2021年高考數(shù)學(xué)高分套路超幾何分布解析版

1、超幾何分布【套路秘籍】-千里之行始于足下X, Y, J刀，表示，所有取值可以一一列.離散型隨機(jī)變量的概率分布(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量，常用字母出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.(2) 一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為xi, X2,，X,，Xn, X取每一個(gè)值Xi(i=1,2, n)的概率P(X= Xi) = p ,則稱表XX1X2XiXnPP1P2PiPn為離散型隨機(jī)變量 X的概率分布表.(3)離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)：pi 0, i = 1,2 ,，n； P1+P2+ P+ Pn= 1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和

2、.二.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的概率分布表為其中0Vp1,則稱離散型隨機(jī)變量 X服從兩點(diǎn)分布.超幾何分布.概念：一般地，設(shè)有 N件產(chǎn)品，其中有 MW N)件次品.從中任取 n(n N件產(chǎn)品，用X表示取出的n件M產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X= r)=-g丁 ( r = 0,1,2 ,，l).即X01lPcMCN： M CNCcNMdcN： MCNcn其中 l =min(M n),且 nw N, Mk N, n, M Ne N*.如果一個(gè)隨機(jī)變量 X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是:考察對(duì)象分

3、兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布四.離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為：XXiX2XiXnpPiP2PiPn(1)稱E(X) XiR X2P2XnPn為隨機(jī)變量 X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.n(2)稱D(X)(xi E(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量 X與其均值E(X)的平均偏i 1離程度，其算術(shù)平方根 Jd(x)為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差.2 .均值與方差的性質(zhì)若Y= aX+ b,其中a, b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量,且 E(aX+ b) =aE(X)

4、 + b；2D( aX+ b) = a D( X)【修煉套路】-為君聊賦今日詩(shī)，努力請(qǐng)從今日始考向一分布列性質(zhì)【例1】（1）設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的概率分布為下表，求 2X+ 1的概率分布.(2)若（1）中條件不變，求隨機(jī)變量刀=| X-1|的概率分布.(3)若（1）中條件不變，求隨機(jī)變量X =X2的概率分布.【答案】見解析【解析】（1）由概率分布的性質(zhì)知,0.2+0.1 + 0.1 +0.3 +n 1,得 m 0.3.列表為X01234P0.20.10.10.3mX012342X+ 113579從而2X+ 1的概率分布為2X+ 113579P0.20.10.10.30.3（2）由（1）知n0.

5、3 ,列表為X01234IX-1|10123P( T =1) = P(X= 0) + P(X= 2) = 0.2+0.1 =0.3 ,P(刀=0)=P(X=1) = 0.1 ,R 刀=2) = R X= 3) = 0.3 ,P =3) =P(X=4) = 0.3.故刀=| X1|的概率分布為0123P0.10.30.30.3(3)依題意知 P的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而T=資的概率分布為014916P0.20.10.10.30.3【套路總結(jié)】；1.利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).2.求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍

6、內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可,【舉一反三】1.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X101P132 3q2 q貝 U q=. TOC o 1-5 h z 【答案】|-譽(yù)26【解析】二十 23q + q2=1,. q23q + 4=0,解得 q=3士工33.又由題意知 0q2 K2 5 E根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.仙 801M)：1加1150可能初錄弱境校層次專料本科自招(1)求n的值及頻率分布直方圖中的 x,y值；(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想， 以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級(jí)學(xué)生中任取 2人，求此2人都

7、不能錄取為?？频母怕?；3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用表示(3)在選取的樣本中，從可能錄取為自招和?？苾蓚€(gè)層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取所抽取的3名學(xué)生中為自招的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.616【答案】(1) 0.014 ; (2) 2_； (3)見解析625【解析】(1)由圖2知分?jǐn)?shù)在70,80的學(xué)生有4名,又由圖1知，頻率為：0.008 10 0.08,則：n 500.085 C10.04 2 0.08 2 0.1 0.12 0.16 0.24 TOC o 1-5 h z X 0.01, y 0.01450 1010(2)能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為：50 0.004 0.008 10 6人抽取的50人中

8、，成績(jī)能被專科院校錄取的頻率是：5025從該校高三年級(jí)學(xué)生中任取 1人能被?？圃盒ｄ浫〉母怕蕿?, 25記該校高三年級(jí)學(xué)生中任取2人，都不能被?？圃盒ｄ浫〉氖录锳2則此2人都不能錄取為專科的概率:361625625(3)選取的樣本中能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為6人成績(jī)能過自招線人數(shù)為：50 0.012 0.004 0.008 10 12人,又隨機(jī)變量的所有可能取值為 0,1,2,3C；205C；C；218015T : P 1丁 :C；88162046c：239633c C：C1；22055_3；P 3_3C；8816 68C38816 204隨機(jī)變量的分布列為:0123

9、P52041568336855204八 5 . 15 - 33 c 55 -0 12 - 3 22046868204【運(yùn)用套路】-紙上得來(lái)終覺淺，絕知此事要躬行.隨機(jī)變量X的概率分布如下:X101Pabc其中a,b, c成等差數(shù)列，則 R| X| =1)=,公差d的取值范圍是a, b, c成等差數(shù)列，2b=a+u，12又 a+ b+ c=1, .b=3，P(|X|=1)=a+c = 3.又 a= 3-d, c = 3+d,根據(jù)概率分布的性質(zhì)，得0w -dw 0w dw 一，3333.1. 一 二& d300重污染151-200輕度污染我們把某天的空氣污染指數(shù)在0-100時(shí)稱作A類天，101-2

10、00時(shí)稱作B類天，大于200時(shí)稱作C類天.下圖是某市2018年全年監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取的18天數(shù)據(jù)作為樣本做的莖葉圖：（百位為莖，十、個(gè)位為葉）0326890112386773902123852788()330476346793(1)從這18天中任取3天，求至少含2個(gè)A類天的概率；(2)從這18天中任取3天，記X是達(dá)到A類或B類天的天數(shù)，23【答案】(1)也.；(2)見解析【解析】(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)有種，3天中至少有2個(gè)A類天的取法種數(shù)有+琮=種，23P =所以這3天至少有2個(gè)A類天的概率的8；(2)卜的一切可能的取值是工，1, 0,當(dāng)*二？時(shí)，*567P(X = 3)=二二C

11、3 816 102 c16；當(dāng)3 = 2時(shí)，4cto 280 35P(X = 2) = = JE16 102當(dāng)二1時(shí)，360 15P(X 1)=C3 816 34i；當(dāng)3 =。時(shí)，1205P(，= 0) = =一3 816 341jifl；，的分布列為:X321073515IsP|io2|luaj34數(shù)學(xué)期望7E(X) = 3 x + 2x102.在“五四青年節(jié)”到來(lái)之際，啟東中學(xué)將開展一系列的讀書教育活動(dòng).為了解高二學(xué)生讀書教育情況，決定采用分層抽樣的方法從高二年級(jí)力田。四個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)抽取 12名學(xué)生參加問卷調(diào)查.已知各社團(tuán)人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：(1)若從參加問卷調(diào)查的 12名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2名，

12、求這2名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)社團(tuán)的概率；(2)在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中，從來(lái)自 冏黑。三個(gè)社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取 3名，用才表示從公社團(tuán)抽得 學(xué)生的人數(shù)，求力的分布列和數(shù)學(xué)期望.13【答案】(1)高；(2) |見解肝【解析】(1)4社團(tuán)共有學(xué)生9 4-12 + 6+9 =罪名,抽取12名學(xué)生，抽取比例為3G工則抽取的12名學(xué)生中，,社團(tuán)3名，月社團(tuán)4名，門社團(tuán)2名，心社團(tuán)3名.以13P 則12名學(xué)生抽取2名學(xué)生，來(lái)自同一個(gè)社團(tuán)的概率為：”之66.(2) 12名學(xué)生中來(lái)自小白0三個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有 10名，若從中任取3名，抽取小社團(tuán)的人數(shù)火服從超幾何分 布，門的取值為0.L4335 _ 7120-24

13、則印的分布列為在該超幾何分布中，nM 3x39見#)=所以數(shù)學(xué)期望5.為迎接2021年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展了 “冰雪答題王冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參 加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)(滿分為1。0分)分為fi組：4030),(500), 60,70), |70加),但0,90), 90100,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(I)求口的值;(n)記力表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于80分”， 估計(jì)八的概率;.現(xiàn)采用分層抽樣的方法先從比賽成(出)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)?cè)?0仍內(nèi)為“良好

14、”績(jī)良好的學(xué)生中抽取11名學(xué)生，然后從這11|名學(xué)生中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記比賽成績(jī)?cè)?但0冉處內(nèi)的學(xué)生人數(shù) 為國(guó)，求才的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（I）。曲（n）雙（出）見解析【解析】（I）由題可得。1用5 + 0910 + 020 +仇口 30 + 卜0*1。）X 10 = 1,解得 a = 0.025.=0.02,H。分的概率約為。.:.行.則比賽成績(jī)不低于80分的頻率為（0025十o.oiorx 10 = 0 35,故從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于（出）在抽取的10名學(xué)生中，比賽成績(jī)?cè)谝?網(wǎng)；內(nèi)的學(xué)生有l(wèi)OOxOSOx 10=3。名，比賽成績(jī)?cè)谒?/p>

15、）內(nèi)11|名學(xué)生，比賽成績(jī)的學(xué)生有1皿乂0.025乂10=25名，采用分層抽樣的方法從比賽成績(jī)良好的學(xué)生中抽取在70前0內(nèi)的學(xué)生應(yīng)抽取3。11 x= 630 + 25名,比賽成績(jī)?cè)贖oq。：內(nèi)的學(xué)生應(yīng)抽取11-6二q名.由題可知，*的所有可能取值為,1, |2, , 1,陵KX- (1)22C依1(瑞5p(X=2)=-V 1 1hj r /P(X = 3)=4 ri “T1W.1|3樽1051|33116t故的分布列為102120= 0 X+ 1 X + 2x + 3x + 4 X = 一所以2233111166 116.某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng)，有IV人參加，現(xiàn)

16、將所有參加者按年齡情況分為20.25), |2氏30), 30,35),眨40), 40,45),傷皿，|卬匹;等七組，其頻率分布直方圖如圖所示，已知25,3。；這組的參加者是6人.(1)根據(jù)此頻率分布直方圖求該校參加秋季登山活動(dòng)的教職工年齡的中位數(shù);(2)已知35,40：:和40r4司這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率；(3)組織者從IH5.55；這組的參加者(其中共有 4名女教師，其余全為男教師)中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為 8，求X的分布列和均值.【答案】(1) 35; (2)斑

17、；(3)見解析.【解析】(1)設(shè)矩形在?0,初)的高為，(0-01 + 0,03 + x + 0.04 + 0.03 + 0.C2 + 0.01) X5 = 由 |(0.01 + 003 + 0.06) x 5 = 0.5中位數(shù)為35.(2)記事件，為“從年齡在和仞9 之間選出的2人中恰有1名數(shù)學(xué)教師”，年齡在：近川)之間的人數(shù)為8,年齡在叫”之間的人數(shù)為6,+-246 = 5131 4（3）年齡在4535之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人,的可能取值為1, 2, 3,cic4G 3或5.*的分布列為:岡1231q11131見 X) = lx- + 2x- + 3x- = 2 5557. 202

18、1年，遼寧省將實(shí)施新高考，2018年暑期入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用3 3模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各 150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3）,每科目滿分100分.為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.（1）已知抽取的n名學(xué)生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人數(shù);（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)

19、生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的 2 2列聯(lián)表：選擇“物理”選擇“地理”總計(jì)男生10女生25總計(jì)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；(3)在抽取到的45名女生中按分層抽樣再抽出 9名女生，了解女生對(duì)“歷史”的選課意向情況，在這名女生中再抽取 4人，設(shè)這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為 X ,求X的分布列及期望.P(K2 k)0.0500.010k3.8416.6352n(ad bc)附：k ,其中n a b c d(a

20、b)(c d )(a c)(b d)【答案】(1) n=100;男生55人(2)見解析；(3)見解析n 45【解析】(1)由題意得： ，解得n=100,1000 450男生人數(shù)為：550 您 =55人.1000(2) 2X2列聯(lián)表為:選擇“物理”選擇“地理”總計(jì)男生451055女生252045總計(jì)703010022 100 45 20 25 1055 45 70 30K2 8.1289 6.635所以有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān).4人選擇地理,(3)從45名女生中分層抽樣抽 9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理,9名女生中再選擇4名女生,則這 4名女生中選擇地理的人數(shù)X可為0, 1, 2,3, 4.設(shè)事件