2020屆湖北省華師一附中高三2月月考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020屆湖北省華師一附中高三2月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】B【解析】本題考查三角函數(shù)的符號,復(fù)數(shù)的幾何意義.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點坐標(biāo)為因為所以則是第二象限點.故選B2設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（，），則（）ABCD【答案】B【解析】設(shè)，代入已知等式化簡即可【詳解】設(shè)，即，化簡得故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運算，直接代入復(fù)數(shù)的代數(shù)形式由模的定義化簡

2、即得也可由模的幾何意義求解3設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若，則( )A5B6C7D8【答案】B【解析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得和，再利用組合數(shù)的計算公式，解方程，即可求得的值【詳解】為正整數(shù)，由展開式的二項式系數(shù)的最大值為，以及二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，同理，由展開式的二項式系數(shù)的最大值為，可得再由，可得，即，即，即，解得，故選：【點睛】本題主要考查二項式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查組合數(shù)的計算公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計算能力4函數(shù)的圖像大致為（ ）.ABCD 【答案】A【解析】本題采用排除法: 由排除選項D；根據(jù)特殊值排除選項C;由,且無

3、限接近于0時, 排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得, 令函數(shù) ,則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當(dāng),且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.5射線測厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（ ）（注

4、：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，結(jié)果精確到0.001）A0.110B0.112CD【答案】C【解析】根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.6設(shè)，且，則（ ）ABCD【答案】D【解析】試題分析：因,即,也即,故,所以應(yīng)選D.【考點】兩角和與差的正切公式及三角變換.7已知雙曲線的右頂點為，拋物線的焦點為若在的漸近線上存在點，使得，則的離心率的取值范圍是 （

5、 ）ABCD【答案】B【解析】由題意得，設(shè)，由，得 ,因為在的漸近線上存在點，則，即 ，又因為為雙曲線，則 ，故選B.【點睛】本題主要考查了雙曲線的基本性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線基本性質(zhì)的應(yīng)用，向量數(shù)量積坐標(biāo)運算以及一元二次方程根的判別式的運用，屬于中檔題，首先可畫一張草圖，分析其中的幾何關(guān)系，然后將系用代數(shù)形式表示出來，即可得到一個一元二次方程，若要使得一元二次方程有實數(shù)解，水到渠成，即可得到答案，因此將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程是解題的關(guān)鍵.8已知正方體，過對角線作平面交棱于點E，交棱于點F，則：平面分正方體所得兩部分的體積相等；四邊形一定是平行四邊形；平面與平面不可能垂直；四邊形的面積有最大值.其中所有

6、正確結(jié)論的序號為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)對每個命題進(jìn)行判斷結(jié)合排除法可選正確結(jié)論【詳解】截面上方幾何體分割成四棱錐四棱錐，四棱錐，三棱錐，截面下方幾何體對稱的也是三個棱錐，對應(yīng)體積相等（特殊位置截面更容易得此結(jié)論），正確，排除B；由正方體相對兩個面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知四邊形的兩組對邊平行，從而是平行四邊形，正確，排除A；當(dāng)是中點，是中點，這時可證平面（先證），從而平面與平面垂直，錯誤，排除D，只有C可選了事實上，四邊形即有最大值也有最小值與（或）重合時面積最大，是中點時，面積最小設(shè)，正方體棱長為1，在中，所以，所以，所以或1時，取得最大值正確故選：C【點睛】本

7、題考查正方體的截面的性質(zhì)解題關(guān)鍵是由截面表示出相應(yīng)的量與相應(yīng)的關(guān)系如果空間想象能力豐富，結(jié)論易得，由正方體對稱性，正確，從運動角度考慮，當(dāng)從運動到時，截面面積發(fā)生變化，這是一個有限的連續(xù)過程，其中必有最大值和最小值正確，易于從面線面關(guān)系說明9已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）（是自然對數(shù)的底數(shù)）A6B5C4D3【答案】B【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，函數(shù)值的變化趨勢和，函數(shù)的極值再研究方程的解的個數(shù)，即直線與函數(shù)的公共點的的取值，從而利用函數(shù)的性質(zhì)求得零點個數(shù)【詳解】時，是增函數(shù)，時，顯然，由，作出和的圖象，如圖，是增函數(shù)，在是減函數(shù)它們有一個交點，設(shè)交點橫坐標(biāo)為，易得，在時，時，

8、所以在上遞減，在上遞增，是的極小值，也是在時的最小值，即，時，時，作出的大致圖象，作直線，如圖，時與的圖象有兩個交點，即有兩個解，時，由得，而時，所以直線與在處相切即時方程有一個解，令，則，由上討論知方程有三個解：()而有一個解，和都有兩個解，所以有5個解，即函數(shù)有5個零點故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題，通過換元法問題轉(zhuǎn)化為的解及的解，為此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，研究直線與函數(shù)的公共點問題研究的圖象與直線的公共點個數(shù)本題考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想運算求解能力10設(shè)，則當(dāng)( )時，取得最小值.A，B，C，D，【答案】C【解析】由題意，轉(zhuǎn)化為，分和討論，那么，利用基本不等式的性質(zhì)求解【

9、詳解】由題意：，轉(zhuǎn)化為：，當(dāng)時，那么：當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號當(dāng)時，那么：當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號故選：【點睛】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)和變形的運用能力，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，變形是解題的關(guān)鍵11在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點，是函數(shù)（）圖象上一動點.若點，之間的最短距離為，則滿足條件的實數(shù)的所有值為( )ABC或D或【答案】D【解析】設(shè)點，利用兩點間的距離公式可得，利用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出的值【詳解】設(shè)點，則，令，令，當(dāng)時，時取得最小值（2），解得；當(dāng)時，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，取得最小值（a），解得綜上可知：或故選：D【點睛】本題綜合考查了兩點間的距離公式、基

10、本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力12已知，設(shè)函數(shù)存在極大值點，且對于的任意可能取值，恒有極大值，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A存在，使得B存在，使得C的最大值為D的最大值為【答案】D【解析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在極小值等價為有解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與判別式之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域為，.若函數(shù)存在極大值點，則有解，即有兩個不等的正根，則，得.由可得.分析易得的極大值點為，且.的極大值為.設(shè)，則的極大值恒小于0等價于恒小于0.在上在恒成立在上單調(diào)遞增，即.故選：D.【點睛】本題

11、主要考查函數(shù)極值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強，難度極大二、填空題13為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動情況,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個年齡段人員進(jìn)行問卷調(diào)查.已知抽取的樣本同時滿足以下三個條件:（i）老年人的人數(shù)多于中年人的人數(shù);（ii）中年人的人數(shù)多于青年人的人數(shù);（iii）青年人的人數(shù)的兩倍多于老年人的人數(shù).若青年人的人數(shù)為4,則中年人的人數(shù)的最大值為_.抽取的總?cè)藬?shù)的最小值為_【答案】6 12 【解析】設(shè)老年人、中年人、青年人的人數(shù)分別為,則 ,即可求得中年人的人數(shù)的最大值. 由題意可得,

12、得,即可求得抽取的總?cè)藬?shù)的最小值.【詳解】設(shè)老年人、中年人、青年人的人數(shù)分別為,則 ,則的最大值為由題意可得,得, 解得 當(dāng)時取最小值.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,關(guān)鍵是根據(jù)所給的約束條件確定可行域和目標(biāo)函數(shù).在平面區(qū)域中,求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,從而確定目標(biāo)函數(shù)在何處取得最優(yōu)解.14已知數(shù)列的前項和，如果存在正整數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【詳解】根據(jù)題意可得，又；易知，數(shù)列的奇數(shù)項為遞減的等比數(shù)列且各項為正；偶數(shù)項為遞增的等比數(shù)列且各項為負(fù)，于是不等式成立即存在正整數(shù)使得成立，只需要，即即可.故故答案為：.15已知三棱錐的棱長均為6，其內(nèi)有個小球，球與三

13、棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，球與三棱錐的三個面和球都相切（，且），則球的體積等于_，球的表面積等于_.【答案】 【解析】由正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的可求得的半徑，得其體積，把底面向上平移，平移到與內(nèi)切球相切，這個平面以上的部分仍然是正四面體，而第二個球就是這個正四面體的內(nèi)切球，此球半徑是第一個球半徑的一半，依次類推可得第個球【詳解】如圖，是三棱錐的高，是的外心，設(shè)，則，是三棱錐的外接球和內(nèi)切球的球心，在上，設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則由得，所以，過中點作與底面平行的平面與三條棱交于點，則平面與球相切，由題意球是三棱錐的內(nèi)切球，注意到三棱錐的棱長是三棱錐棱長

14、的，所以有其內(nèi)切球半徑，同理球的半徑為，則是僅比為的等比數(shù)列，所以，即，故答案為：；【點睛】本題考查三四面體的內(nèi)切球問題，掌握正四面體的性質(zhì)是解題關(guān)鍵實質(zhì)上正四面體的高是，其外接半徑是，內(nèi)切球半徑是16如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚.太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”.現(xiàn)有下列說法：對于圓：的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；函數(shù)是圓：的一個太極函數(shù)；存在圓，使得是圓的一個太極函數(shù)；直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓：（）的太極函數(shù)；若函數(shù)（）是圓：的太極函數(shù)，則.其中正確的是_.【

15、答案】【解析】利用新定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可【詳解】對顯然錯誤，如圖對，點均為兩曲線的對稱中心，且能把圓一分為二，正對，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)遞減；當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)關(guān)于中心對稱，有三條漸近線，可知，函數(shù)的對稱中心為間斷點，故不存在圓使得滿足題干條件對于，直線恒過定點，滿足題意對于函數(shù)為奇函數(shù)，與圓的交點恒坐標(biāo)為，令，得，即，得即；對，當(dāng)時顯然無解，即時也無解，即時兩曲線僅有兩個交點，函數(shù)能把圓一分為二，且周長和面積均等分，如圖所示：若時，函數(shù)圖象與圓有4個交點，若時，函數(shù)圖象與圓有6個交點，均不能把圓一分為二，如圖所示：故所有正確的是.故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶

16、性的應(yīng)用，命題真假的判斷，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，對學(xué)生能力要求較高三、解答題17已知.（1）求的最大值及取得最大值時相應(yīng)的值及中心；（2）若已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的值.【答案】（1）最大值為2，此時，對稱中心為（2）.【解析】（1）利用三角公式化簡函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最大值和對稱中心；（2）代入可得，令，設(shè)，是函數(shù)的兩個相應(yīng)零點，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求得，從而可得.【詳解】（1）的最大值為2，此時，即.令.所以函數(shù)的對稱中心為（2）根據(jù)題意可得.令，設(shè)，是函數(shù)的兩個相應(yīng)零點（即，由圖象性質(zhì)知，即.【點睛】本題綜合考查了兩角和與差的三角公式、二倍

17、角公式、三角函數(shù)的最值（最值的求解一般是整體思想），利用正弦函數(shù)的圖象求解值的問題，體現(xiàn)了函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解題中的運用18已知菱形的邊長為,將菱形沿對角線折起,使,得到三棱錐,如圖所示. (1)當(dāng)時,求證:平面;(2)當(dāng)二面角的大小為時,求直線與平面所成的正切值.【答案】（1）見解析； （2）.【解析】(1)根據(jù)線面垂直定義,即可求得答案.(2)由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以為原點建系,所在的直線分別為軸,軸,求出平面的法向量,求解和的夾角,即可求得答案.【詳解】(1)在中,即,且,平面.(2)由(1)知,以為原點,所在的直線分別為軸,軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系:則

18、.為二面角的平面角,點,設(shè)平面的法向量為,則 故取,則 設(shè)直線與平面所成的角為, 直線與平面所成的正切值:.【點睛】本題考查了線面角求法,根據(jù)題意畫出幾何圖形,掌握其結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.對于立體幾何中角的計算問題,可以利用空間向量法,利用向量的夾角公式求解,屬于基礎(chǔ)題.19半圓的直徑的兩端點為,點在半圓及直徑上運動,若將點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到點,記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若稱封閉曲線上任意兩點距離的最大值為該曲線的“直徑”,求曲線的“直徑”.【答案】（1）答案見解析 （2）.【解析】(1)設(shè),則,由題意可知當(dāng)在直徑上時,顯然;當(dāng)在半圓上時,即可求得答

19、案;(2)設(shè)曲線上兩動點,顯然,至少有一點在橢圓上時才能取得最大,不妨設(shè),根據(jù)不等式性質(zhì),即可求得曲線的“直徑”.【詳解】(1)設(shè),則,由題意可知當(dāng)在直徑上時,顯然;當(dāng)在半圓上時, 曲線的方程為或.(2)設(shè)曲線上兩動點,顯然,至少有一點在橢圓上時才能取得最大,不妨設(shè),則,等號成立時:,或,由兩點距離公式可得:,故曲線的“直徑”為.【點睛】本題考查了求解曲線軌跡方程和曲線的“直徑”.在求曲線上兩點間距離最大時,將兩點設(shè)出,用兩點間距離列出表達(dá)式,通過不等式放縮求其最值,考查了分析能力和計算能力.20某地政府為了幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民脫貧致富,開發(fā)了一種新型水果類食品,該食品生產(chǎn)成本為每件8元.當(dāng)天生產(chǎn)當(dāng)天

20、銷售時,銷售價為每件12元,當(dāng)天未賣出的則只能賣給水果罐頭廠,每件只能賣5元.每天的銷售量與當(dāng)天的氣溫有關(guān),根據(jù)市場調(diào)查,若氣溫不低于,則銷售5000件;若氣溫位于,則銷售3500件;若氣溫低于,則銷售2000件.為制定今年8月份的生產(chǎn)計劃,統(tǒng)計了前三年8月份的氣溫范圍數(shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表:氣溫范圍(單位:)天數(shù)414362115以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率.(1)求今年8月份這種食品一天銷售量(單位:件)的分布列和數(shù)學(xué)期望值;(2)設(shè)8月份一天銷售這種食品的利潤為(單位:元),當(dāng)8月份這種食品一天生產(chǎn)量(單位:件)為多少時,的數(shù)學(xué)期望值最大,最大值為多少【答案

21、】（1）見解析，； （2）當(dāng)時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為.【解析】(1)今年8月份這種食品一天的銷量的可能取值為2000、3500、5000件,求出,和,即可求得隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,這種食品一天的需求量至多為5000件,至少為2000件,所以只需要考慮.分別討論,和,即可求得的數(shù)學(xué)期望最大值.【詳解】(1)今年8月份這種食品一天的銷量的可能取值為2000、3500、5000件,于是的分布列為:2000350050000.20.40.4的數(shù)學(xué)期望為.(2)由題意知,這種食品一天的需求量至多為5000件,至少為2000件, 只需要考慮,當(dāng)時,若氣溫不低于30度,則;若

22、氣溫位于,則;若氣溫低于25度,則;此時,當(dāng)時,若氣溫不低于25度,則;若氣溫低于25度,則;此時; 時,的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為.【點睛】本題考查了概率的求法和離散型隨機變量分布列及其數(shù)學(xué)期望,在列分布列時,要弄清隨機變量所滿足的分布列類型,結(jié)合相應(yīng)公式求出事件的概率,進(jìn)而得出概率分布列以及數(shù)學(xué)期望,考查計算能力.21已知函數(shù)為反比例函數(shù),曲線在處的切線方程為.（1）求的解析式;（2）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點的個數(shù),并證明.【答案】（1）； （2）函數(shù)在上有3個零點.【解析】(1)設(shè),則,直線的斜率為,過點,所以,即可求得的解析式;(2)函數(shù)在上有個零點.因為,則,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)合已知條件,即可求得答案.【詳解】(1)設(shè),則,直線的斜率為,過點,則, .(2)函數(shù)在上有個零點.證明:則又 在上至少有一個零點,又在上單調(diào)遞減,故在上只有一個零點,當(dāng)時,故,所以函數(shù)在上無零點.當(dāng)時,令, 在上單調(diào)遞增, ,使得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又,函數(shù)在上有2個零點.綜上所述,函數(shù)在上有3個零點.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程和求解函數(shù)的零點個數(shù),其中解答中準(zhǔn)確求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),合理利