函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案

1、學(xué)案12函數(shù)模型及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用自主梳理1三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，) 上的單調(diào)性增長速度圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨n值變化而不同2.三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較(1)指數(shù)函數(shù)yax (a1)與冪函數(shù)yxn (n0)在區(qū)間(0，)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會小于x

2、n，但由于yax的增長速度_yxn的增長速度，因而總存在一個x0，當(dāng)xx0時(shí)有_(2)對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)與冪函數(shù)yxn (n0)對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)的增長速度，不論a與n值的大小如何總會_yxn的增長速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個實(shí)數(shù)x0，使xx0時(shí)有_由(1)(2)可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，)上，總會存在一個x0，使xx0時(shí)有_3函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例的基本題型(1)給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決問題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題4函數(shù)建模的基本程序自我檢測1下列函數(shù)中隨x的增大

3、而增大速度最快的是()Aveq f(1,100)exBv100ln xCvx100Dv1002x2某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A45.606B45.6C45.56D45.513(2010陜西)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()Ayeq f(x,10)Byeq f(x3,10

4、)Cyeq f(x4,10)Dyeq f(x5,10)4(2011湘潭月考)某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是()5一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過_小時(shí)，才能開車？(精確到1小時(shí))探究點(diǎn)一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型例1(2011陽江模擬)某化工廠引進(jìn)一條

5、先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為yeq f(x2,5)48x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？變式遷移1某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí)，可全部租出當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會增加一輛租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時(shí)，能租出多少輛車？

6、(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究點(diǎn)二分段函數(shù)模型例2據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)(1)當(dāng)t4時(shí)，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由變式遷移2某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

7、每戶每月用水不超過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸3.00元某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi)探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)模型例3諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎金總額平均分成6份，獎勵給分別在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年增加假設(shè)基金平均年利率為r6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約

8、為19 800萬美元設(shè)f(x)表示第x(xN*)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，依次類推)(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項(xiàng)獎金高達(dá)150萬美元”是否為真，并說明理由(參考數(shù)據(jù)：1.031 291.32)變式遷移3(2011商丘模擬)現(xiàn)有某種細(xì)胞100個，其中有占總數(shù)eq f(1,2)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個細(xì)胞分裂成2個細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過1010個？(參考數(shù)據(jù)：lg 30.477，lg 2

9、0.301)1解答應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字”，即(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義2考查函數(shù)模型的知識表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)利用函數(shù)模型的單調(diào)性比較數(shù)的大??；(2)比較幾種函數(shù)圖象的變化規(guī)律，證明不等式或求解不等式；(3)函數(shù)性質(zhì)與圖象相結(jié)合，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解答一些綜合問題 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)

10、驗(yàn)數(shù)據(jù)現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是() X1.953.003.945.106.12Y0.971.591.982.352.61A.y2xBylog2xCyeq f(1,2)(x21)Dy2.61cos x2擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)f(m)1.06(0.5m1)(單位：元)，其中m0，m表示不大于m的最大整數(shù)(如3.72)3，44)，當(dāng)m0.5,3.1時(shí)，函數(shù)f(m)的值域是()A1.06,2.12,3.18,4.24B1.06,1.59,2.12,2.65C1.06,1.59,2.12,2.65,3.18D1.59,2.12,2.653(201

11、1秦皇島模擬)某商店出售A、B兩種價(jià)格不同的商品，由于商品A連續(xù)兩次提價(jià)20%，同時(shí)商品B連續(xù)兩次降價(jià)20%，結(jié)果都以每件23元售出，若商店同時(shí)售出這兩種商品各一件，則與價(jià)格不升不降時(shí)的情況比較，商店盈利情況是 ()A多賺約6元B少賺約6元C多賺約2元D盈利相同4國家規(guī)定個人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11%納稅已知某人出版一本書，共納稅420元，這個人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為()A4 000元B3 800元C4 200元D3 600元5(2011滄州月考)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生

12、產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)eq f(1,2)x22x20(萬元)一萬件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為 ()A18萬件B20萬件C16萬件D8萬件題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2009年產(chǎn)生的垃圾量為a t，由此預(yù)測，該區(qū)下一年的垃圾量為_t,2014年的垃圾量為_t.7(2010金華十校3月聯(lián)考)有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場地的最大面積為_(圍墻

13、的厚度不計(jì))8已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費(fèi)用、銷售價(jià)格如下表所示：型號小包裝大包裝重量100克300克包裝費(fèi)0.5元0.7元銷售價(jià)格3.00元8.4元則下列說法中正確的是_(填序號)買小包裝實(shí)惠；買大包裝實(shí)惠；賣3小包比賣1大包盈利多；賣1大包比賣3小包盈利多三、解答題(共38分)9(12分)(2010湖南師大附中仿真)設(shè)某企業(yè)每月生產(chǎn)電機(jī)x臺，根據(jù)企業(yè)月度報(bào)表知，每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關(guān)系：meq f(9,2)xeq f(1,4)，neq f(1,4)x25xeq f(7,4)，當(dāng)mn0時(shí)，稱不虧損企業(yè)；

14、當(dāng)mnxn(2)慢于logaxxnlogax自我檢測1A由e2，知當(dāng)x增大時(shí)，eq f(1,100)ex增大更快2B依題意，可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15x)輛，總利潤S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30 (x0)當(dāng)x10時(shí)，Smax45.6(萬元)3B每10個人可以推選1個，(xmod 10)6可以再推選一個，即如果余數(shù)(xmod 10)7相當(dāng)于給x多加了3，所以可以多一個10出來4A55解析設(shè)x小時(shí)后，血液中的酒精含量不超過0.09 mg/mL，則有0.3eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)x0.09，即eq blc(rc)(avs4alco1(

15、f(3,4)x0.3.估算或取對數(shù)計(jì)算，得5小時(shí)后，可以開車課堂活動區(qū)例1解(1)每噸平均成本為eq f(y,x)(萬元)則eq f(y,x)eq f(x,5)eq f(8 000,x)482eq r(f(x,5)f(8 000,x)4832，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,5)eq f(8 000,x)，即x200時(shí)取等號年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬元(2)設(shè)年獲得總利潤為R(x)萬元，則R(x)40 xy40 xeq f(x2,5)48x8 000eq f(x2,5)88x8 000eq f(1,5)(x220)21 680(0 x210)R(x)在0,210上是增函數(shù)，x210時(shí)，

16、R(x)有最大值為eq f(1,5)(210220)21 6801 660.年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤1 660萬元變式遷移1解(1)租金增加了600元，所以未租出的車有12輛，一共租出了88輛(2)設(shè)每輛車的月租金為x元(x3 000)，租賃公司的月收益為y元，則yxeq blc(rc)(avs4alco1(100f(x3 000,50)eq f(x3 000,50)50eq blc(rc)(avs4alco1(100f(x3 000,50)150eq f(x2,50)162x21 000eq f(1,50)(x4 050)2307 050，當(dāng)x4 050時(shí)，ymax307 050.

17、答當(dāng)每輛車月租金定為4 050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大為307 050.例2解(1)由圖象可知：當(dāng)t4時(shí)，v3412(km/h)，seq f(1,2)41224(km)(2)當(dāng)0t10時(shí)，seq f(1,2)t3teq f(3,2)t2，當(dāng)10t20時(shí)，seq f(1,2)103030(t10)30t150；當(dāng)20t35時(shí)，seq f(1,2)10301030(t20)30eq f(1,2)(t20)2(t20)t270t550.綜上，可知Seq blcrc (avs4alco1(f(3,2)t2， t0，10，,30t150， t10，20，,t270t550， t20，35.)(3

18、)t0,10時(shí)，smaxeq f(3,2)102150650，t(10,20時(shí)，smax3020150450650，當(dāng)t(20,35時(shí)，令t270t550650.解得t130，t240.204時(shí)，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過4噸，即3x4時(shí)，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以yeq blcrc (avs4alco1(14.4x， 0 xf(4,5)，,20.4x4.8， f(4,5)f(4,3).)(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(0，f(4,5)時(shí)，yfeq blc(rc)(avs4a

19、lco1(f(4,5)26.4；當(dāng)xeq blc(rc(avs4alco1(f(4,5)，f(4,3)時(shí)，yfeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)1010，得(eq f(3,2)x108，兩邊取以10為底的對數(shù)，得xlgeq f(3,2)8，xeq f(8,lg 3lg 2)，eq f(8,lg 3lg 2)eq f(8,0.4770.301)45.45，x45.45.答經(jīng)過46小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)超過1010個課后練習(xí)區(qū)1B通過檢驗(yàn)可知，ylog2x較為接近2B當(dāng)0.5m1時(shí)，m0，f(m)1.06；當(dāng)1m2時(shí)，m1，f(m)1.59；當(dāng)2m3時(shí)，m2，f(m)2.12；當(dāng)3m3

20、.1時(shí)，m3，f(m)2.65.3B設(shè)A、B兩種商品的原價(jià)為a、b，則a(120%)2b(120%)223aeq f(2325,36)，beq f(2325,16)，ab466元4B設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意，得yeq blcrc (avs4alco1(00 x800，,x80014% 8004 000.)如果稿費(fèi)為4 000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費(fèi)應(yīng)在8004 000元之間，(x800)14%420，x3 800.5A利潤L(x)20 xC(x)eq f(1,2)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)有最大值6a(1b)a(1b)5解析由于2009年的垃圾量為a t，年增長率為b，故下一年的垃圾量為aaba(1b) t，同理可知2011年的垃圾量為a(1b)2t，2014年的垃圾量為a(1b)5 t.72 500 m2解析設(shè)所圍場地的長為x，則寬為eq f(200 x,4)，其中0 x0，所以x4.故企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)4臺電機(jī)(6分)(2)若企業(yè)虧損最嚴(yán)重，則nm取最大值因?yàn)閚meq f(1,4)x25xeq f(7,4)eq f(9,2)xeq f(1,4)eq f(1,4)eq blcrc(avs4alco1(x129)eq f(9,4)eq f(1,4)(x1