自動(dòng)控制理論：3第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析-1

1、2022/7/13第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析 典型輸入信號(hào) 線性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定判據(jù) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 2022/7/133.1 典型輸入信號(hào) Typical test signals分析控制系統(tǒng)第一步 建立模型第二步 分析控制性能，分析方法包括：時(shí)域分析法頻域分析法根軌跡法 控制系統(tǒng)的分析方法2022/7/133.1 典型輸入信號(hào) Typical test signals實(shí)際上，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)常常是不知的，而是隨機(jī)的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的自動(dòng)控制的例

2、子。2022/7/133.1 典型輸入信號(hào) Typical test signals在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，對(duì)各種控制系統(tǒng)性能得有評(píng)判、比較的依據(jù)。這個(gè)依據(jù)也許可以通過(guò)對(duì)這些系統(tǒng)加上各種輸入信號(hào)，比較它們對(duì)特定的輸入信號(hào)的響應(yīng)來(lái)建立。許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)對(duì)初始條件變化（無(wú)任何試驗(yàn)信號(hào)）的基礎(chǔ)上，因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系；所以采用試驗(yàn)信號(hào)即典型輸入信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。2022/7/13 通常，給控制系統(tǒng)施加一定的輸入信號(hào)，考察系統(tǒng)的輸出響應(yīng)來(lái)分析系統(tǒng)性能。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定

3、，輸出響應(yīng)除與數(shù)學(xué)模型有關(guān)外，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號(hào)的形式有關(guān)?？蓪⑤斎胄盘?hào)規(guī)定為統(tǒng)一的典型形式。 常用的典型輸入信號(hào)有階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)。2022/7/13 定義：式中A 為常量。A=1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記為1（t）如式3-1所示。 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：一、階躍函數(shù) 2022/7/13 通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號(hào)，這樣可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。 本章討論系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)（Step、Ramp）響應(yīng)，對(duì)正弦試驗(yàn)信號(hào)將在第五章頻域分析法，第六章校正方法中討論2022/7/13 定義： 式中A為常量。當(dāng)A=

4、1時(shí),稱為單位斜坡函數(shù),記為t1（t），如圖3-2所示。 它等于單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分。單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為 二、斜坡函數(shù) R（S）=Lr(t)=1/s2 (3-4) 如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時(shí)間函數(shù)是比較合適的。2022/7/13 其定義為： 式中A為常量。 當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)，記為t2/21（t）如圖3-3所示。 它等于單位斜坡函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分。其拉氏變換為：三、拋物線函數(shù) 2022/7/13 定義為 ： 脈沖函數(shù)如圖3-4所示,令0,則稱為單位脈沖函數(shù),記為（t）,見(jiàn)圖3-4（b）,有單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的

5、導(dǎo)數(shù) 四、脈沖函數(shù) 2022/7/13 定義為： r（t） A Sint式中,A為振幅； 為角頻率。其拉氏變換： 五、正弦函數(shù) 用頻率不同的正弦函數(shù)作為輸入信號(hào)，可求得系統(tǒng)此時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在頻率法中廣泛使用。 2022/7/13 如系統(tǒng)的輸入為r（t），輸出為c（t），則用以下常微分方程描述其運(yùn)動(dòng)行為 : 3.2 線性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)由:可得式中 SiG（S）的極點(diǎn)； SkR（S）的極點(diǎn)。 2022/7/13如果Si和Sk都是互異極點(diǎn)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為式中Ak，Bk常數(shù)。 由于 si只是 G（s）的極點(diǎn)，所以式（3-14）等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)與輸入無(wú)關(guān)，即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)響應(yīng)分量。 s

6、k只與外部輸入r（t）有關(guān)，所以式（3-14）等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。 系統(tǒng)響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2022/7/13二. 動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程 瞬態(tài)（暫態(tài)）響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) Transient Response & Steady_state Response 在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，稱時(shí)域響應(yīng)。 瞬態(tài)（暫態(tài)）響應(yīng) ： 指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。 因?yàn)槲锢砜刂葡到y(tǒng)包含有一些儲(chǔ)能元件，所以當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程。對(duì)

7、于實(shí)際控制系統(tǒng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應(yīng)，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程。稱動(dòng)態(tài)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 是指當(dāng)時(shí)間t趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸入量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。2022/7/132022/7/13從線性微分方程理論： 線性微分方程的通解= 非齊次方程的任一個(gè)特解 +對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解從輸入和狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 系統(tǒng)的響應(yīng)= 零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)2022/7/13三. 動(dòng)態(tài)3.3 控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)標(biāo)： 實(shí)際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程，為了說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用下列一些性能指標(biāo)。 在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需

8、要的性能指標(biāo)，常以時(shí)域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，定義在系統(tǒng)在初始條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為0），對(duì)（單位）階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程中某些性能。1、控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)2022/7/13 延遲時(shí)間 （Delay Time）響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。峰值時(shí)間 （Peak Time）：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。 上升時(shí)間（Rise Time）響應(yīng)曲線從t=0上升到穩(wěn)態(tài)終值所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。2022/7/13 調(diào)節(jié)時(shí)間 ：（Settling time）響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)

9、態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作，超調(diào)量（Maximum Overshoot）：指響應(yīng)的最大偏離量c(tp)與終值之差的百分比，即 2022/7/13 或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。2022/7/132. 絕對(duì)穩(wěn)定性（Absolute Stability ）在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性中，最重要的是絕對(duì)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒(méi)有受到任何擾動(dòng)或輸入信號(hào)的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。2022/7/13如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動(dòng)量的作

10、用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動(dòng)量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過(guò)程或輸出量無(wú)限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。 2022/7/13 3. 系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的后果：實(shí)際上，物理系統(tǒng)輸出量只能增加到一定的范圍，此后或者受到機(jī)械止動(dòng)裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，也可能當(dāng)輸出量超過(guò)一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線性的，而使線性微分方程不再適用。2022/7/134. 相對(duì)穩(wěn)定性 Relative Stability： 為了使控制系統(tǒng)能可靠地工作，不但要求它能穩(wěn)定，而且還希望有足夠的穩(wěn)定裕量，使系統(tǒng)在環(huán)境發(fā)生變化或存在干擾的情況下仍能工作，這

11、即為相對(duì)穩(wěn)定性的概念。2022/7/135. 穩(wěn)態(tài)誤差：Steady_state Error 如果在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，就認(rèn)為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個(gè)誤差表示系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。 在分析控制系統(tǒng)時(shí)，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間，同時(shí)也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對(duì)輸入信號(hào)跟蹤的誤差大小2022/7/133.4 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖3-10（a）所示的RC電路i(t)+r(t)c(t)+（a） 電路圖RC 其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時(shí)

12、間常數(shù)。當(dāng)初使條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為 其微分方程為R(s)C(s)（b）方塊圖I(s)圖3-102022/7/13 這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。 下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。R(s)C(s)（c）等效方塊圖R(s)C(s)（b）方塊圖I(s)2022/7/131 單位階躍響應(yīng)Unit-Step Response of First-order System 因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為則系統(tǒng)的輸出由下式可知為 對(duì)上式取拉氏反變換，得 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 2022/7/13 注：R(s)的極點(diǎn)形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)

13、論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。響應(yīng)曲線在時(shí)的斜率為，如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度恒為1/T，則只要t時(shí)，輸出c(t)就能達(dá)到其終值。 2022/7/13由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)： 2022/7/132 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，R(s)1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即這時(shí)相同的輸出稱為脈沖響應(yīng)記作g(t)，因?yàn)?其表達(dá)式為 (Unit-impulse response of first-order systems)2022/7/133 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng) 對(duì)上式求拉氏反變換，得：

14、因?yàn)樗砸浑A系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為(Unit-ramp Response of first-order Systems)2022/7/13上式表明：一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號(hào)。穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸入和輸出信號(hào)的變化率完全相同 由于系統(tǒng)存在慣性， 從0上升到1時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)在數(shù)值上要滯后于輸入信號(hào)一個(gè)常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。 減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。 2022/7/134 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無(wú)限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。2022/7/13表1:一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)輸入信號(hào)（時(shí)域）輸入信號(hào)（頻域）輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)11(t)t等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。2022/7/13例1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)閉環(huán)傳函 ，當(dāng)輸入單位階躍信號(hào)時(shí)，經(jīng)過(guò)15秒響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98%，試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)及時(shí)間常數(shù)解：設(shè)開(kāi)環(huán)傳函為G(s)，因?yàn)槭菃挝环答佅到y(tǒng)，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳函：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：2022/7/13時(shí)域表達(dá)式:當(dāng)t