常微分方程及空間解析幾何單位測(cè)試題

1、常微分方程及空間解析幾何單元測(cè)試題（考試時(shí)間：150分鐘）一、填空題：（每小題3分，合計(jì)15分）1設(shè)有一個(gè)一階微分方程的通解為，則該方程為 2方程的通解為 3設(shè)，則 4如果直線與直線相交，那么常數(shù)的值為 5已知三向量?jī)蓛苫ハ啻怪保?，則向量的模等于 二、選擇題：（每小題3分，合計(jì)15分）方程的一個(gè)特解具有形式（ ）（A） （B） （C） （D）2已知為方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，均為任意常數(shù)，則該方程的通解為（ ）（A） （B） （C） （D）3已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量，且當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）4設(shè)有直線及平面，則直線L（ ）（A）平行于， （B）在上，

2、（C）垂直于， （D）與斜交5方程代表的曲面是（ ）(A)單葉雙曲面 (B)橢圓拋物面 (C)雙葉雙曲面 (D)橢圓柱面三、計(jì)算題：（每小題分，合計(jì)30分）1設(shè)，求以與為鄰邊的平行四邊形的面積.求直線的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程3求微分方程滿足條件的特解4求解微分方程，其中為正常數(shù)5設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，試求.動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到Y(jié)OZ面的距離的2倍，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么曲面四、（8分）求由與所圍立體在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影五、（8分）設(shè)，是二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解，求該方程的通解及該方程六、（8分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑動(dòng)距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，

3、以增大壓力，使得飛機(jī)減速并停下。現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h。經(jīng)測(cè)試，減速傘打開(kāi)后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為）。問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？七、（8分）已知曲線是微分方程的一條積分曲線，此曲線通過(guò)原點(diǎn)且在原點(diǎn)處的切線的斜率為0，試求曲線到軸的最大距離 八、（8分）已知直線和平面，求（1）直線在平面上的投影；（2）和的夾角常微分方程與空間解析幾何單元測(cè)試題參考答案一、填空題：（每小題3分，合計(jì)15分）1 2 3 4 5 二、選擇題：（每小題3分，合計(jì)15分） 1 A 2D 3C 4D 5B三、計(jì)算題：（每小題5分，合計(jì)30分

4、） 1（5分）2解：取代入直線方程，得，即求得直線上的一個(gè)點(diǎn)，（1分）由于兩個(gè)平面的交線與這兩個(gè)平面的法向量都垂直，所以可以取 （3分）因此，所給直線的對(duì)稱式方程為 （4分）參數(shù)方程為 （5分）3解：將原方程化為這是個(gè)一階非齊次線性方程，利用公式求得其通解為（4分）代入初始條件，得， 故所求特解為（5分）4解：特征方程為，其根為，（2分）分三種情況討論：（1），特征方程為兩不同實(shí)根，解為（3分）（2），特征方程為兩相同實(shí)根，解為（4分）（3），特征方程為一對(duì)共軛復(fù)根，解為（5分）5解：由已知，有，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，繼續(xù)求導(dǎo)，得，且（2分）二階方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，所以特征根為（3分）

5、令非齊次方程的特解為：，代入原方程得，所以原方程的通解為：， （4分）代入初始條件，得最終結(jié)果為（5分）6. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則M到平面的距離由，得（4分）曲面為錐面。（5分）四、（8分）解：由與所圍立體，其中坐標(biāo)平面上的投影為圓盤：（3分）在坐標(biāo)面上的投影為矩形ABCD區(qū)域，即： （6分）類似地，其在坐標(biāo)平面上的投影為矩形區(qū)域： （8分）五、（8分）解：設(shè)所求方程為，對(duì)應(yīng)的齊次方程為。由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)可知是齊次方程的解，且線性無(wú)關(guān)（2分）所以齊次方程的通解可以寫成，非齊次的通解為。（4分）由齊次方程的通解可知是對(duì)應(yīng)的特征方程的二重根，因此有，從而方程可以寫成。因?yàn)槭窃摲匠痰慕?，代入比較兩端可以得到，所以原方程為（8分）六、（8分）解：根據(jù)牛頓第二定律，有，（2分）又，兩端積分得通解為（4分）代入初始條件，解得，所以（6分）飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為（km）（8分）七、（8分）解：微分方程的特征方程為，所以特征根為，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為（2分）設(shè)非齊次方程的特解為，代入原方程得，所以，（4分）微分方程的通解為代入初始條件，得，所以曲線為（6分）由為駐點(diǎn)，所以。（到軸的最大距離）（8分）八、（8分）解：（1）設(shè)是平面和的交線，其中是過(guò)直線并垂直于的平面，可設(shè) ，即 E