08-09I概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷(A)參考答案

1、|名|姓裝|號學訂|：|級|班線|號|序卷|試|防災(zāi)科技學院20082009 學年第一學期期末考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷 （A）使用班級 07601/ 07602/07103答題時間 120 分鐘題號一二三四五總分得分一閱卷教師填空題（每題2 分，共 20 分）得分1、已知事件A ， B 有概率 P(A)0.4 ，條件概率 P(B | A)0.3，則 P( AB)0.28；2、設(shè) X b(n1 , p) ， Y b( n2 , p) 則 XY b(n1n2 , p) ；3、若X(2) ，則 E(X 2)6；0,x10.6,1x13)4 、 隨 機 變 量 X 的 分布 函數(shù) 是 F (x)x 3

2、，則P( 1 X0.8, 11,3x0.4 ；5、連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為f (x)ex , x00) ，則分布函數(shù)0 x(0為 F ( x)1ex , x 0 ；0 x 06、若 X N(0,1),Y N(0,1) 且 X 與 Y 相互獨立，則X( X 2 t(2) ；Y2)/27、若隨機變量 X ， E(X ) 2, D(X )1，則利用切比雪夫不等式估計概率P X238；98、若總體 X N( ,2 ) ，則樣本方差的期望 E( S2 )2；9、設(shè)隨機變量X1, X0,Y01U( 1,2)，令 Y，則 Y 的分布律為12；0, X0.pk3310、已知燈泡壽命XN(,1002 )

3、，今抽取25 只燈泡進行壽命測試，得樣本x1200 小時，則的置信度為 95%的置信區(qū)間是(1160.8,1239.2)（ z0.0251.96）。閱卷教師二、單項選擇題（本大題共5 小題，每題 2 分，共 10 分）得分1、若 P( A)0.5, P(B)0.4,P( A B) 0.6，則 P(B A) （ C ）(A)0.2 ；(B) 0.45 ；(C)0.6；(D) 0.75；2、設(shè)離散型隨機變量X 的分布律為 P Xkk， k1,2, 且0 ，則參數(shù)（C）（ A）1；（B）1；（C）1；（ D）不能確定 ；113、設(shè)隨機變量 X 和 Y 不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是（B ）（A） X

4、與Y 獨立；（B） D( X2Y)D(X) 4D(Y) ；（C） D( X2Y)D(X ) 2D(Y)； （D） D(X2Y)D(Y)4D(X ) ；4、若 X N (0,1) ，則 P(| X |2) =（A ）（A ） 21(2) ；（B） 2(2)1；（C） 2(2) ；（D）1 2(2)；5、下列不是評價估計量三個常用標準的是（D ）(A) 無偏性；( B) 有效性；(C) 相合性；(D ) 正態(tài)性 。1三閱卷教師（本大題共 4 小題，每題 8 分，共 32 分。）得分1、金魚的主人外出，委托朋友換水，設(shè)已知如果不換水，金魚死去的概率為0.8，若換水，則金魚死去的概率為 0.15。有

5、0.9 的把握確定朋友會記得換水。問：（ 1）主人回來金魚還活著的概率？（ 2）若主人回來金魚已經(jīng)死去，則朋友忘記換水的概率為多大？解：設(shè) A 表示“朋友換水”， B 表示“金魚還活著” ，則 P( A)0.9 ， P( A)0.1 ，P(B A) 1 0.15 0.85， P( B A)0.15， P(B A)0.2 ， P(B A) 0.8，（ 1）由全概率公式 P( B) P( A) P(B A)P(A)P(B A)=0.90.85+0.10.2=0.785；,（5 分）P( A)P(B A)0.1 0.80.372093 , （8 分）（ 2）由貝葉斯公式 P( A B)P(B)1 0

6、.7852、二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合分布律為X01Y100.10.10.210.20.30.1（ 1）求 X,Y 的邊緣分布律；（2）求 P( XY1) ；（3） X,Y 是否相互獨立。解：（ ）P(X1) 0.1 0.20.3，P X00.30.10.4，1P X10.20.10.3，PY00.10.10.20.4 ，P Y10.20.30.1 0.6 。,（4 分）（2） P(XY 1)P X0,Y1P X1,Y0 0.5 ,（7 分）（ 3）因為 P X0, Y00.1P X0PY0 ， X,Y 不相互獨立。3、設(shè) X 和 Y 是相互獨立的隨機變量，X 在 (0,1) 上服從均勻分

7、布， Y 的概率密度函數(shù)為yf Y ( y)1 e 2 , y0,20,y0.求（ 1） X 和 Y 的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（ 2）設(shè)含有 a 的二次方程a22 XaY0 ，求 a 有實根的概率( 已知(1) 0.8 4 1 3， (2) 0.9772,(0)0.5000 ，22.5066根據(jù)需要選用 )。解： X 的概率密度函數(shù)為 f X (x)1,0 x1,其它（1）因為 X 和 Y 是兩個相互0,.獨立的隨機變量，所以 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為1ye2,0 x 1, y0, ,（f (x, y) f X ( x) fY ( y)23 分）0,其它 .（ 2 ）二 次 方 程 a 2

8、2XaY0 有 實 根的 充 要 條 件為 4 X 24Y0 ， 即X 2Y0 ，所求概率為yx2x2x21yP X2Y01e 2 dy1dx1dx2e 21 e 2 dx000001x2。,（8 分）120 21e 2 dx12(1)(0)12.5022(0.84130.5000)0.14454、已知某種型號電子器件的壽命X (以小時計 )的概率密度函數(shù)為100f ( x)x 2, x100,0,x100.（1）求 X 的分布函數(shù) F (x). （2）現(xiàn)有一大批此種器件 (設(shè)各器件損壞與否相互獨立 )，任取 10 只，以 Y 表示壽命大于150 小時的器件的只數(shù)，求 Y 的分布律。解：（1）

9、因為 當時， ()x100時，x10000 ， 當 xF xdx100 x100100 x100，F(xiàn) (x)0dx100 x 2 dxx 1001x2所以 F ( x)1 100 , x 100, （4分）x0,x100.（2）因為任意一只器件壽命X 大于 150 小時的概率為 p1 F (150)2 ，23又各器件損壞與否相互獨立，所以Y 服從 b(10,) ，概率分布律為310k10kP X k21, k 0,1,2,10.,（8 分）k33四、閱卷教師（本大題共2 小題，每小題8 分，共 16 分）得分1、二維隨機變量(X,Y)的具有聯(lián)合概率密度函數(shù)1,y x,0 x1f (x, y)其

10、它 .0,求 E( X ), E(Y), Cov ( X , Y) .解： E(X)1x12,2 分）dxxdy2 x 2 dx（0 x03E(Y)1x,4 分）dxydy 0（0 xE(XY)1xxydy 0,6 分）dx（0 xCov( X , Y)E(XY) E(X )E(Y)0,（8 分）2、設(shè)隨機變量 X1,X2,X3相互獨立且都服從 (0,1)上的均勻分布，求U max X 1, X 2 , X 3 和 Vmin X1 , X 2 , X 3 的數(shù)學期望。，0,，1.0 x解：因為 X 1 , X 2 , X 3 的密度均為 f (x)1 0 x0, 其它, F ( x)x, 0

11、x 1.1, x1.所以（ 1）0, u0,FU (u)PU uP X1u, X 2u, X 3u(F (u) 3u3 ,0u1, ,（2 分）1, u1.fU (u)F U (u)3u 2 ,0u1,的數(shù)學期望 E(U )ufU (u)du0, 其它.，隨機變量 U13 . ,u 3u2 du（4 分）040, u0,(2) FV (v) PVv1(1F (u) 31 (1u) 3 ,0u1,（6 分）1,u1.fV (v)F V (v)3(1u) 2 ,0u1,0,其它.所以隨機變量 V 的數(shù)學期望 E(V )13(1v) 2 dv1 ,（8 分）vf V (v)duv04五、（共 3 小

12、題，共 22 分）有一批梧桐樹苗， 其中 90%的高度不低閱卷教師1（本小題 7 分）：得分于 3 米?，F(xiàn)從樹苗中隨機地取出300 株，問其中至少有30 株低于 3 米的概率。（已知 (0)0.5000,(2.5)0.9772,(3)0.9987 ，根據(jù)需要選用。）解：因為樹苗中 90%的高度不低于3 米，所以其低于 3 米的概率為0.1，設(shè) X 為300 株樹苗中高度低于3 米的株數(shù)，則 X b(300,0.1) ，其分布律為P X k300k ， k 0,1,300. E( X )30 ，D(X ) 27，,（3分）0.1k 0.9300k用棣莫佛 -拉普拉斯定理，P X 301 PX30

13、1P X303030,（7 分）27271(0)10.50000.500032、（本小題 8 分）：設(shè)隨機變量X 具有分布律X12322(1 ) (1)2pk其中 （0）為未知參數(shù)。已知取得了樣本值x1 1, x21, x32，求 的1矩估計量和極大似然估計量。解： E(X)1222(1)3(1) 232，樣本均值 x1124 ，4 ，得533令 3 2的矩估計值為 ?,（4 分）36似然函數(shù)為 L ()222 (1)25 (1) ，對數(shù)似然函數(shù)為ln L ()ln 25 lnln(1)，似然方程為d ln L ()510，得的最大似然估計值為 ?5。, （8 分）d163、（本小題 7 分）某批礦砂的 5 個樣品中的金含量，測定結(jié)果為x3.252 ，s 0.002 ，再假設(shè)測定總體服從正態(tài)分布，但參數(shù)均未知。 問在0.01下能否接受假設(shè)：這批礦砂的金含 量均值為3.25 。（已 知 t 0.005 (4)4.6041 ，t0.005 (5)4.0322 ，52.236 根據(jù)需要選用）。解：測定值 X N(,2 ) ，,2 均未知，關(guān)于均值的假設(shè)檢驗，用 t 檢驗法。提出假設(shè)： H 0:3.25