《自動控制原理》（第六版）課件：第3章 線性系統(tǒng)的時域分析法3

1、自 動 控 制 原 理第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法33-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1. 穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離原平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。 所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復到原平衡狀態(tài)的性能。43-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2. 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 設初始條件為零時，作用一理想脈沖信號到一線性系統(tǒng)，這相當于給系統(tǒng)加了一擾動信號。若 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 系統(tǒng)穩(wěn)定性只由結構、參數(shù)決定，與初始條件及外作用無關。53-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2. 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 j0穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域S平面 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部

2、.63-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3. 勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件 1) 特征方程各項系數(shù)均大于零，即 ai02) 古爾維茨行列式全部為正，即已證明，在特征方程各項系數(shù)均大于零時，赫爾維茨奇次行列式全為正，則赫爾維茨偶次行列式必全為正；反之亦然。1.赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：73-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3. 勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)勞思判據(jù)采用表格形式，即勞思表： 當勞思表中第一列的所有數(shù)都大于零時，系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，如果第一列出現(xiàn)小于零的數(shù)時，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。第一列各系數(shù)符號的改變次數(shù)，代表特征方程的正實部根的個數(shù)。 2. 勞思（Routh）判據(jù)83-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3. 勞

3、思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)例： 設系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0; 試用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解：列出勞思表124231=520251=123450615142-=0第一列數(shù)據(jù)不同號，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。 93-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況 注意兩種特殊情況的處理： 1）某行的第一列項為0，而其余各項不為0或不全為0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a為任意正數(shù)），或用很小的正數(shù)代替零元素，然后對新特征方程應用勞思判據(jù)。 2）當勞思表中出現(xiàn)全零行時，用上一行的系數(shù)構成一個輔助方程，對輔助方程求導，用所得方程的系數(shù)代替全零行。 103-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4、分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況例： 設系統(tǒng)特征方程為s3-3s+2=0; 試用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 10-32解：列出勞思表(s3-3s+2)*(s+3)= s4+3 s3-3 s2-7s+6=0; 113-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況13-3-7600新勞思表：第一列數(shù)據(jù)不同號，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。 s4+3 s3-3 s2-7s+6=0; 0123-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況例： 設系統(tǒng)特征方程為s3-3s+2=0; 試用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 1-32解：列出勞思表2第一列數(shù)據(jù)不同號，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。 133-5 線性系統(tǒng)的

5、穩(wěn)定性分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況例： 設系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+s2+2s+2=0；試用勞思穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞思表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代0) 2 s1 2-(4/) s0 2 可見第一列元素的符號改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在S右半平面上有兩個極點。143-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況 例: 設系統(tǒng)特征方程為s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0； 試用勞思穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：列出勞思表 s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 輔助多項式F(s) 的系數(shù) s

6、3 0 0 0153-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況F(s) =s4-3s2-4=0， dF(s)/ds=4s3-6s=0 解輔助方程 F(s) =s4-3s2-4=0，得 以導數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞思表： s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 s3 4 -6 dF(s)/ds的系數(shù) s2 -1.5 -4 s1 -16.7 0 s0 -4 163-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況 例: 設系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0； 試用勞思穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：列

7、出勞思表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 輔助多項式F(s) 的系數(shù) s3 0 0 0173-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4. 勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況F(s) =2s4+8s2+4=0， dF(s)/ds=8s3+16s=0 解輔助方程 F(s) =2s4+8s2+4=0，得 以導數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞思表： s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dF(s)/ds的系數(shù) s2 4 4 s1 8 s0 4 183-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5. 勞思穩(wěn)定判據(jù)應用: 例： 如圖系統(tǒng)，試應用勞思判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍。如果要求閉環(huán)極點全部位于s=-1垂線之左,問K的范圍應取多大？C(S)R(S)-193-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5. 勞思穩(wěn)定判據(jù)應用 解:04014s 40*k,K, )10)(4()( 23*=+=+=FKssKsssKs 由上式得系統(tǒng)的特征方程:式中系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函為C(S)R(S)-203-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5. 勞思穩(wěn)定判據(jù)應用04014s23*=+Kss14K0560K0 014K-5600K, *即應有為使系統(tǒng)穩(wěn)定, s 14-560 s 14 s 40 1 s : 012 3*KKK相應的勞思表 21 4.8K0.675 19227 27-