導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用課件

1、第二章 導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用17 七月 20222大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過(guò)來(lái)廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。 微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期。早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國(guó)莊子的天下篇中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為九間算術(shù)作注時(shí)提出了 “ 割圓術(shù) ” ，用正多邊形來(lái)逼近圓周。這是極限論思想的成功運(yùn)用。 積分概念是由求某些面積、體積和弧長(zhǎng)引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在拋物線求積法中用究竭法求出拋物線弓形的面積，沒(méi)有用極

2、限，是 “ 有限 ” 開工的窮竭法。微積分的創(chuàng)始人是牛頓和萊布尼茨。 解析幾何為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ) 。17 七月 20223大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié) 函 數(shù)區(qū)間一、預(yù)備知識(shí)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab開區(qū)間 ： 滿足不等式 axb一切實(shí)數(shù)的全 體。閉區(qū)間 ： 滿足不等式 axb的一切實(shí)數(shù)的 全體。 半開區(qū)間 ：滿足不等式 axb的一切實(shí)數(shù)的 全體。 ：a x b17 七月 20224大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)表示全體實(shí)數(shù)，或?qū)懗?x ；表示大于a的全體實(shí)數(shù)，或?qū)懗蒩 x +；表示小于a的全體實(shí)數(shù)，或?qū)懗?x a；表示 a x +；表示N的一切an，有不等式 | an a| 稱數(shù)列an以有限數(shù)a為極限，常數(shù)a叫作

3、數(shù)列an當(dāng)n時(shí)的極限。或稱數(shù)列an收斂到a，記作17 七月 202217大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)、單調(diào)數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱單調(diào)數(shù)列。 (3)、有界數(shù)列對(duì)于數(shù)列an，如果存在正數(shù)M，使得數(shù)列中的每一項(xiàng)an(n=1,2,3,)都滿足不等式-M an0，總存在一個(gè)0，0|x-x0|時(shí)，有 | f(x)-A|0，作直線 y=A+，y=A-,這兩條直線形成一橫條區(qū)域. 對(duì)于這個(gè),存在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域(x0-，x0+)，當(dāng)x(x0-，x0+)但xx0時(shí)，有不等式：點(diǎn)（x, f(x)）落在上面所做的一橫條區(qū)域內(nèi)。17 七月 202226大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202227大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 20

4、2228大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、當(dāng)x時(shí)函數(shù)f(x)的極限17 七月 202229大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解17 七月 202230大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 、 極限的四則運(yùn)算法則當(dāng)x 時(shí)，性質(zhì)也成立。17 七月 202231大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)列極限四則運(yùn)算也有類似的定理:17 七月 202232大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202233大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所以 解 注意到17 七月 202234大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分母的極限不為零。解17 七月 202235大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 4、兩個(gè)重要極限17 七月 202236大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解因此17 七月 202237大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解17 七月 202238大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解先用x去除分母及分子，然后取極限.17 七月 20

5、2239大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解17 七月 202240大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)5、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量 、無(wú)窮小量例如一個(gè)函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以0為極限，稱該函數(shù)為當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小量。17 七月 202241大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ).定理無(wú)窮小量階 17 七月 202242大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202243大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下面是幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮?。?17 七月 202244大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、無(wú)窮大量17 七月 202245大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202246大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第三節(jié) 連 續(xù)1、連續(xù)的定義17 七月 202247大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202248大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)區(qū)間連續(xù)的定義17 七月 202249大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)

6、的曲線。 17 七月 202250大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202251大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、初等函數(shù)的連續(xù)性定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù)。定理 初等函數(shù)在定義域上的區(qū)間上連續(xù)。17 七月 202252大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解17 七月 202253大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有界。17 七月 202254最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有最大值和最小值即：大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202255大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202256大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202257大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)證明 17 七月 202258大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如果記f(x

7、)在閉區(qū)間a, b上的最的大值為M，最小值為m, 且mcM，那么存在一點(diǎn)a, b使得 f()=c。17 七月 202259大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202260大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四節(jié) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念 兩個(gè)例子 (1)、切線問(wèn)題設(shè)A點(diǎn)是曲線c上的一點(diǎn)。如何確定曲線c在A點(diǎn)的切線AT呢？ 17 七月 202261大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202262大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)、瞬時(shí)速度 設(shè)物體A沿著一條直線運(yùn)動(dòng)，我們用s=s(t)表示t時(shí)刻物體A離開初始位置的距離。求A在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t0) ？17 七月 202263大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、定義存在，則稱這個(gè)極限為函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并稱函

8、數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)或有導(dǎo)數(shù)。(點(diǎn)導(dǎo)數(shù))17 七月 202264大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如果這個(gè)極限不存在，就稱函數(shù)f(x)在x0處不可導(dǎo) 。解：17 七月 202265大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202266大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、定義(區(qū)間導(dǎo)數(shù))17 七月 202267大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)函數(shù)的定義式為17 七月 202268大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：17 七月 202269大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3、 基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則基本求導(dǎo)公式17 七月 202270大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 17 七月 202271大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：解：17 七月 202272大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：17 七月 202273大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則鏈鎖法則 17

9、 七月 202274大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：將函數(shù)分解的兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) ， 根據(jù)鏈鎖法則，有17 七月 202275大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：將函數(shù)分解的兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) ， 根據(jù)鏈鎖法則，有17 七月 202276大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4、高階導(dǎo)數(shù) 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù) 17 七月 202277大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 再求一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二階是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 17 七月 202278大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202279大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第五節(jié) 函數(shù)的微分一、微分的概念 1.定義 設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則 稱為函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x處的微分，記作dy，即：dy= 。 微分的表達(dá)式2.定理：可導(dǎo)函數(shù)一定

10、可微，可微函數(shù)一定可導(dǎo)。17 七月 202280大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、微分的幾何意義xyOxAT是曲線y=f(x)上點(diǎn)A處的切線。其中 是切線AT和x軸正方向的夾角。當(dāng)自變量從x變到x+dx時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線的改變量是TC=dy。這就是微分的幾何意義。17 七月 202281大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：因?yàn)樗?7 七月 202282大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三、 基本微分公式17 七月 202283大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)四、 微分的運(yùn)算17 七月 202284大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：用函數(shù)乘積的微分法則， 17 七月 202285大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202286大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第六節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP17 七月 202287大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202288大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、洛必塔法則 17 七月 202289大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：因?yàn)樗?7 七月 202290大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)17 七月 202291大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：因?yàn)樗?7 七月 202292大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三、函數(shù)的單調(diào)性17 七月 202293大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：17 七月 202294大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)四、函數(shù)的極值函數(shù)的極大值和極小值都稱為函數(shù)的極值，函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)都稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。 17 七月 202295大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)稱使 為零的點(diǎn)為函數(shù)的