數(shù)學(xué)物理方法課件：第十九章 原子物理

1、19-1 量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述 提綱 電子的幾率分布 第十九章 原子物理 能量、角動(dòng)量模方及角動(dòng)量在Z軸 上分量的本征值及其量子數(shù)。 氫原子的定態(tài)薛定諤方程作業(yè)：19-1、2、3第十九章 原子物理1914年，夫蘭克（J.Franck)和赫茲（G.Hertz) 用電子與稀薄氣體原子碰撞的方法，測(cè)量原子 的激發(fā)電勢(shì)和電離電勢(shì)，揭示出原子有不連續(xù) 的能級(jí)存在。1922年，史特恩（O.Stern) 和蓋拉赫 （W.Gerlach)的實(shí)驗(yàn)又揭示了角動(dòng)量 取向的量子化。量子力學(xué)能夠給出原子系統(tǒng)中電子狀態(tài) 的描述并且自然地得出量子化的結(jié)果。 本章以氫原子為例說(shuō)明之。其定態(tài)薛定諤方程為：19-1 量子力學(xué)對(duì)

2、氫原子的描述 氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子中電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)化為一個(gè)以折合 質(zhì)量 運(yùn)動(dòng)的單體問題。 分別是核及電 子的質(zhì)量。哈密頓算符：在球坐標(biāo)系下：球坐標(biāo)拉普拉斯算符為定態(tài)薛定諤方程：在有心場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子其能量、角動(dòng)量的 平方均為守恒量，因此選取（H，L2，Lz) 為體系守恒量的完全集。徑向動(dòng)能離心勢(shì)能庫(kù)侖勢(shì)能用分離變量求解：代入薛定諤方程得出它們應(yīng)滿足的本征值方程：是連帶的勒讓德函數(shù)根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件得出：是角動(dòng)量沿Z軸分量的本征值； 是角動(dòng)量模方 的本征值， 角量子數(shù)。球諧函數(shù) 是 的共同本征函數(shù) 它僅是 的函數(shù)。由束縛態(tài)的邊值條件得出徑向方程的本征值：為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)

3、。對(duì)于給定的 ， ， 取 個(gè)量子化值。稱 為拉蓋爾函數(shù)， 當(dāng) 時(shí)趨于零。 可查閱數(shù)學(xué)手冊(cè)，例如：滿足標(biāo)準(zhǔn)條件（有限）的徑向波函數(shù)為：第一玻爾軌道半徑。對(duì)于給定的 ， ， 取 個(gè)量子化值。因此，氫原子的能級(jí)是簡(jiǎn)并的，簡(jiǎn)并度為：對(duì)應(yīng)主量子數(shù) ，的能級(jí) 可有 個(gè)本 征態(tài)與之對(duì)應(yīng)。是算符的共同本征函數(shù)，它們都有確定的本征值。 這些力學(xué)量都是守恒量。這組本征函數(shù)構(gòu)成 完全集。 能量、角動(dòng)量模方及角動(dòng)量在Z軸上 分量的本征方程、本征值及其量子數(shù)。對(duì)于給定的 ， ，在原子 物理中用英文字母s,p,d,f,g,代表其值。徑向幾率幅； 橫向幾率幅 方向的幾率幅126534賴曼系巴耳末系帕邢系布喇開系氫原子能級(jí)圖

4、簡(jiǎn)并度 = n216 4s 4p 4d 4f9 3s 3p 3d4 2s 2p1 1s25 5s 5p 5d 5f 5g-13.6eV-3.39eV-1.81eV-0.85eVEnl主量子數(shù) n 電子的幾率分布 代表電子在 體積元 內(nèi)出現(xiàn)的幾率。歸一化條件：因此上式中徑向積分等于1，同時(shí)角部分 的積分也必須歸一。在半徑 r 到 r+dr 的球殼內(nèi)找到電子的幾率徑向幾率密度為：計(jì)算表明徑向波函數(shù) 的節(jié)點(diǎn)數(shù) 通常把節(jié)點(diǎn)數(shù)為零（ ）的“態(tài)”，稱為 圓軌道，例如：1s,2p,3d,，它們極大值的位 置： ，其中 是第一玻爾軌道半徑。駐波稱 為最概然半徑。r1s2s3s4sr2p3p4pr3d4d電子的徑向幾率分布電子的幾率密度隨角度的變化電子在 附近的立體角 內(nèi)的幾率：zyzyzy駐波討論 方向的幾率幅共有(2l+1 ) 個(gè)m值，m是沿方向駐波的節(jié)點(diǎn)數(shù)顯然滿足周期性條件m決定了 的本征值，可等價(jià)地看成角動(dòng)量 在空間對(duì)于Z軸以 方向駐波的節(jié)點(diǎn)數(shù)來(lái)選 取空間的穩(wěn)定方向，稱為空間方向量子化。Zm21012角動(dòng)量空間的方向氫原子的狀態(tài)必須用四個(gè)量子數(shù) 才能完全確定。主量子數(shù) 決定電子的能量。角量子數(shù)