚$ + （3）（ 0）,由題意limZf 0az3 + bx + c (t -yx3 十10 )b + c = 0,有v 一 f = 0,10Tb = 10,(18)【證明】(I )由極限的性質(zhì)可知，因lim/Xz)存在= 存在d 0,當(dāng)工 (a,a + d)時(shí)，于(工)有界.又lim /(x)存在=sX-+oo存在Aa + 8,f(.

57、x)在A,+8)有界，又因fS 在a + d,A連續(xù)，故有界.因此在(a, + oo)有界.(II)/()在(0, -Foo)連續(xù)，又其中b 1工(無0).lim /(x)=_rf+8上 m(占=0-0 = 0.因此/(X)在(0, + oo)有界.證明】(I )顯然F(刃在a,+8)連續(xù)，又F(a) = 0.由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理得知，存在c (a,b),使得F(c) = 0.又F(z)在a, +oo)可導(dǎo)，r(x)= /(J)+ 7yo (re(,+o). =F(h)在a, +*)單調(diào)上升，因此零點(diǎn)是唯一的.=/dr + J： ydr + L 7U)d/=L /(z) + 7?7)d/

58、+ fb)d,a)+命dr其中由于因此/ + 777V $ 2 J 2 / ： = 2.fa)77x77上 m2C a+J：命 dr=+8,lim F(j?) =+ 8.（20）【分析】 令22）= 誌三，則工卄1 =/&”），且九0,顯然/（乂）在z0處單調(diào)減，則九 不具有單調(diào)性.【解】令1imz” =”f8a,則 limx,:卄1 = lim 一 ,即 a”f 8 JL 十広”鳥“ 一孕迺由題設(shè)知0,則“弓，以下證明1 imz” =西=丄由題設(shè)知xn a11 + g-i1 I _ I Hn-1 aI V I *1 a1 + a | _ I (1 + x)(1 + a) I V 1+yHi

59、aV I *2 一 a、1+a)2又1+a=字 1則慳記（21 ）【證明】 當(dāng)（力，夕）G廠時(shí)f（工，夕）變成匕的一元函數(shù)（） /（無，（）由條件知，（在a,刃有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)AE分別對(duì)應(yīng)參數(shù)/ = a,t = 0于是0（a） = f（A）, = /（B） 亠（a） = 0（/3）,由羅爾定理 * 存在 to 6（a，0），使得 to） = 0,相應(yīng)于 t = to，x = x（io），夕o = y（t0 ） ,（）是二 元函數(shù)數(shù)工與）與一元函數(shù)x = xdt） ,y = y（t）的復(fù)合，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得E（）= 坐乂 乂+ 吟邊,dy其中 x = z(t) ,y =于是令 t = to 得

60、E(to)dx#a)+坐警嗎a）= 0.（22）【解】（I）由特征多項(xiàng)式-2_2A + 1 2A- 1-2-1入0A- 1=(A + 2)(入-1尸，A- 1矩陣A的特征值為入=1（三重根）和一 2.當(dāng)入=1時(shí)，由（E A）x = 0,2-200 -一1-100-11000001000-20000_ 0000 _0000_E-A =得基礎(chǔ)解系 ai = (1,1,0,0)丁，么 2 = (0,0,1,0)T.當(dāng)入=一2 時(shí)，由(21-A)x = 0,得基礎(chǔ)解系3 = （一2,1,0,0）T.所以A = 1的特征向量為居4 + kza2，嘰，k不全為0，入=2的特征向量為k3a3 , k3 工