2022年中北大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、名師整理 精華知識(shí)點(diǎn) 線(xiàn) 代 第一章 行列式一、重要公式3A1kn11O152 AjAn1A1 kAAA*AB4 ABABOB6AOABB n()1mnAmBn*B7A mO8O*OO*naiixi)Oi11111(xx 1x2x3x nx 12x22x 32xn29范德蒙行列式：1ijnx 1nx2n1x3nxnn1名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)二、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖 排列逆序奇、偶排列 概念D性質(zhì)a 11a 12a 1na21a22a2nan 1an2ann行列互換，行列式值不變，即行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等?；Q兩行（列） ，行列式值變號(hào)。某行（列）有公因數(shù)，可提到行列式之外。某行（列）的 k 倍加到另

2、一行（列）上去，行列式值不變。若行列式某行（列）的所有元素均為兩項(xiàng)之和，則行列式可拆成兩行列式之和。若行列式有兩行（列）對(duì)應(yīng)成比例，則值為零。行列式某行元素與另一行對(duì)應(yīng)的元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。三角化、遞推法、加邊法、公式法、拆項(xiàng)法 計(jì)算 應(yīng)用 Grame 法則奇次線(xiàn)性方程組有非零解的充分條件第二章 矩陣 一、重要定理定理 2.1 設(shè) A， B 是 n 的階矩陣，則ABAB。AP 1P 2P s,定理 2.2 如果 A 是可逆矩陣，則A 的逆矩陣唯一。定理 2.3 n 階矩陣 A 可逆A0r(A )nPi是初等矩陣（i1，s）定理 2.4 初等陣左（右）乘給定的矩陣，其結(jié)果就是對(duì)給定的矩

3、陣作相應(yīng)的行（列）變換。定理 2.5 初等矩陣可逆，且其逆同類(lèi)型初等矩陣，即Eij1Eij,E1( i(k)E( i(1),Eij1(k)Eij(k)。k定理 2.6 如果矩陣 A 與 B 等價(jià)，則（ 1）秩 r(A)=r(B) (2 ) 存在可逆矩陣P 與 Q,使 PAQ=B 。名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)定理 2.7 若 r(A)=r, 則 A 中有 r 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行 （列） 向量而其它的行 （列）向量都可由這 r 個(gè)向量線(xiàn)性表出。即 r(A)= 行秩 =列秩。二、重要公式、法則1 加法與數(shù)乘（ 1）A+B=B+A (2 ) (A+B)+C=A+(B+C) (3 ) A+0=0+A=A (4 )

4、 A+(-A)=A (5) k (l A)=(kl)A (6 ) (k+l)A=kA+lA (7 ) k(A+B)=kA+kB (8 ) 1A=A, 0A=0 2.乘法（ 1）(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC (3 ) (kA)( lB)= kl(AB) (4)A0=0A=0 3.轉(zhuǎn)置(1)（A T) T=A (2)(A+B) T=A T+B T(3)(kA) T=kA T(4) (AB) T=B TA T 4.可逆(1)A11A(2)(AT)1(A1)T(3)kA11 A k1(4) (AB)1B1A15.伴隨（1）* AAA*A)AE（2）(kA)*kn1A*(3)

5、(AT)*(A*)T(4)(A*)1(A1A(5) AAn1A6. n 階矩陣的行列式（1）T AA(2)kAknA(3) ABAB(4) A1A1(5) AAn17. 矩陣秩的性質(zhì)(1) r(A )r(AT)r(PA)r(AQ)r(PAQ)（P、Q 可逆）(2) (3) r(kA )r(A )如果k0r(AB)r(A)r(B)如果0k0(4) rAOr(A )r(B )；rAOr(A )r(B )OBCB(5) r(A )r(B)nr(AB)minr(A),r(B )（ n 表示 A 的列數(shù) B 的行數(shù)）(6) r(A )r(B)nr(AB)n(7) AB=0r(A)r(B)n（n 表示 A

6、 的列數(shù) B 的行數(shù)）(8) A 為實(shí)矩陣r(A)r(ATA)r(AAT)？（9）nr(A)nr(A*)0r(A)n11r(A)n1三、二階方陣：（1）AabA1dbad1bccdca（2）A*db名師整理精華知識(shí)點(diǎn)記法：“ 主換位，副變號(hào)”ca四、分塊陣AO1A1O1，1，OA1OAB11O1OBOB1BOA1OAC1CBAO1A11ABBCAOBO1CB1B五、可逆的判斷法1 n 階矩陣A 可逆PiA0r(A )nA 的行（列）向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)AX0僅有零解AP 1 P 2P s，s）是初等矩陣（i1，2 上三角陣的逆陣為上三角陣，且其主對(duì)角線(xiàn)上的元素為其原對(duì)角元素的倒數(shù)，下三角類(lèi)同。六、正交

7、陣（AA TA TAI）T A 也正交。3A 正交，A1也正交。1A 正交，A1。2A 正交，5A 正交，4A 正交，* A 也正交。T AA1。6A 正交， AB 也正交。七、對(duì)角陣T T1. A 為方陣，A A 為反對(duì)稱(chēng)陣（A A）。*2. A 為反對(duì)稱(chēng)陣：則 A 為反對(duì)稱(chēng)陣 (n 為偶數(shù) ) *則 A 為對(duì)稱(chēng)陣 (n 為奇數(shù) ) 則 A 1為反對(duì)稱(chēng)陣 ( A 0 ) 則 AB 反對(duì)稱(chēng) B 對(duì)稱(chēng)且 AB=BA * 13. A 為反對(duì)稱(chēng)陣 ,則 A 也是反對(duì)稱(chēng)陣。*4.A 為對(duì)稱(chēng)陣，則 A 也是對(duì)稱(chēng)陣。5*. 實(shí)的反對(duì)稱(chēng)陣的 i只能為 0 或 bi 形式?？谠E：1 、題設(shè)條件與代數(shù)余子式 A

8、ij 或 A* 有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行 ( 列) 展開(kāi)定理以及AA*=A*A=|A|E。2 、若涉及到 A 、B 是否可交換，即 AB BA ，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。3 、若題設(shè) n 階方陣 A 滿(mǎn)足 f(A)=0 ，要證 aA+bE 可逆，則先分解出因子 aA+bE 再說(shuō)。第三章 向量空間1、A 0 A 的行（列）向量無(wú)關(guān)，A 0 A 的行（列）向量相關(guān)口訣： 1、若要證明一組向量 1, 2, , S 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，先考慮用定義再說(shuō)。名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)2、若已知 AB0，則將 B 的每列作為 Ax=0 的解來(lái)處理再說(shuō)。第四章 特征值與特征向量一、重要公式1、Ain1i2、t

9、rAin1aiiini3、i0A 可逆114、可逆陣 A 的每行之和為a0，則A1的一個(gè)特征值為a1，且對(duì)應(yīng)的特征向量為X15、kE-A 的可逆性可逆ki(A ,kEAA0i為A的 特 征 值不可逆kikEA06、A 可逆且有 n 個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量trA1,A1有相同的 n 個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量。7、ABr(A)r(B);tr(A)B)8、矩陣A1k A m A* Af（A ）P1AP(P1AP)TATB（ A的初等A 變換）特征1kmAf（）P1PT不一不定值特征不定向量定是二、相似與對(duì)角化（A 為 n 階方陣）有 n 個(gè)不同的 iA 有 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)ik(A0A 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣nk關(guān)的特征向量i

10、IA)XA 的每一個(gè)ik 重i有有ik 個(gè)無(wú)關(guān)解R(IA )個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量i三、可對(duì)角化的判斷方法1、 A 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣2、ij(ij)名師整理精華知識(shí)點(diǎn)AB3、R(IA)nki(ki為重?cái)?shù))四、合同（BPTAP,P可逆，記作：BA）1、合同不一定有相同的i。2、A 合同于 B，則 R（A ）=R（ B）且A,B同號(hào)， A 、B 有相同的正慣性指數(shù)。3、A 合同于 E，則 A 正定。五、 A、B 有相同的特征值R(A)R (B)A 等價(jià) BA,B為實(shí)A 、B 對(duì)應(yīng)正負(fù)慣性指數(shù)相同對(duì)稱(chēng)陣六、變換關(guān)系變 換 陣性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性不變等價(jià)PAQ=B P、Q 可逆秩不變，tr（A）=tr（B）相似P1A

11、PBP可逆秩不變i不變AB正交相似C1ACBC 正交秩不變i不變AB，tr（A）=tr（B）合 同 P TAP B P可逆 秩不變口訣： 1 、若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說(shuō)。2 、若已知A 的特征向量 0，則先用定義A000 處理一下再說(shuō)。第五章二次型一、正負(fù)定判斷：1、正定正慣性指數(shù) =nA 的所有特征值i0n 個(gè)主子行列式的值都為正數(shù)A 合同于 E。2、負(fù)定負(fù)慣性指數(shù) =nA 的所有特征值i0n 個(gè)主子行列式的值負(fù)正相間二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 1、 配方法2、 合同變換法APE3、 特征值法口訣：若要證明抽象n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A 為正定矩陣，則用定義處理一下再說(shuō)?？谠E第一句話(huà)： 題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij 或 A* 有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行( 列)展開(kāi)定理以及AA*=A*A=|A|E。第二句話(huà)： 若涉及到A、B 是否可交換，即AB BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。第三句話(huà)： 若題設(shè) n 階方陣 A 滿(mǎn)足 f(A)=0 ，要證 aA+bE 可逆，則先分解出因子aA+bE 再說(shuō)。名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)第四句話(huà) ：若要證明一組向量 1, 2