【全程復習方略】2013-2014學年高中數(shù)學 3.1 導數(shù)的概念及其幾何意義 2.1 導數(shù)的概念 2.2 導數(shù)的幾何意義配套多媒體教學優(yōu)質課件 北師大版選修1-1

1、2 導數(shù)的概念及其幾何意義2.1 導數(shù)的概念2.2 導數(shù)的幾何意義 中國跳水皇后郭晶晶在高臺跳水運動中,平均速度不一定能反映她在某一時刻的運動狀態(tài),需要用瞬時速度描述運動狀態(tài).我們把物體在某一時刻的速度稱為_.瞬時速度那如何求瞬時速度呢？導數(shù)與瞬時速度有什么關系？請進入本節(jié)的學習！1.了解導函數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導數(shù).重點2.理解導數(shù)的幾何意義.重點3.根據(jù)導數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程.難點探究點1 導數(shù)的概念一質點按規(guī)律s2t22t做直線運動(位移單位：米，時間單位：秒).問題1：試求質點在前3秒內的平均速度提示：8米/秒.問題2：試求質點在3秒時的瞬時速度.提示：st

2、s(3t)s(3)t142t， 當t 趨于 0 時，st14， 故質點在3秒時的瞬時速度為14米/秒 趨于問題3：對于函數(shù)yf(x)，當x從x0變到x1時，求函數(shù)值y關于x的平均變化率.問題4：當x趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)嗎？提示：是.1定義：設函數(shù)y=f(x)，當自變量x從x0變到x1時，函數(shù)值從f(x0)變到f(x1)，函數(shù)值y關于x的平均變化率為 .當x1趨于x0，即x趨于0時，如果平均變化率趨于一個 ，那么這個值就是函數(shù)yf(x)在x0點的瞬時變化率在數(shù)學中，稱瞬時變化率為函數(shù)yf(x)在x0點的_.固定的值導數(shù) 導數(shù)的概念思考1：設函數(shù)f(x)在x=x0處可導，那么當x趨于0

3、時， 的值與x0,x都有關嗎？提示:導數(shù)是一個局部性的概念，它只與函數(shù)y=f(x)在x0及附近的函數(shù)值有關，與x無關.思考2：函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導，那么當x趨于0時 趨于f(x0),那么當x趨于0時 是否也趨向于f(x0)?提示:是.因為當x趨于0時，2x趨于0，類似地還有: 趨于f(x0),趨于f(x0).例1 一條水管中流過的水量y單位：m3是時間x單位：s的函數(shù)y=f(x)=3x.求函數(shù)y=f(x)在x=2處的導數(shù) ，并解釋它的實際意義.解:當x從2變到2+x時，函數(shù)值從32變到32x)，函數(shù)值y關于x的平均變化率為當x趨于2，即x趨于0時，平均變化率趨于3，所以 =3 m3

4、/s.導數(shù) 表示當x=2 s時水量的瞬時變化率，即水流的瞬時速度.也就是如果水管中的水以x=2 s時的瞬時速度流動的話，每經(jīng)過1 s，水管中流過的水量為3 m3.例2 一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作，生產的食品量y(單位：kg)是其工作時間x單位：h的函數(shù)y=f(x).假設函數(shù)y=f(x)在x=1和x=3處的導數(shù)分別為 和 ，試解釋它們的實際意義.解: 表示該工人上班后工作1 h的時候，其生產速度即工作效率為4 kg/h.也就是說，如果保持這一生產速度，那么他每時可以生產4 kg的食品. 表示該工人上班后工作3 h的時候，其生產速度為3.5 kg/h.也就是說，如果保持這一生產速度，那

5、么他每時可以生產3.5 kg的食品.例3 服藥后，人體血液中藥物的質量濃度是時間t單位：min的函數(shù)y=ft，假設函數(shù)y=ft在t=10和t=100處的導數(shù)分別為和 ，試解釋它們的實際意義.解: 表示服藥后10 min時，血液中藥物的質量濃度上升的速度為 也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1 min，血液中藥物的質量濃度將上升解釋同上.假設某物體的溫度y(單位：)是時間t(單位：min)的函數(shù)y=f(t),假設，試解釋它的實際意義.提示：表示10 min時物體溫度下降的速度為0.5 ，也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1 min，物體的溫度將下降0.5 .【變式練習】探究點2 導數(shù)的幾何意義提

6、示：表示過A(x0，f(x0)和B(x0 x，f(x0 x)兩點的直線的斜率.提示：直線AB繞點A轉動.提示：直線變化到過點A與曲線yf(x)相切的位置.函數(shù)y=f(x)在x0,x0+x的平均變化率為 ，如圖，它是過Ax0,f(x0)和Bx0+x ,f(x0+ x) 兩點的直線的斜率.這條直線稱為曲線y=f(x)在點A處的一條割線.曲線的割線切線的定義：x趨于零時，點B將沿著曲線y=f(x)趨于點A，割線AB將繞點A轉動，最后趨于_，直線l和曲線y=f(x)在點A處_,稱直線l為曲線y=f(x)在點A處的切線.直線l“相切xoyy=f(x)xyABl導數(shù)的幾何意義 函數(shù) y=f(x) 在 x0

7、 處的導數(shù) f(x0), 就是曲線y=f(x) 在點 P(x0, f(x0) 處的切線的斜率k, 即k=tan=f(x0). 函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處的切線的斜率反映了導數(shù)的幾何意義.逼近的思想得幾何意義例4 函數(shù)fx=x2，x0=-2.1分別對求y=x2 在區(qū)間 上的平均變化率，并畫出過點x0，fx0的相應割線.2求函數(shù)y=x2在x0=-2處的導數(shù)，并畫出曲線y=x2在點-2,4處的切線.解:1時，區(qū)間 相應為-2,0,-2,-1,-2,-1.5.y=x2在這些區(qū)間上的平均變化率分別為 其相應割線分別是過點-2,4和點0，0的直線 ，過點-2,4和點-1,1的直線 ，過點-2,4和

8、點的直線 .2y=x2在區(qū)間-2,-2+x上的平均變化率為令x趨于零，知函數(shù)y=x2在x0=-2處的導數(shù)為-4.曲線y=x2在點-2,4處的切線為l.例5 求函數(shù)y=fx=2x3在x=1處的切線方程.解：先求y=fx=2x3在x=1處的導數(shù)：令x趨于0，可知y=2x3在x=1處的導數(shù)為即該切線的斜率為6，切線方程為 y=6x-4 .曲線y3x2x，求曲線上的點A(1,2)處的切線斜率及切線方程【變式練習】B1曲線y2x21在點(0,1)處的切線的斜率是 ()A4 B0C4 D不存在B2假設曲線yh(x)在點P(a，h(a)處的切線方程為2xy10，那么()Ah(a)0 Bh(a)0 Dh(a)不確定解析：由導數(shù)的幾何意義，得h(a)k20.3曲線yx3在點P處的切線斜率為3，那么點P的坐標為()A(2，8) B(1,1)，(1，1)C. (2，8) D.B4.函數(shù)y=x2+4x在x=