天津理工大學(xué)大學(xué)物理機(jī)械波

1、機(jī)械波泰印1一 機(jī)械波產(chǎn)生的條件 縱波與橫波在彈性體內(nèi)部，任一質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置時(shí)將產(chǎn)生使它回到平衡位置的力與一彈簧振子類似質(zhì)點(diǎn)就會在平衡位置附近振動起來與此同時(shí)這質(zhì)點(diǎn)將給相鄰部分以作用力，因而使相鄰部分的質(zhì)點(diǎn)也離開平衡位置振動起來。依靠彈性力的作用振動從一處逐漸傳播出去這種機(jī)械振動的傳播過程就形成了機(jī)械波這樣的彈性體我們稱其為彈性媒質(zhì)2例如電話聽筒內(nèi)膜片在空氣中的振動機(jī)械波產(chǎn)生的條件：首先要有作機(jī)械振動的物體作為波源其次要有能夠傳播這種機(jī)械振動的彈性媒質(zhì) 電話聽筒內(nèi)膜片就是波源，而空氣就是傳播聲波的彈性媒質(zhì)。聲波、超聲波、水面波以及地震波等都是機(jī)械波。3 波動只是振動狀態(tài)的傳播。振動傳播時(shí)，每

2、個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在一定的平衡位置附近振動，并沒有沿著傳播方向的流動，而且質(zhì)點(diǎn)的振動方向和波的傳播方向也不一定相同。 振動方向和傳播方向相同的波稱為縱波，在空氣中或液體中傳播的聲或超聲就是縱波； 特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的振動方向與波傳播方向一致4 如果振動方向和傳播方向垂直，這種波就是橫波。用手抖動繩子一端時(shí)，繩子上產(chǎn)生的波就是橫波。特點(diǎn)： 波傳播方向上各點(diǎn)的振動方向與波傳播方向垂直5 振動在一周期中傳播的距離為波長，通常用表示。 因?yàn)橄喔粢恢芷诤笳駝訝顟B(tài)復(fù)原，所以相隔一波長兩點(diǎn)之間的振動狀態(tài)是相同的，即振動位相相同。因此波長也就是兩個(gè)相鄰近的振動位相相同的點(diǎn)之間的距離。二 波長、頻率、波速之間的關(guān)系縱波波長兩相鄰

3、密集或相鄰稀疏中心間的距離橫波波長兩相鄰波峰或波谷間的距離 沿波的傳播方向每隔一個(gè)波長的距離就出現(xiàn)振動位相相同的點(diǎn)，即波長描述了波在空間上的周期性。6單位時(shí)間內(nèi)振動所傳播的距離以一周期內(nèi)振動的次數(shù)，即以頻率代替T，則有 此為波長、頻率和波速u之間的最基本的關(guān)系式。知道其中任意兩個(gè)量就可以求出另外一個(gè)量。波長表示了波在空間上的周期性，而頻率表示了波在時(shí)間上的周期性。波在空間上及時(shí)間上的周期性就以上面的關(guān)系聯(lián)系了起來。請記住 波速實(shí)際上就是一定的振動狀態(tài)即振動位相的傳播速度（相速度）。由于波長是波一周期內(nèi)一定位相傳播的距離，所以波速波速7 最簡單、最基本的波。由于一切復(fù)雜的振動都可以看成是由若干個(gè)

4、簡諧振動合成起來的，因此一切復(fù)雜的波也可看成是由簡諧波合成起來的。 用數(shù)學(xué)的形式去描述簡諧波，寫出以速度u沿x方向傳播的簡諧波的表達(dá)式。 如圖，用0 x表示波傳播的方向，縱坐標(biāo)y表示直線0 x上各點(diǎn)的位移。若能知道每一時(shí)刻直線上每一點(diǎn)的位移y，就掌握了波的全部過程，也就達(dá)到了描述波的目的。因此可求任一時(shí)刻 t 距離0點(diǎn)為x的任一點(diǎn)P的位移。四 簡諧波簡諧振動的傳播所構(gòu)成的波8設(shè)在x=0處任一點(diǎn)0的振動方程為并設(shè)在傳播過程中各點(diǎn)振動的振幅不變。當(dāng)振動傳到P點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)將重復(fù)0點(diǎn)的振動，振幅相同、頻率相同。9因此任一點(diǎn)P在任一時(shí)刻 t 的位移為簡諧波的表達(dá)式一定的位相由0點(diǎn)傳到P點(diǎn)所需的時(shí)間所以在同

5、一時(shí)刻 t，P點(diǎn)的位相比0點(diǎn)落后在 t 時(shí)刻P點(diǎn)的位相應(yīng)等于0點(diǎn)在時(shí)刻 tx/u的位相0點(diǎn)的位相10根據(jù)及上式還可以寫成請記住11波線上各點(diǎn)的簡諧運(yùn)動圖12 如固定在某一點(diǎn)看，即當(dāng)x一定時(shí)，由右式可知該點(diǎn)在作圓頻率為的簡諧振動， 因此離0點(diǎn)不同距離的各點(diǎn)具有不同的振動位相。和0點(diǎn)相距分別為x1和x2的兩點(diǎn)位相差為振動的初位相為13如果則 這時(shí)上述結(jié)果說明相距為波長整數(shù)倍的兩點(diǎn)振動具有相同的位相。 在任一時(shí)刻t，兩點(diǎn)的位移y和速度u都是相同的，我們就說這兩點(diǎn)的振動位相相同。14如果則 由此可見，相距為半波長奇數(shù)倍的兩點(diǎn)振動時(shí)具有相反的位相。 在任一時(shí)刻 t，兩點(diǎn)的位移y和速度u都具有相同的數(shù)值，

6、但符號卻相反。我們說這兩點(diǎn)的振動位相相反。15 對于給定的時(shí)間 t 來說，位移 y 是 x 的函數(shù)，即各點(diǎn)對平衡位置的位移是不相同的。yxtt+tvt0在下一時(shí)刻 t+t，各點(diǎn)位移發(fā)生變化，y 和 x 的關(guān)系由于中藍(lán)線所示。圖中紅線表示位移 y 隨 x 而變的關(guān)系 可看到波形向前傳播，傳播的速度等于波的相速度。16 在導(dǎo)出簡諧波的表達(dá)式時(shí)，我們假定波沿x軸的正向傳播。如果波是沿x軸的負(fù)向傳播，則圖中P點(diǎn)的振動比0點(diǎn)早開始一段時(shí)間，即當(dāng)0點(diǎn)振動t秒時(shí)，P點(diǎn)已振動（t+x/u）秒。所以P點(diǎn)的振動方程為 在導(dǎo)出簡諧波的表達(dá)式時(shí)，我們還假定振幅A在傳播過程中不變，以后我們會看到，這只有在平面波的情形下

7、才是正確的。17波動方程波沿x軸負(fù)向傳播波長、頻率和波速u之間的關(guān)系式18如果兩點(diǎn)振動位相相同振動位相相反 上述結(jié)果說明相距為波長整數(shù)倍的兩點(diǎn)振動具有相同的位相，相距為半波長奇數(shù)倍的兩點(diǎn)振動時(shí)具有相反的位相。19波動方程20-振動在一周期中傳播的距離為波長 因?yàn)橄喔粢恢芷诤笳駝訝顟B(tài)復(fù)原，所以相隔一波長兩點(diǎn)之間的振動狀態(tài)是相同的，即振動位相相同。因此波長也就是兩個(gè)相鄰近的振動位相相同的點(diǎn)之間的距離。縱波波長兩相鄰密集或相鄰稀疏中心間的距離橫波波長兩相鄰波峰或波谷間的距離單位時(shí)間內(nèi)振動所傳播的距離波速21一選擇題： B1.已知一平面簡諧波的波動表達(dá)式為則（A）其波速為3 m/s （B）其波速為1/

8、3 m/s（C）其頻率為Hz （D）其頻率為1.5Hz。22二. 填空題1.已知一簡諧波的波動方程為y=5cos(t+4x+/2)(SI)，可知該簡諧波的傳播方向?yàn)開，其振幅為_，周期為_，波長為_，波速為_。沿x負(fù)方向傳播232.已知一簡諧波在介質(zhì)A中的傳播速度為u，若該簡諧波進(jìn)入介質(zhì)B時(shí)，波長變?yōu)樵诮橘|(zhì)A中的波長的兩倍，則該簡諧波在介質(zhì)B中的傳播速度為_。2u243.一簡諧波的波形曲線如圖所示，若已知該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A向上運(yùn)動，則該簡諧波的傳播方向?yàn)開，B、C、D質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的運(yùn)動方向?yàn)锽_，C_，D_。D0ByxCAD0ByxCAuD0ByxCAuB點(diǎn)向上、C點(diǎn)向下、D點(diǎn)向上運(yùn)動向右（x軸正方

9、向）傳播252.一平面簡諧波的波形曲線如圖所示，則（A）其周期為8s （B）其波長為10m（C）x=6m的質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動 （D）x=6m的質(zhì)點(diǎn)向下運(yùn)動。 D周期未知x(m)y(m)010-2262x=6m時(shí)質(zhì)點(diǎn)向下運(yùn)動26x(m)y(m)010-22623.如果上題中的波速為u=10m/s，則其頻率為(A)1.25Hz (B)1Hz(C)0.8Hz (D)條件不夠，無法求解。已知 A274.有一平面簡諧波沿0 x軸的正方向傳播，已知其周期為0.5s，振幅為1m，波長為2m，且在t=0時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于負(fù)的最大位移處，則該簡諧波的振動方程為0 x=A C285.一沿0 x軸負(fù)方向傳播的平面簡諧

10、波在t=T/4時(shí)的波形曲線如圖所示，則原點(diǎn)0處質(zhì)點(diǎn)振動的初相為(A)0 (B)/2 (C) (D)3/2 Cyx00 x=A或?qū)⑶€向傳播方向移動1/4周期。296.圖為一平面簡諧波在t=T/4時(shí)的波形圖，則P點(diǎn)處的振動方程應(yīng)為 A0 x(m)y(m)4u=20m/s-2py0/2308.一平面簡諧波沿x軸負(fù)方向傳播，其波長為，則位于x1=的質(zhì)點(diǎn)的振動與位于x2= -/2的質(zhì)點(diǎn)的振動相位差為 B316.已知一平面簡諧波的波動方程為y=7cos(3t-5x)(SI)，則在x1=-3m處的質(zhì)點(diǎn)的振動方程為_，它與在x2=4m處的質(zhì)點(diǎn)的振動相位差為_。325.一平面簡諧波在t=t0時(shí)的波形曲線如圖所

11、示，其波速為u，周期為T，則原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動方程為_；該簡諧波的波動方程為_。u0t=t0yxA0y原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動方程波動方程33 波是能量的傳播過程，在研究波對物質(zhì)的作用時(shí)，經(jīng)常要考慮波傳播過程中能量的傳播。這是由于它與周圍相鄰部分有相互作用，進(jìn)行著能量交換。六 波的能量 能流密度彈性媒質(zhì)中各質(zhì)元在平衡位置附近振動由于彈性媒質(zhì)發(fā)生形變具有一定的動能具有彈性勢能對一部分媒質(zhì)來說，能量是不守恒的xxs34AByx動能最大時(shí)勢能也最大研究某一時(shí)刻各點(diǎn)的位移 橫坐標(biāo) x 表示質(zhì)點(diǎn)離波源 0 的距離；縱坐標(biāo) y 表示質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移，則在某一時(shí)刻各點(diǎn)的位移 x 和 y 的關(guān)系為一余弦曲線。 可

12、看出，當(dāng)質(zhì)元A離開平衡位置的位移最大時(shí)（A點(diǎn)），速度為零，動能為零。35AByx 與孤立質(zhì)點(diǎn)的情形不同，這時(shí)勢能不是決定于它離開平衡位置的位移，而是決定于它的相對形變dy/dx。雖然此時(shí)質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移最大，但鄰近各點(diǎn)也沿同一方向發(fā)生了位移，結(jié)果相對形變卻為零，即A處質(zhì)元沒有發(fā)生形變。 其實(shí)dy/dx就代表了曲線上任一點(diǎn)的斜率，A點(diǎn)的斜率為零則勢能為零，所以動能為零時(shí)勢能也為零。從圖中還可以看出，在同一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)B通過平衡位置，速度最大因而動能最大。雖然B點(diǎn)位移為零，但在左方的點(diǎn)發(fā)生了正方向的位移，右方的點(diǎn)發(fā)生了負(fù)方向的位移，結(jié)果相對形變卻為最大（此點(diǎn)斜率最大，因此dy/dx最大），可見動

13、能最大時(shí)勢能也最大。36例5 一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播，在某一瞬時(shí)，媒質(zhì)中某質(zhì)元正處于平衡位置，此時(shí)它的能量是（A）動能為零，勢能最大。 （B）動能為零，勢能為零。 （C）動能最大，勢能最大。 （D）動能最大，勢能為零。xy0AB x表示質(zhì)元離開波源的距離，y表示質(zhì)元離開平衡位置的位移，對A點(diǎn)來說位移最大，速度為零，動能為零，雖位移最大，但相鄰各點(diǎn)發(fā)生同方向的位移，結(jié)果相對形變?yōu)榱?，而勢能決定于相對形變，故A處勢能為零。 對B點(diǎn)來說，速度最大，動能最大；B點(diǎn)位移為零，但左方的點(diǎn)發(fā)生正方向的位移，右方的點(diǎn)發(fā)生了負(fù)方向的位移，相對形變最大，或斜率最大，（dy/dx最大），因此勢能也最大。 C3

14、710.一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播，研究其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，下列說法正確的是(A)若該質(zhì)點(diǎn)位于負(fù)的最大位移處，其動能為零，勢能最大(B)該質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能總是守恒的(C)該質(zhì)點(diǎn)在最大位移處的勢能最大，在平衡位置的勢能最小(D)該質(zhì)點(diǎn)的動能和勢能總是相等。 D在任一時(shí)刻，動能和勢能都相等，同時(shí)達(dá)到最大值或最小值。若該質(zhì)點(diǎn)位于負(fù)的最大位移處，其動能為零，勢能亦為零。機(jī)械能總是不守恒在最大位移處的勢能為零，在平衡位置的勢能最大。38 大量事實(shí)說明，從幾個(gè)波源產(chǎn)生的波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，無論相遇與否都保持自己原有的特性，如頻率、波長、振動方向等，按照自己原來的傳播方向繼續(xù)前進(jìn)，不受其它波的影響。因此在相遇處各

15、點(diǎn)的位移是各波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的位移的矢量和。此即波的疊加原理。八 波的疊加與干涉 駐波39 波的疊加原理可從許多現(xiàn)象中觀察到。如水中以兩石塊落下處為中心而發(fā)出的圓形波，彼此穿過而又離開后仍是正圓形的，并仍以石塊落下處為圓心；樂隊(duì)演奏樂曲時(shí)，各種樂器的聲音保持各自原有的特色，因而能夠從中分辨出來。 可看到，幾列波在介質(zhì)中同時(shí)傳播時(shí)，各波在重疊處都按原來的方式引起相應(yīng)的振動，而質(zhì)點(diǎn)的振動就是這些振動的合振動。如果各波的振動頻率不同，振動方向不同，則在重疊處引起的振動是很復(fù)雜的。40 實(shí)際上最重要的是兩波源的頻率相同、振動方向相同、位相相同或有固定位相差的特殊情形。這時(shí)在重疊處，兩列簡諧波所

16、引起的簡諧振動具有相同的振動方向、相同的頻率，且彼此之間有固定的位相差，因此合成后仍為一簡諧振動，振幅則視位相差而定。位相相同的地方振幅最大，位相相反的地方振幅最小。這種在兩波重疊處有些地方振動加強(qiáng)，而在另一些地方振動減弱或完全抵消的現(xiàn)象，稱為干涉現(xiàn)象。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列波稱為相干波，波源則稱為相干波源。41 具體分析一下干涉現(xiàn)象。設(shè)有兩個(gè)相干波源S1和S2 ，其振動方程分別為s2s1pr1r2 據(jù)相干波源的條件，可知兩列波的位相差21恒定。從這兩波源發(fā)出的波在空間相遇時(shí)，P處質(zhì)點(diǎn)的振動可按疊加原理計(jì)算。設(shè)P點(diǎn)離開S1和S2的距離分別為r1和r2 ，兩列波波長為，那么P點(diǎn)的兩個(gè)分振動為424

17、3而合振動為其中兩相干波在空間任一點(diǎn)所引起的兩個(gè)振動的位相差這是一個(gè)恒量，可知任一點(diǎn)的振幅A也是一個(gè)恒量。s2s1pr1r244s2s1pr1r2若符合下述條件則空間各點(diǎn)合振幅為最大。此時(shí)空間各點(diǎn)合振幅最小。對于同位相相干波源，應(yīng)有1=2 ，則上述條件簡化為45或 是從波源發(fā)出的兩列相干波到達(dá)P點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過的路程之差。所以上兩式說明，兩相干波源為同位相時(shí)，在兩列波的疊加區(qū)域內(nèi)，在波程差等于零或波長的整數(shù)倍的各點(diǎn)振幅最大；在波程差等于半波長的奇數(shù)倍的各點(diǎn)振幅最小。請記住加強(qiáng)減弱46演示實(shí)驗(yàn)：弦線上的駐波 駐波是干涉的特例。當(dāng)頻率與繩長調(diào)整適當(dāng)，繩上分段振動，某些點(diǎn)振幅很大，某些點(diǎn)幾乎不動，稱為駐波

18、。駐波的特點(diǎn)不是振動的傳播而是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作穩(wěn)定的振動。駐波 所謂駐波，是由振幅相同、頻率相同、振動方向相同而相向傳播的兩列波相疊加而成的。4748設(shè)沿X軸正方向和負(fù)方向傳播的兩列相干波的表達(dá)式為在兩波重疊出各點(diǎn)的位移為兩波引起的位移的合成，即此式由三角函數(shù)的和差與積之間的關(guān)系而來由上式可見，坐標(biāo)為X的點(diǎn)在作振幅為頻率為的簡諧振動。因此各點(diǎn)都在作同樣頻率的簡諧振動，但具有不同的振幅。49 滿足cos(2x/)=0的點(diǎn)，振幅為零，這些點(diǎn)始終靜止不動，稱為波節(jié)；兩列波在這些點(diǎn)上引起的振動具有相同的位相，因而疊加后振幅最大，等于2A。兩列波在這些點(diǎn)上引起的振動具有相反的位相，因而疊加后振幅為零；波

19、節(jié)波腹 滿足|cos(2x/) |=1的點(diǎn)，振幅最大，等于2A,這些點(diǎn)的振動最強(qiáng)，稱為波腹。50求波腹和波節(jié)的坐標(biāo)波腹得出決定波腹位置的條件為波節(jié)得出決定波節(jié)位置的條件為四分之一波長的偶數(shù)倍四分之一波長的奇數(shù)倍51波腹波節(jié)由測得波節(jié)與波節(jié)或波腹與波腹之間的距離就可確定兩列波的波長兩相鄰波節(jié)或兩相鄰波腹之間的距離都是半波長波節(jié)與兩相鄰波腹之間的距離為四分之一波長52測定波長演示實(shí)驗(yàn)：弦線上的駐波53 駐波的相位 因子cos2x/在波節(jié)的兩旁具有相反的符號，在波節(jié)之間具有相同的符號。若cos2x/為正，則在兩波節(jié)之間的各點(diǎn)都具有相同的振動位相2t，而波節(jié)兩旁的點(diǎn)則具有相反的振動位相。由見兩波節(jié)之間

20、的各點(diǎn)同時(shí)沿同方向達(dá)到最大值，又同時(shí)沿同一方向通過平衡位置。使cos(2x/)為正的點(diǎn)，相位為2t;使cos(2x/)為負(fù)的點(diǎn)，相位為2t+。如圖，波在每一瞬間都有一定的波形，但這波形是固定不動的，只是各點(diǎn)的位移變化大小而已，因此才稱之為駐波。54駐波的能量 由于波腹處質(zhì)元的速度最大，動能最大，而在波節(jié)處，各質(zhì)元的速度為零，動能為零因此動能集中在波腹附近。 當(dāng)各質(zhì)元的位移都同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，各質(zhì)元動能都為零（速度為零），全部能量都是勢能（位移最大）。 由于波節(jié)附近相對形變最大，勢能最大，而在波腹處相對形變?yōu)榱?，勢能為零，因此勢能集中在波?jié)附近。 當(dāng)各質(zhì)元都同時(shí)通過平衡位置時(shí)，各質(zhì)元的相對形變都

21、為零，即勢能為零，全部能量都是動能。55駐波的能量 因此駐波無所謂傳播方向，不傳播任何能量，實(shí)質(zhì)上這是介質(zhì)的一種特殊的振動形態(tài)，而不是作為能量傳播過程的波。為了區(qū)別一般的波與駐波，往往將前者稱為行波。勢能集中在波節(jié)附近；動能集中在波腹附近。 可見在介質(zhì)振動的過程中動能和勢能不斷轉(zhuǎn)換。在轉(zhuǎn)換過程中能量不斷地從波節(jié)附近集中在波腹附近，再由波腹附近集中到波節(jié)附近。 由于疊加成駐波的兩列波能流密度的數(shù)值相等，方向相反，因而在振動過程中沒有能量沿某一方向傳播，能流密度為零。56 駐波的形成通常是在前進(jìn)波與反射波相干涉的情況下發(fā)生的，例如繩的一端固定，音叉振動時(shí)在固定點(diǎn)產(chǎn)生反射波，入射波與反射波相干涉后就使細(xì)繩上產(chǎn)生駐波，波的反射處是一波節(jié)。 一般情況下反射處是波腹還是波節(jié)與兩種介質(zhì)的密度有關(guān)，密度大的介質(zhì)稱為波密介質(zhì)；密度小的介質(zhì)稱為波疏介質(zhì)。如波從較密的介質(zhì)反射而回到較疏的介質(zhì)時(shí)反射處形成波節(jié)，反之形成波腹。57波密介質(zhì)較大波疏介質(zhì)較小波疏介質(zhì) 波密介質(zhì)58波疏介質(zhì)-波密介質(zhì)59 例如聲波從水面返回空氣時(shí)，由于水的密度大于空氣的密度因而反射處為波節(jié)。用手抖動一根繩子，另一端為自由