浙江省寧波市鄞州中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2019 學(xué)年鄞州中學(xué)高二上學(xué)期期中試卷一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分.1.若橢圓過點(diǎn)，則其焦距為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將點(diǎn)代入橢圓得到，得到焦距.【詳解】橢圓過點(diǎn)，故，故，焦距.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的焦距，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2.命題“若，則有實(shí)數(shù)根”與其逆命題、否命題、逆否命題者四個命題中，假命題的個數(shù)是 （ ）A. 0個B. 1個C. 2個D. 4個【答案】C【解析】因?yàn)?，則，故有實(shí)數(shù)

2、根，原命題的逆命題為：若有實(shí)數(shù)根，則，取，則方程為，此方程的解為，故方程有實(shí)數(shù)根，但，故逆命題為假命題.又原命題與其逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假，故4個命題中，假命題的個數(shù)為2.點(diǎn)睛：在命題的真假判斷中，注意利用原命題與其逆否命題同真同假來判斷.3.已知是兩條不同直線，是兩個不同的平面（ ）A. 若, 則 B. 若, 則C. 若 ,則D. 若, 則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】A. 若, 則 或相交，錯誤； B. 若, 則，錯誤；C. 若 ,則，錯誤；D. 若, 則，正確；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和平面，平面和

3、平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.4. 下列命題說法正確的是（ ）A. 命題“若,則”的否命題為：“若,則”B. “”是“”的必要不充分條件C. 命題“,使得”的否定是：“,均有”D. 命題“若，則”的逆命題為真命題【答案】B【解析】試題分析：A、命題“若，則”的否命題為：“若，則”；B、即為，可知是的必要不充分條件；C、命題“，使得”的否定是：“，均有”；D、命題“若，則”的逆命題為“若，則”，是假命題（如）.考點(diǎn)：常用邏輯用語5.設(shè)方程表示的曲線是（ ）A. 一個圓和一條直線B. 一個圓和一條射線C. 一個圓D. 一條直線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到且，或，畫

4、出圖像，分別判斷得到答案.【詳解】，故且，如圖所示：畫出圖像知，表示一條直線；或，即表示一個圓.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了方程表示曲線，漏解是容易發(fā)生的錯誤.6.如右圖在一個二面角的棱上有兩個點(diǎn)，線段分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，則這個二面角的度數(shù)為( )A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】B【解析】過點(diǎn)作且，連接，則，即為二面角的平面角，由題意，得，由余弦定理，得，則，即這個二面角的度數(shù)為；故選B.7.下列四個正方體圖形中，為正方體的兩個頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用面面平行的性質(zhì)判斷

5、的正確性.利用線面相交來判斷的正確性，利用線線平行來判斷的正確性.【詳解】對于，連接如圖所示，由于，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知平面平面，所以平面.對于，連接交于，由于是的中點(diǎn)，不是的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi)與相交，所以直線與平面相交.對于，連接，則，而與相交，即與平面相交，所以與平面相交.對于，連接，則，由線面平行的判定定理可知平面.綜上所述，能得出平面的圖形的序號是.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖，四邊形是邊長為1的正方形，且，為的中點(diǎn)則下列結(jié)論中不正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意，取中點(diǎn)，易知就是

6、二面角的平面角，有條件可知，所以平面與平面不垂直，故C錯誤故選C9.如圖，在長方形中，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)在面內(nèi)的射影在直線上，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動到，則點(diǎn)所形成軌跡的長度為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形的翻折過程中變與不變的量和位置關(guān)系知，若連接DK，則DKA=90，得到K點(diǎn)的軌跡是以AD為直徑的圓上一弧，根據(jù)長方形的邊長得到圓的半徑，求得此弧所對的圓心角的弧度數(shù)，利用弧長公式求出軌跡長度【詳解】由題意，將AED沿AE折起，使平面AED平面ABC，在平面AED內(nèi)過點(diǎn)D作DKAE，K為垂足，由翻折的特征知，連接DK，則DKA=90，故K點(diǎn)的軌跡是以AD為直

7、徑的圓上一弧，根據(jù)長方形知圓半徑是，如圖當(dāng)E與C重合時，AK=，取O為AD的中點(diǎn)，得到OAK是正三角形故K0A=，K0D=，其所對的弧長為=，故選：【點(diǎn)睛】本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題目，解題的關(guān)鍵是由題意得出點(diǎn)K的軌跡是圓上的一段弧，翻折問題中要注意位置關(guān)系與長度等數(shù)量的變與不變，屬于中檔題目10.如圖，在ABC中，C=90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，AP=AB=2，EAF=，當(dāng)變化時，則三棱錐PAEF體積的最大值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】等腰中，算出，由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出面，得，從而證明平面，可證明面，三棱錐的高為定值，在中，

8、算出，可得，利用三角函數(shù)的有界性求出的最大值，即可得出結(jié)果【詳解】在中，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱錐的高為定值，平面平面，中，當(dāng)，即時，有最大值為，此時，三棱錐的體積的最大值為，故選C【點(diǎn)睛】本題著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、棱錐的體積公式，屬于中檔題同時考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.二、填空題：本大題共 7 小題，前 4 題每空 3 分，后 3 題

9、每空 4 分，共 36 分11.已知原命題為“若0 x1，則x21”，寫出它的逆否命題形式_，它是_（填寫”真命題”或”假命題”）【答案】 (1). 若x21，則x0或x1 (2). 真命題【解析】【分析】由原命題為真可得逆否命題也為真，將原命題的條件與結(jié)論互換的同時進(jìn)行否定即得逆否命題【詳解】原命題為“若0 x1，則x21”，顯然該命題為真命題，則它的逆否命題形式“若x21，則x0或x1”，是真命題，故答案為若x21，則x0或x1，真命題【點(diǎn)睛】寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題

10、與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定12.正方體中，分別是的中點(diǎn)，則與直線所成角的大小為_ ；與對角面所成角的正弦值是 _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，計(jì)算，對角面的一個法向量為，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則，故，.故，故與直線所成角的大小為.易知對角面一個法向量為，設(shè)與對角面所成角為，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，線面夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.13.已知某組合體的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是一個等腰直角三角形，則該組合體的表面積為_ ，

11、體積為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根據(jù)三視圖知，幾何體是由一個三棱錐和四分之一圓錐組合形成的圖形，計(jì)算表面積和體積得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體是由一個三棱錐和四分之一圓錐組合形成的圖形.故；.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求幾何體體積和表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.14.已知圓錐的底面半徑是，母線長是，則將它側(cè)面沿一條母線展開而成的扇形的中心角等于_，若是的中點(diǎn)，從處拉一條繩子繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則繩子長度的最小值等于_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】扇形側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓的周長，為，半徑為母線長2，從而可得圓心

12、角；設(shè)側(cè)面展開圖為扇形，則展開圖中的長就是繩子長度的最小值， 由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】扇形側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓的周長，為，半徑為母線長2，所以，將它側(cè)面沿一條母線展開而成的扇形的中心角等于；設(shè)側(cè)面展開圖為扇形，則展開圖中的長就是繩子長度的最小值， 由余弦定理可得為，故答案為 ， .【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.求旋轉(zhuǎn)體表面上兩點(diǎn)的最小距離時，往往利用其側(cè)面展開圖轉(zhuǎn)化為平面幾何知識解答.15.已知方程表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_ .【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則滿足：，解得.

13、故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)，意在考查學(xué)生對于橢圓定義的理解.16.如圖，在三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐體積為，三棱柱的體積為，則 【答案】【解析】試題分析：因?yàn)镈，E，分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以SADE：SABC=1：4，又F是AA1的中點(diǎn)，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍所以V1：V2=SADEh/SABCH=1：24考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積17.已知正四棱柱的底面邊長,側(cè)棱長,它的外接球的球心為，點(diǎn) 是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn)，有以下命題： 的長的最大值為9;三棱錐的體積的最大值是

14、; 存在過點(diǎn)的平面，截球的截面面積為;三棱錐的體積的最大值為20；過點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時，垂直于該截面.其中是真命題的序號是_【答案】【解析】【分析】計(jì)算外接球半徑為，得到正確；三棱錐的，計(jì)算得到錯誤；當(dāng)截面與垂直時，故正確；三棱錐，計(jì)算得到；根據(jù)得到錯誤，得到答案.【詳解】外接球半徑為：，故的最大值為，正確；，高，故，錯誤；當(dāng)截面與垂直時，故，故正確；，故，故正確；當(dāng)過點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時，截面過直線，故錯誤.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱柱的外接球問題，體積的最值，截面問題，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.三、解答題：本大題共 5 小題，共 74

15、 分18.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】試題分析：（1）做輔助線，先證及四邊形為平行四邊形平面； （2）利用勾股定理求得.試題解析：（1）證明：取中點(diǎn),連接，則是的中點(diǎn)，；是的中點(diǎn)，,四邊形為平行四邊形，,平面,平面,平面； （2）,19.已知,設(shè)：函數(shù)在上遞減； ：不等式的解集為 ，如果“或 ”為真，且“ 且 ”為假，求的取值范圍.【答案】【解析】【分析】計(jì)算為真時，為真時，討論真假，或假真兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【詳解】：函數(shù)在上遞減，故；：不等式的解集為，當(dāng)時，即，故，解得；當(dāng)時，解得.

16、綜上所述：.“或”為真，且“ 且 ”為假，故真假，或假真.當(dāng)真假時，故；當(dāng)假真時，故.綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)命題的真假求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.20.已知多面體中，為中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可通過線面垂直的判定定理來證線線垂直，即設(shè)法證明 直線所在平面（2）過點(diǎn)作，連接，則為直線與平面所成角的平面角，再采用等體積法求出 ，即可求得也可采用建系法直接求解詳解】法一：（1）由得：；如圖：取中點(diǎn)，連接，得：，；故：；（2）過點(diǎn)作；連接，則為直線與平面所成角的平面角，即有，不妨設(shè)，即有：，所以法

17、二：由得：；如圖建系得：，,，（1）,則（2）設(shè)面的法向量為，即有：，故【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證線線垂直，求線面角的正弦值，相對來說，立體圖形比較規(guī)整，也可采用建系法進(jìn)行求解，屬于中檔題21.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) 與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱， 是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于.(1) 求動點(diǎn)的軌跡方程，并注明的范圍;(2) 設(shè)直線與 分別與直線交于 ，問是否存在點(diǎn) 使得與面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1），；（2）存在，或【解析】【分析】（1），故，設(shè)，化簡得到答案.（2）設(shè)，則到直線的距離為，故，計(jì)算，得到，解得答案.【詳解】（1），故，設(shè)，故.整理得到：，.（2）設(shè)，則到直線的距離為，故；，故直線：，取得到，同理可得：，故，故，故，整理得到，故.故存在點(diǎn)或滿足條件.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的軌跡方程，面積問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22.如圖，在矩形中，分別在上，且,沿 將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）平面，證明故平面，平面，得到證明.（2），得到平面平面，得到證明.（3）以為軸，平面內(nèi)與垂直的直線為軸，