初中幾何輔助線做法大全教案資料

1、初中幾何輔助線做法大全線、角、相交線、平行線規(guī)律1.如果平面上有n(n2分點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一1條直線，一共可以回出n(n1)條.1規(guī)律2.平面上的n條直線最多可把平面分成-n(n+1)+1個部分.21,規(guī)律3.如果一條直線上有n個點，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為：n(n1)條.規(guī)律4.線段(或延長線)上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段長的一半.例：如圖，B在線段AC上，M是AB的中點，N是BC的中點.1求證：MN=AC2證明：:M是AB的中點，N是BC的中點.AM=BM=-AB,BN=CN=-BC22. .MN = MB+BN =1 AB +

2、21八-(AB + BC).MN=1AC2練習(xí)：1.如圖，點C是線段AB上的一點,M是線段BC的中點.求證：AM=1(AB+BC).如圖，點B在線段AC上，M是AB的中點，N是AC的中點.求證：MN=1BC2.如圖，點B在線段AC上，N是AC的中點，M是BC的中點.求證：MN=1AB2規(guī)律5.有公共端點的n條射線所構(gòu)成的交點的個數(shù)一共有2n(n1)個.規(guī)律6.如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n(n-1)個.規(guī)律7.如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成n(n1)對對頂角.規(guī)律8.平面上若有n(n5個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形 TOC o 1

3、-5 h z *一共可作出n(n1)(n2)個.6規(guī)律9.互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90o.1規(guī)律10.平面上有n條直線相父，最多父點的個數(shù)為2n(n1)個.規(guī)律11.互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半.規(guī)律12.當(dāng)兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請同學(xué)們自己證明.規(guī)律ABC+BCD+CDE=36013.已知AB / DE,如圖，規(guī)律如下：BCD= ABC+ CDEBCD= ABC- CDEBCD= CDE- ABCBCD+ ABC5ABC= BCD+ CDE規(guī)律14.成“8字

4、形的兩個三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個內(nèi)角和的例：已知，BE、DE分另I平分/ABC和/ADC,若45o,/C=55o，求/E的度數(shù).解：/A+/ABE=/E+/ADE/C+/CDE=/E+/CBE+得/A+/ABE+ZC+/CDE=/E+ZADE+ZE+ZCBE.BE平分/ABC、DE平分/ADC,./ABE=/CBE,/CDE=/ADE.2/E=/A+/C.ZE=1(/A+/C)./A=450,/C=550,/E=500三角形部分規(guī)律15.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三

5、邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題.例：如圖，已知D、E為4ABC內(nèi)兩點，求證：AB+AOBD+DE+CE.AB、AC證法（一）：將DE向兩邊延長，分別交于M、N在AAMN中，AM+ANMD+DE+NE在4BDM中，MB+MDBD在4CEN中，CN+NECE+得AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE.AB+AOBD+DE+CE證法（二）延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,AABFffiAGFC和4GDE中有，AB+AFBD+DG+GFGF+FOGE+CEDG+GEDE.+有AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+AOBD+DE+CE注意：

6、利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.練習(xí)：已知：如圖P為4ABC內(nèi)任一點，一一1_一一_一求證：-(AB+BC+AC)PA+PB+PCCD分另I是/ABC、/ACE的平./ACE=2/1,/ABC=2/2./A=/ACE/ABC./A=2Z1-2Z2又./D=/1/2./A=2ZD規(guī)律17.三角形的兩個內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個內(nèi)角的一半例：如圖，BD、CD分另I平分/ABC、/ACB,求證：/BDC=900+,/A2證明：VBDCD分別平分/ABC、/ACB./A+2/1+2/2=1800.

7、2(/1+/2)=1800/AZBDC=1800(Z1+Z2)(/1+/2)=1800/BDC把式代入式得2(1800/BDC)=1800/A即：36002/BDC=1800/A.2/BDC=1800+/A./BDC=90+-ZA2規(guī)律18.三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90減去第三個內(nèi)角的一半例：如圖，BD、CD分另I平分/EBC、/FCB,求證：/BDC=90-ZA2證明：VBDCD分另I平分/EBC、/FCB./EBC=2/1、/FCB=2/2.2/1=/A+/ACB2/2=/A+/ABC+得2(/1+/2)=/A+/ABC+/ACB+/A2(Z1+Z2)=180+ZAc1，.

8、(/1+/2)=90+1/A2./BDC=180(/1+/2)./BDC=180-(90+g/A)./BDC=90。-ZA2規(guī)律19.從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差（的絕對值）的一半例：已知，如圖，在4ABC中，/C/B,AD，BC于D,AE平分/BAC.求證：/EAD=(/C/B)證明：:AE平分/BAC./BAE=/CAE=1ZBAC2./BAC=180(/B+/C)1./EAC=-180(/B+/C),.ADXBC./DAC=90/C./EAD=/EAC/DAC1一./EAD=-180(/B+/C)-(90-ZC)c 1c=9C- 2(/B+/C)

9、-90A+ /C TOC o 1-5 h z 1,=萬(/c-/B)如果把AD平移可以得到如下兩圖，F(xiàn)DXBC其它條件不變，結(jié)論為/EFD=1/(/C-/B).注意：同學(xué)們在學(xué)習(xí)幾何時，可以把自己證完的題進行適當(dāng)變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力.規(guī)律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為4ABC內(nèi)任一點，求證：/BDO/BAC證法(一)：延長BD交AC于E,外角,ZBDOAEDC的Z

10、BDOZDEC同理：/DEO/BAC/BDO/BAC證法（二）：連結(jié)AD,并延長交BC于FZBDFMAABD的外角，./BDF/BAD同理/CDF/CAD丁./BDF+/CDF/BAD+/CAD即：/BDC/BAC規(guī)律21.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形例：已知，如圖，AD為4ABC的中線且/1=/2,/3=/4,求證：BE+CFEFNF, WJ DN證明：在DA上截取DN=DB,連結(jié)NE、=DCABDEffiANDE中，DN=DB/1=/2ED=ED.-.BDEANDE.BE=NE同理可證：CF=NF在AEFN中，EN+FNEF.BE+CFEF規(guī)律22.有以線段中點為端

11、點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為4ABC的中線，且/1=/2,/3=/4,求證：BE+CFEF證明：延長ED至ijM,使DM=DE,連結(jié)CM、FMBDE和CDM中，BD=CD/1=/5ED=MD收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除.-.BDEACDM.CM=BE又:/1=Z2,Z3=Z4Z1+/2+/3+Z4=180o./3+/2=90o即/EDF=90o丁./FDM=/EDF=90oEDFffiAMDF中ED=MD/FDM=/EDFDF=DF.EDFAMDF.EF=MF.在ACMF中，CF+CMMFBE+CFEF（此題也可加倍FD,證法同上）規(guī)律23.在三角

12、形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形例：已知，如圖，AD為4ABC的中線，求證：AB+AO2AD證明：延長AD至E,使DE=AD,連結(jié)BEE.AD為4ABC的中線.BD=CD在AACDffiAEBD中BD=CD/1=/2AD=ED.ACDAEBDABE中有AB+BEAE.AB+AO2AD規(guī)律24.截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段;補短法：延長較短線段和較長線段相等這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法:abadb=cadb=cd例：已知，如圖，在4ABC中，ABAC,/1=Z2,P為AD上任一點,求證：

13、AB-AOPB-PC證明：截長法：在AB上截取AN=AC,連結(jié)PNAAPNffiAAPCAN=ACZ1=/2AP=AP.APNAAPC.PC=PN.BPN中有PB-PCBN.PBPCPMPC.AB-AOPB-PC ABC 的練習(xí)：1.已知，在4ABC中，/B=60,AD、CE是角平分線，并且它們交于點O求證：AC=AE+CD2.已知,如圖，AB/CD/1=/2,/3=Z4.求證：BC=AB+CD規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.如果沒有相等的線段代

14、換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形例:如圖，已知，BE、CD相交于F,/B=ZC,Z1=/2,求證：DF=EF證明：=/ADF=/B+/3/AEF=ZC+Z4又:/3=/4ZB=/C./ADF=/AEF在AADFffiAAEF中/ADF=/AEF/1=/2AF=AF.ADFAAEF.DF=EF規(guī)律26.在一個圖形中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等.例：已知，如圖RtABC中，AB=AC,/BAC=90,過A作任一條直線AN,作BDLAN于D,CELAN于E,求證：DE=BD-CE證明：./BAC=90,BDXAN./1+/2=90/1+/3=90/2=/3,.BDX

15、ANCEXAN丁./BDA=/AEC=90在AABDffiACAE中，/BDA=/AEC/2=/3AB=AC.ABDACAE.BD=AE且AD=CE.AE-AD=BD-CE.DE=BD-CE規(guī)律27.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等例：AD為4ABC的中線，且CFXAD于F,BEXAD的延長線于E求證：BE=CF證明：（略）規(guī)律28.條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.例：已知AC=BD,ADAC于A,BCBD于B求證：AD=BC證明：分別延長DA、CB交于點EVADXACBCXBD丁./CAE=/DBE=90oEADBEffiACAE中/DBE=/CAEBD=ACZE=/E.-

16、.DBEACAE.ED=EC,EB=EA.EDEA=EC-EB.AD=BC規(guī)律29.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題例：已知，如圖，AB/CD,AD/BC求證：AB=CD證明：連結(jié)AC（或BD）.AB/CD,AD/BC/1=/2在AABC和ACDA中,/1=/2AC=CA/3=/4.ABCACDABF,.AB=CD練習(xí)：已知，如圖，AB=DC,AD=BC,DE=求證：BE=DF規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為免分垂等腰歸例：已知，如圖，在RtABC中，AB=AC,/BAC=900,/1=/2,CELBD的延長線于E證明：分別延長BA、CE交

17、于F,.BEXCFF./BEF=/BEC=90oABEFffiABEC中Z1=/2BE=BE/BEF=/BEC.BEFABEC.CE=FE=1CF2/BAC=90o,BEXCF丁./BAC=/CAF=90o/1+/BDA=90oZ1+ZBFC=90o/BDA=/BFC在AABDffiAACF中/BAC=/CAF/BDA=/BFCAB=AC.ABDAACF.BD=CF.BD=2CE練習(xí)：已知，如圖，/ACB=3/B,/1=/2,CD，AD于D,求證：AB-AC = 2CD規(guī)律31.當(dāng)證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中連接起來構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O,且AB = DC

18、,AC =的某兩點BD,證明：（連結(jié)BC,過程略）規(guī)律32.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件例：已知，如圖，AB=DC,/A=ZD求證：/ABC=ZDCB證明：分別取AD、BC中點N、M,連結(jié)NB、NM、NC（過程略）規(guī)律33.有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.點，且 PDXBCTB例：已知，如圖，/1=/2,P為BN上D,AB+BC=2BD,求證：ZBAP+ZBCP=180證明：過P作PEXBA于E,.PDXBC,/1=/2.PE=PD在RtzXBPE和RtABPD中BP=BPPE=PD,RtABPERtABP

19、D.BE=BD.AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE.AE=CDPEXBE,PDXBCPEB=/PDC=90APEAffiAPDC中PE=PD/PEB=/PDCAE=CD.PEAAPDC丁./PCB=/EAP./BAP+/EAP=180o./BAP+/BCP=180o練習(xí)：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角/MAC與/NCA的平分線，它們交于P,PDLBM于M,PF，BN于F,求證：BP為/MBN的平分線/ACB = 20, CE是/ACB 的平2.已知，如圖，在ZXABC中，/ABC=100,分線，D是AC上一點，若/CBD=20,求/CED的度數(shù)規(guī)律34.有等腰三

20、角形時常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB=AC,BDLAC于D,求證：/BAC=2/DBC證明：（方法一）作/BAC的平分線AE,交BC于E,則/1=/2=/BAC又AB=AC,.AEXBCE./2+ZACB=90oVBDXAC./DBC+/ACB=90o./2=ZDBC./BAC=2/DBC（方法二）過A作AELBC于E（過程略）（方法三）取BC中點E,連結(jié)AE（過程略）有底邊中點時，常作底邊中線例：已知，如圖，4ABC中，AB=AC,D為BC中點，DELAB于E,DFLAC于F,求證：DE=DF證明：連結(jié)AD.D為BC中點,.BD=CD又vAB=AC.AD平

21、分/BACVDEXAB,DFXAC.DE=DF將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，4ABC中，AB=AC,在BA延長線和AC上各取一點E、F,使AE=AF,求證：EFXBC證明：延長BE至ijN,使AN=AB,連結(jié)CN,則AB=AN=AC./B=/ACB,/ACN=/ANC./B+ZACB+ZACN+ZANC=180o.2/BCA+2/ACN=180o/BCA+/ACN=90o即/BCN=90o.NCXBC,.AE=AF丁./AEF=/AFE又vZBAC=/AEF+/AFE/BAC=/ACN+/ANC丁./BAC=2/AEF=2/ANC丁./AEF=/ANC.EF/NC,.EFXB

22、C常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例：已知，如圖，在4ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC延長線上，且BD=CE,連結(jié)DE交BC于F求證：DF=EF證明：（證法一）過D作DN/AE,交BC于N,則/DNB=/ACB,/NDE=/E,.AB=AC,.B=/ACB.B=/DNB.BD=DN又=BD=CE.DN=ECADNFffiAECF中/1=/2/NDF=/EDN=EC.DNFAECF.DF=EF（證法二）過E作EM/AB交BC延長線于M,則/EMB=/B（過程略）常過一腰上的某一已知點做底的平行線AC上，D在BA延例：已知，如圖，4ABC中，AB=AC,E在長線上，且AD=AE,連

23、結(jié)DE求證：DEXBC證明：（證法一）過點E作EF/BC交AB于F,則/AFE=/B/AEF=/C.AB=AC.B=/C./AFE=/AEF.AD=AE./AED=/ADEX/ZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180o.2/AEF+2/AED=90o即/FED=90oDEXFE又EF/BCDEXBC（證法二）過點D作DN/BC交CA的延長線于N,（過程略）（證法三）過點A作AM/BC交DE于M,（過程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，4ABC中，AB=AC,/BAC=80o,P為形內(nèi)一點，若/PBC=10o/PCB=300求/PAB的度數(shù).解法一：以AB

24、為一邊作等邊三角形，連結(jié)CEWJ/BAE=/ABE=60oAE=AB=BE.AB=AC.AE=AC/ABC=/ACB./AEC=/ACE./EAC=/BAC/BAE=8cp600=20oE/ EAC)=500./ACE=1(180。800ZACB=1(1800-ZBAC)=./BCE=ZACE-ZACB=800500=300vZPCB=300./PCB=/BCE./ABC=/ACB=500,/ABE=600丁./EBC=/ABE/ABC=600500=100ZPBC=100./PBC=/EBCAPBCffiAEBC中/PBC=/EBCBC=BC/PCB=/BCE.-.PBCAEBC.BP=BE

25、.AB=BE.AB=BP./BAP=/BPAvZABP=/ABC/PBC=500100=400丁./PAB=1(1800-ZABP)=700解法二:解法三:以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。以BC為一邊作等邊三角形ABCE,連結(jié)AE,則EB=EC=BC,/BEC=/EBC=600,.EB=EC.E在BC的中垂線上E/IA同理A在BC的中垂線上丁EA所在的直線是BC的中垂線,.EAXBCZAEB=1/BEC=30o=/PCB2由解法一知：/ABC=50o丁./ABE=/EBC-/ABC=10o=/PBCvZABE=/PBC,BE=BC,/AEB=/PCB.ABEAPBC.AB=BP./BAP=

26、/BPAvZABP=/ABC/PBC=50010o=40o./PAB=1(180o/ABP)=1(180o40o)=70o規(guī)律35.有二倍角時常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在4ABC中，/1=/2,/ABC=2/C,求證：AB+BD=AC證明：延長AB至ijE,使BE=BD,連結(jié)DEWJ/BED=/BDE./ABD=/E+/BDE./ABC=2ZE./ABC=2/C.E=/C在AAED和AACD中ZE=/C/1=/2AD=AD.AEDAACD.AC=AE,.AE=AB+BE/.AC=AB+BE即AB+BD=AC平分二倍角例：已知，如圖，在4ABC中，

27、BD，AC于D,/BAC=2/DBC求證：/ABC=/ACB證明：作/BAC的平分線AE交BC于E,則/BAE=/CAE=/DBC,.BDXAC./CBD+/C=90o./CAE+/C=90ovZAEC=180。一/CAE/C=90o,.AEXBC./ABC+/BAE=90o/CAE+/C=90。/BAE=/CAE./ABC=/ACB加倍小角例：已知，如圖，在4ABC中，BD，AC于D,/BAC=2/DBC求證：/ABC=/ACB證明：作/FBD=/DBC,BF交AC于F（過程略）規(guī)律36.有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來例：已知，如圖， AABC中，AB = AC ,

28、/BAC = 120, EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F,交AB于E求證：BF =-FC2證明：連結(jié)AF ,則AF = BF / B =/ FAB. AB = AC.B =/C./ BAC = 1201 c / B =/ C/ BAC = - (180。- / BAC)丁. / FAB = 30=30丁. / FAC =/ BAC / FAB = 120-30 =90 .AF = - FC2. .BF = 1fC2練習(xí)：已知，如圖，在4ABC中，/ CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點 D, DM AB 于 MDNLAC延長線于N求證：BM = CN規(guī)律37.有垂直時常構(gòu)造垂直

29、平分線.例：已知，如圖，在4ABC中，/B=2/C,ADBCTD求證：CD=AB+BD證明：（一）在CD上截取DE=DB,連結(jié)AE,則AB=AE.B=/AEB/B=2/C./AEB=2/C又./AEB=/C+/EAC/C=/EAC.AE=CE.CD = BD + AB又.CD=DE+CE（二）延長CB至ijF,使DF=DC,連結(jié)AF則AF=AC（過程略）規(guī)律38.有中點時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在4ABC中，BC=2AB,/ABC=2/C,BD=CD求證：4ABC為直角三角形證明：過D作DELBC,交AC于E,連結(jié)BE,則BE=CE,./C=/EBC./ABC=2/C./ABE=/E

30、BCCD中vBC=2AB,BD=.BD=ABftAABEffiADBEAB=BD/ABE=/EBCBE=BE.ABEADBE丁./BAE=/BDEvZBDE=90o丁./BAE=90o即AABC為直角三角形規(guī)律39.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題例：已知，如圖，在4ABC中，/A=900,DE為BC的垂直平分線求證：BE2AE2=AC2證明：連結(jié)CE,則BE=CE/A=90o.AE2+AC2=EC2.ae2+ac2=BE2.BE2AE2=AC2AB = AC , P練習(xí)：已知，如圖，在ABC中，/BAC=900,為BC上一點求證：PB2+PC2=2PA2規(guī)律40.

31、條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如圖，在4ABC中，/B=450,/C=300,AB=6，求AC的長.解：過A作ADLBC于D./B+/BAD=900,./B=450,/B=/BAD=450,.AD=BD,.AB2=AD2+BD2,AB.AD=1/C=300,ADXBC.AC=2AD=2里邊鬟地分一規(guī)律41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.例：已知，CABCD的周長為60cm,對角線AC、BD相交于點O,4AOB的周長比BOC的周長多8cm,求這個四邊形各邊長.解：:四邊形ABCD為平行四邊形AB=CD,AD=CB,AO=CO.AB+CD+DA+CB

32、=60AO+AB+OB(OB+BC+OC)=8.AB+BC=30,ABBC=8.AB=CD=19,BC=AD=11答：這個四邊形各邊長分別為19cm、11cm、19cm、11cm.規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差.(例題如上)規(guī)律43.有平行線時常作平行線構(gòu)造平行四邊形CDXABFH / AB例：已知，如圖，RtAABC,/ACB=900,于D,AE平分/CAB交CD于F,過F作交BC于H求證：CE=BH證明：過F作FP/BC交AB于P,則四邊形FPBH為平行四邊形.B=/FPA,BH=FP./ACB=90,CDLAB/5+/CAB=45,/B+

33、/CAB=90./5=/B./5=/FPA又./1=/2,AF=AF.CAFAPAF.CF=FP./4=/1+/5,/3=/2+/B/3=/4.CF=CE.CE=BHGC練習(xí)：已知，如圖，AB/EF/GH,BE=求證：AB=EF+GH規(guī)律44.有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段例：已知，如圖，在CABCD中，AB=2BC,M為AB中點求證：CMXDM證明：延長DM、CB交于N丁四邊形ABCD為平行四邊形.AD=BC,AD/BC=/ NN./A=/NBA/ADN又AM=BM.AMDABMN.AD=BN.BN=BC.AB=2BC,AM=BM.BM=BC=BN/1=/2,/3=/N./

34、1+/2+/3+/N=180,./1+/3=90.CM，DM規(guī)律45.平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等如圖：OE=OF規(guī)律46.這行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半 .如圖：SBEC = SBCD2規(guī)律47.平行四邊形內(nèi)任意一點與四個頂點的連線所 成的四個三角形中，不相鄰的兩個三角形 面積之和等于平行四邊形面積的一半.如圖:Saaob + Sa doc = Sa boc + Sa aod =1 SBCD2規(guī)律48.任意一點與同一平面內(nèi)的矩形各點的中，不相鄰的兩條線段的平方和相等如圖：AO2 + OC2= BO2

35、 + DO2規(guī)律49.平行四邊形四個內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形如圖：四邊形GHMN是矩形連線（規(guī)律45規(guī)律49請同學(xué)們自己證明）規(guī)律50.有垂直時可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.例：已知，如圖，E為矩形ABCD的邊AD上一點，且BE=ED,P為對角線BD上點，PFLBE于F,PGLAD于G求證：PF+PG=AB證明：證法一：過P作PHLAB于H,則四邊形AHPG為矩形.AH=GPPH/AD./ADB=/HPBAHB90o.BE=DE./EBD=/ADB./HPB=/EBD又./PFB=/BHP=.PFB0ABHP.HB=FP.AH+HB=PG+PF即AB=PG+PF證法二：延長GP交BC于N,則

36、四邊形ABNG為矩形，（證明略）規(guī)律51.直角三角形常用輔助線方法:作斜邊上的高例：已知，如圖若從夕!形ABCD的頂點C作對角線BD的垂線與/BAD的平分線交于點EAF / EG求證：AC=CE證明：過A作AFLBD,垂足為F,則丁./FAE=/AEGV四邊形ABCD為矩形./BAD=90。OA=OD丁./BDA=/CAD,.AFXBD丁/ABD+/ADB=/ABD+/BAF=90。./BAF=/ADB=/CAD.AE為/BAD的平分線./BAE=/DAE丁./BAE/BAF=/DAE/DAC即/FAE=/CAE./CAE=/AEG.AC=EC作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時常作斜邊中線:有斜邊中點

37、時例：已知，如圖，AD、BE是4ABC的高，F(xiàn)是DE的中點，G是AB的中點求證：GFXDE證明：連結(jié)GE、GD.AD、BE是4ABC的高，G是AB的中點.GE = - AB, GD = 22 AB.GE=GD.F是DE的中點,.GFXDE有和斜邊倍分關(guān)系的線段時例：已知，如圖，在4ABC中,D是BC延長線上一點，且口人，8人于人，AC=2BD求證：/ACB=2/B證明：取BD中點E,連結(jié)AE, WJ AE = BE = - BD 2./1=/B.AC = 1 BD.AC = AE ./ACB =/2:/2=/1+/B/2=2/B./ACB=2/B規(guī)律52.正方形一條對角線上一點到另一條對角線上

38、的兩端距離相等例：已知，如圖，過正方形ABCD對角線BD上一點P,作PEBC于E,作PFCD求證：AP=EF證明:連結(jié)AC、PC丁四邊形ABCD為正方形E.BD垂直平分AC,/BCD=90oA.AP=CPVPEBC,PF，CD,/BCD=90o一四邊形PECF為矩形.PC=EF.AP=EF規(guī)律53.有正方形一邊中點時常取另一邊中點.例：已知,如圖，正方形ABCD中，M為AB的中點，MNMD,BN平分/CBE并交MN于N求證：MD=MN證明：取AD的中點P,連結(jié)PM,則DP=PA=1AD丁四邊形ABCD為正方形.AD=AB,/A=/ABC=900/1+/AMD=900,又DMLMN/2+/AMD

39、=9001=/2,.M為AB中點.AM=MB=1AB2.DP=MBAP=AM./APM=/AMP=450./DPM=1350.BN平分/CBE./CBN=450丁./MBN=/MBC+/CBN=900+450=1350即/DPM=/MBN.DPMAMBN.DM=MN注意：把M改為AB上任一點，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。練習(xí)：已知，Q為正方形ABCD的CD邊的中點，P為CQ上一點，且AP=PC+BC求證：/BAP=2/QAD規(guī)律54.利用正方形進行旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法.旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通

40、過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在4ABC中，AB=AC,/BAC=90,D為BC邊上任占八、求證：2AD2=BD2+CD2證明：把4ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得4ACE.BD=CE/B=/ACE./BAC=90./DAE=90.DE2=AD2+AE2=2AD2ZB+ZACB=90./DCE=90.CD2+CE2=DE2-2AD2=BD2+CD2注意：把4ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90也可，方法同上。練習(xí)：已知，如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分/CBE交CD于F求證：BE=CF+AE規(guī)律55.有以正方形一邊

41、中點為端點的線段時，常把這條線段延長，構(gòu)造全等三角形例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA的中點，BE與CF交于P點求證：AP=AB證明：延長CF交BA的延長線于K丁四邊形ABCD為正方形BC=AB=CD=DA/BCD=/D=/BAD=90o.E、F分別是CD、DA的中點.CE=-CDDF=AF=-AD TOC o 1-5 h z 22CED.CE=DFJ.-.BCEACDF/、:丁./CBE=/DCFbkAvZBCF+/DCF=90o丁./BCF+/CBE=90o,.BEXCF又/D=/DAK=90oDF=AF/1=/2.-.CDFAKAF.CD=KA.BA=KA又;BEXCF

42、.AP=AB練習(xí)：如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC,P在BC上，且AP=CD+CP求證：AQ平分/DAP規(guī)律56.從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,AB=4,BC=7求/B的度數(shù)解：過A作AE/CD交BC于E,則四邊形AECD為平行四邊形.AD=EC,CD=AE.AB=CD=4,AD=3,BC=7.BE=AE=AB=4.ABE為等邊三角形./B=60o規(guī)律57.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個三角形.例：已知，如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AB

43、=AC,/BAC=90,BD=BC,BD交AC于O求證：CO=CD證明：過A、D分別作AEBC,DFXBC,垂足分別為E、F則四邊形AEFD為矩形.AE=DF.AB=AC,AEXBC,/BAC=90,.AE=BE=CE=1BC,/ACB=452. .AE = DF = 1BD2.BC=BD又;DFXBC丁./DBC=30.BD=BC./BDC=ZBCD=1(180-ZDBC)=75ovZDOC=/DBC+/ACB=30+45=75./BDC=/DOC.CO=CD規(guī)律58.從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC,ACXB

44、D,AD+BC=10,DEXBC于E求DE的長.延長線于F,則四邊形解：過D作DF/AC,交BC的ACFD為平行四邊形.AC=DF,AD=CFV四邊形ABCD為等腰梯形.AC=DB.BD=FDVDEXBC.BE=EFBF2=1（BC+CF）=1（BC+AD）X10=5.AC/DF,BDXAC,.BDXDF.BE=FE.DE=BE=EF=1BF=52答：DE的長為5.規(guī)律59.延長梯形兩腰使它們交于一點，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.例：已知，如圖，在四邊形ABCD中，有AB=DC,ZB=/C,ADBC求證：四邊形ABCD等腰梯形證明：延長BA、CD,它們交于點E./B=/C.EB=ECe又vAB=DCa

45、d.AE=DE./EAD=ZEDA/ E+ Z EAD + Z EDA =180o/B+/C+/E=180o./EAD=/B.AD/BC.AABC,ZB=/C一四邊形ABCD等腰梯形（此題還可以過一頂點作AB或CD的平行線；也可以過A、D作BC的垂線）規(guī)律60.有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD/BC,E為CD中點，EFLAB于F求證：S梯形abcd=EFAB證明：過E作MN / AB ,交AD的延長線于M ,交BC于N則四邊形ABNM為平行四邊VEFAB.S=ABEF.AD/BC./M=/MNC又DE=CE/1=/2.CE

46、NADEMSCEN=SDEMS梯形ABCD=S五邊形ABNED+SACEN=S五邊形ABNED+SADEM=S梯形abcd=EFAB規(guī)律61.有梯形一腰中點時，也常把一底的端點與中點連結(jié)并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形.例：已知，如圖，直角梯形ABCD中，AD/BC,ABLAD于A,DE=EC=BC求證：/AEC=3/DAE證明：連結(jié)BE并延長交AD的延長線于N.AD/BC./3=/N又./1=/2ED=EC,.DENACEB2/ DAE.BE=ENDN=BC.ABXAD.AE=EN=BE./N=/DAE./AEB=/N+/DAE=.DE=BCBC=DN.DE=DN./N=/1.

47、/1=/2/N=/DAE./2=/DAE./AEB+/2=2/DAE+/DAE即/AEC=3/DAE規(guī)律62.梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線.例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD/BC,ADCE) AE、CD 交于分別交證明：取AE的中點N,連結(jié)ON,則ON*AACE的中位線.ON/CE,ON=1CE2./6=/ONE四邊形ABCD為正方形./3=/4=45。/5=/3+/1,/6=/4+/2/1=/2/5=/6/6=/ONE./ONE=/5.ON=OF.OF=1CE2規(guī)律66.有下列情況時常構(gòu)造梯形中位線有一腰中點有兩腰中點涉及梯形上、下底和例1:已知,如圖，梯形ABCD中，AD/

48、BC,AE、BE求證：AE=BE證明：取AB的中點F,連結(jié)EF,則EF/AD丁./DAB=/EFB=90.EFXABEF為AB的中垂線/DAB = 90 ,E為CD的中點，連結(jié)例2:從CABCD的頂點ABCD向形外的任意直線MN 引垂線 AA、BB、CC、.AE=BE。作DD,垂足分別為A、B、C、D求證：AA+CC=BB午DD證明：連結(jié)AC、BD,它們交于點O,過OEXMN于E,貝UAA/OE/CC丁四邊形ABCD為平行四邊形.AO=CO.AE=CE.AA+CC=2OE同理可證：BB+DD=2OE.AA+CC=BB午DD TOC o 1-5 h z 規(guī)律67.連結(jié)任意四邊形各邊中點所彳#的四

49、邊形為平行四邊形.規(guī)律68.連結(jié)對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形.規(guī)律69.連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形.規(guī)律70.連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形.規(guī)律71.連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形規(guī)律72.等腰梯形的對角線互相垂直時，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長）以上各規(guī)律請同學(xué)們自己證明.（利用中位線證明）規(guī)律73.等腰梯形的對角線與底構(gòu)成的兩個三角形為等腰三角形例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AB/CD,ABCD,AD=BC,對角線AC、OA、BC

50、的中點BD相交于O,/AOB=60,且E、F、M分別為OD、求證：MEF是等邊三角形證明：連結(jié)BF、CEV四邊形ABCD為等腰梯形.AD=BC,AC=BD又VAB為公共邊.ABDABAC./CAB=ZDBA.OA=OBvZAOB=60.ABO為等邊三角形又;F為AO中點,.BFXAC,.M為BC中點.MF=1BC2同理可證：ME=1BC2.E、F分別為OD、OA中點.EF=1AD2.AD=CB.ME=MF=EF.MEF為等邊三角形規(guī)律74.如果矩形對角線相交所成的鈍角為1200,則矩形較短邊是對角線長的一半.例：已知，四邊形ABCD為矩形，對角線點 O, /AOB = 1200求證：AB =

51、1 BD2AC、BD相交于（證明略）規(guī)律75.梯形的面積等于一腰的中點到另一腰的距離與另一腰的乘積例：已知,如圖，梯形 ABCD中，AD/BC, E為CD中點，EFLAB于F求證：S梯形abcd = EF AB證明：過E作MN / AB ,交AD的延長線于M ,交BC于N ,則四邊形ABNM為平行四邊形VEF AB.S = AB EF. AD / BC./M =/MNC又DE = CE /1=/2.CENADEMSacen = Sa demS 梯形 ABCD = S 五邊形 ABNED + SACEN = S五邊形 ABNED + SADEM規(guī)律76.若菱形有一內(nèi)角為1200,則菱形的周長是較

52、短對角線長的 4倍.例：已知，四邊形ABCD是菱形,求證:AB = BD（證明略）相似形和解直角三角形部分規(guī)律77.當(dāng)圖形中有叉線（基本圖形如下）時，常作平行線例：已知，如圖，AD為4ABC的中線,求證:AFABEFEC/ABC=120F為AB上任一點，CF交AD于E證明：過F作FN/BC交AD于N.AFFNFNEFABBDCDCE又CD=BDAFEFABEC規(guī)律78.有中線時延長中線（有時也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形.例：AD為4ABC的中線，E為AD上一點，BE、CE的延長線分別交AC、AB于點M、N求證：MN/BCCF,則四證明：延長AD至F,使DF=DE,連結(jié)BF、邊形BFCE為平行四邊形.BF/CNCF/BM,ANAEAEAM,NBeFeFmC,ANAMNBMC.MN/BC規(guī)律79.當(dāng)已知或求證中，涉及到以下情況時，常構(gòu)造直角三角形.有特殊角時，如有30、45、60、120。、1350角時.涉及有關(guān)