2021年高考數(shù)學高分套路超幾何分布解析版

1、超幾何分布【套路秘籍】-千里之行始于足下X, Y, J刀，表示，所有取值可以一一列.離散型隨機變量的概率分布(1)隨著試驗結果變化而變化的變量叫做隨機變量，常用字母出的隨機變量叫做離散型隨機變量.(2) 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為xi, X2,，X,，Xn, X取每一個值Xi(i=1,2, n)的概率P(X= Xi) = p ,則稱表XX1X2XiXnPP1P2PiPn為離散型隨機變量 X的概率分布表.(3)離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)：pi 0, i = 1,2 ,，n； P1+P2+ P+ Pn= 1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和

2、.二.兩點分布如果隨機變量X的概率分布表為其中0Vp1,則稱離散型隨機變量 X服從兩點分布.超幾何分布.概念：一般地，設有 N件產(chǎn)品，其中有 MW N)件次品.從中任取 n(n N件產(chǎn)品，用X表示取出的n件M產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X= r)=-g丁 ( r = 0,1,2 ,，l).即X01lPcMCN： M CNCcNMdcN： MCNcn其中 l =min(M n),且 nw N, Mk N, n, M Ne N*.如果一個隨機變量 X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是:考察對象分

3、兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)X的概率分布四.離散型隨機變量的均值與方差1.離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量 X的分布列為：XXiX2XiXnpPiP2PiPn(1)稱E(X) XiR X2P2XnPn為隨機變量 X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.n(2)稱D(X)(xi E(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量 X與其均值E(X)的平均偏i 1離程度，其算術平方根 Jd(x)為隨機變量x的標準差.2 .均值與方差的性質(zhì)若Y= aX+ b,其中a, b為常數(shù)，則Y也是隨機變量,且 E(aX+ b) =aE(X)

4、 + b；2D( aX+ b) = a D( X)【修煉套路】-為君聊賦今日詩，努力請從今日始考向一分布列性質(zhì)【例1】（1）設離散型隨機變量 X的概率分布為下表，求 2X+ 1的概率分布.(2)若（1）中條件不變，求隨機變量刀=| X-1|的概率分布.(3)若（1）中條件不變，求隨機變量X =X2的概率分布.【答案】見解析【解析】（1）由概率分布的性質(zhì)知,0.2+0.1 + 0.1 +0.3 +n 1,得 m 0.3.列表為X01234P0.20.10.10.3mX012342X+ 113579從而2X+ 1的概率分布為2X+ 113579P0.20.10.10.30.3（2）由（1）知n0.

5、3 ,列表為X01234IX-1|10123P( T =1) = P(X= 0) + P(X= 2) = 0.2+0.1 =0.3 ,P(刀=0)=P(X=1) = 0.1 ,R 刀=2) = R X= 3) = 0.3 ,P =3) =P(X=4) = 0.3.故刀=| X1|的概率分布為0123P0.10.30.30.3(3)依題意知 P的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而T=資的概率分布為014916P0.20.10.10.30.3【套路總結】；1.利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù).2.求隨機變量在某個范圍

6、內(nèi)的概率時，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應的概率相加即可,【舉一反三】1.設X是一個離散型隨機變量，其概率分布為X101P132 3q2 q貝 U q=. TOC o 1-5 h z 【答案】|-譽26【解析】二十 23q + q2=1,. q23q + 4=0,解得 q=3士工33.又由題意知 0q2 K2 5 E根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預錄分數(shù)線，分數(shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.仙 801M)：1加1150可能初錄弱境校層次專料本科自招(1)求n的值及頻率分布直方圖中的 x,y值；(2)根據(jù)樣本估計總體的思想， 以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級學生中任取 2人，求此2人都

7、不能錄取為?？频母怕?；3名學生進行調(diào)研，用表示(3)在選取的樣本中，從可能錄取為自招和?？苾蓚€層次的學生中隨機抽取所抽取的3名學生中為自招的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.616【答案】(1) 0.014 ; (2) 2_； (3)見解析625【解析】(1)由圖2知分數(shù)在70,80的學生有4名,又由圖1知，頻率為：0.008 10 0.08,則：n 500.085 C10.04 2 0.08 2 0.1 0.12 0.16 0.24 TOC o 1-5 h z X 0.01, y 0.01450 1010(2)能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為：50 0.004 0.008 10 6人抽取的50人中

8、，成績能被?？圃盒ｄ浫〉念l率是：5025從該校高三年級學生中任取 1人能被?？圃盒ｄ浫〉母怕蕿?, 25記該校高三年級學生中任取2人，都不能被?？圃盒ｄ浫〉氖录锳2則此2人都不能錄取為?？频母怕?361625625(3)選取的樣本中能被專科院校錄取的人數(shù)為6人成績能過自招線人數(shù)為：50 0.012 0.004 0.008 10 12人,又隨機變量的所有可能取值為 0,1,2,3C；205C；C；218015T : P 1丁 :C；88162046c：239633c C：C1；22055_3；P 3_3C；8816 68C38816 204隨機變量的分布列為:0123

9、P52041568336855204八 5 . 15 - 33 c 55 -0 12 - 3 22046868204【運用套路】-紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.隨機變量X的概率分布如下:X101Pabc其中a,b, c成等差數(shù)列，則 R| X| =1)=,公差d的取值范圍是a, b, c成等差數(shù)列，2b=a+u，12又 a+ b+ c=1, .b=3，P(|X|=1)=a+c = 3.又 a= 3-d, c = 3+d,根據(jù)概率分布的性質(zhì)，得0w -dw 0w dw 一，3333.1. 一 二& d300重污染151-200輕度污染我們把某天的空氣污染指數(shù)在0-100時稱作A類天，101-2

10、00時稱作B類天，大于200時稱作C類天.下圖是某市2018年全年監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取的18天數(shù)據(jù)作為樣本做的莖葉圖：（百位為莖，十、個位為葉）0326890112386773902123852788()330476346793(1)從這18天中任取3天，求至少含2個A類天的概率；(2)從這18天中任取3天，記X是達到A類或B類天的天數(shù)，23【答案】(1)也.；(2)見解析【解析】(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)有種，3天中至少有2個A類天的取法種數(shù)有+琮=種，23P =所以這3天至少有2個A類天的概率的8；(2)卜的一切可能的取值是工，1, 0,當*二？時，*567P(X = 3)=二二C

11、3 816 102 c16；當3 = 2時，4cto 280 35P(X = 2) = = JE16 102當二1時，360 15P(X 1)=C3 816 34i；當3 =。時，1205P(，= 0) = =一3 816 341jifl；，的分布列為:X321073515IsP|io2|luaj34數(shù)學期望7E(X) = 3 x + 2x102.在“五四青年節(jié)”到來之際，啟東中學將開展一系列的讀書教育活動.為了解高二學生讀書教育情況，決定采用分層抽樣的方法從高二年級力田。四個社團中隨機抽取 12名學生參加問卷調(diào)查.已知各社團人數(shù)統(tǒng)計如下：(1)若從參加問卷調(diào)查的 12名學生中隨機抽取 2名，

12、求這2名學生來自同一個社團的概率；(2)在參加問卷調(diào)查的12名學生中，從來自 冏黑。三個社團的學生中隨機抽取 3名，用才表示從公社團抽得 學生的人數(shù)，求力的分布列和數(shù)學期望.13【答案】(1)高；(2) |見解肝【解析】(1)4社團共有學生9 4-12 + 6+9 =罪名,抽取12名學生，抽取比例為3G工則抽取的12名學生中，,社團3名，月社團4名，門社團2名，心社團3名.以13P 則12名學生抽取2名學生，來自同一個社團的概率為：”之66.(2) 12名學生中來自小白0三個社團的學生共有 10名，若從中任取3名，抽取小社團的人數(shù)火服從超幾何分 布，門的取值為0.L4335 _ 7120-24

13、則印的分布列為在該超幾何分布中，nM 3x39見#)=所以數(shù)學期望5.為迎接2021年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了 “冰雪答題王冬奧知識競賽活動.現(xiàn)從參 加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績(滿分為1。0分)分為fi組：4030),(500), 60,70), |70加),但0,90), 90100,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(I)求口的值;(n)記力表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于80分”， 估計八的概率;.現(xiàn)采用分層抽樣的方法先從比賽成(出)在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績在70仍內(nèi)為“良好

14、”績良好的學生中抽取11名學生，然后從這11|名學生中隨機抽取4名學生，記比賽成績在 但0冉處內(nèi)的學生人數(shù) 為國，求才的分布列與數(shù)學期望.【答案】（I）。曲（n）雙（出）見解析【解析】（I）由題可得。1用5 + 0910 + 020 +仇口 30 + 卜0*1。）X 10 = 1,解得 a = 0.025.=0.02,H。分的概率約為。.:.行.則比賽成績不低于80分的頻率為（0025十o.oiorx 10 = 0 35,故從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于（出）在抽取的10名學生中，比賽成績在以0網(wǎng)；內(nèi)的學生有l(wèi)OOxOSOx 10=3。名，比賽成績在他。

15、）內(nèi)11|名學生，比賽成績的學生有1皿乂0.025乂10=25名，采用分層抽樣的方法從比賽成績良好的學生中抽取在70前0內(nèi)的學生應抽取3。11 x= 630 + 25名,比賽成績在Hoq。：內(nèi)的學生應抽取11-6二q名.由題可知，*的所有可能取值為,1, |2, , 1,陵KX- (1)22C依1(瑞5p(X=2)=-V 1 1hj r /P(X = 3)=4 ri “T1W.1|3樽1051|33116t故的分布列為102120= 0 X+ 1 X + 2x + 3x + 4 X = 一所以2233111166 116.某中學利用周末組織教職員工進行了一次秋季登山健身的活動，有IV人參加，現(xiàn)

16、將所有參加者按年齡情況分為20.25), |2氏30), 30,35),眨40), 40,45),傷皿，|卬匹;等七組，其頻率分布直方圖如圖所示，已知25,3。；這組的參加者是6人.(1)根據(jù)此頻率分布直方圖求該校參加秋季登山活動的教職工年齡的中位數(shù);(2)已知35,40：:和40r4司這兩組各有2名數(shù)學教師，現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔任接待工作，設兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學老師的概率；(3)組織者從IH5.55；這組的參加者(其中共有 4名女教師，其余全為男教師)中隨機選取3名擔任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為 8，求X的分布列和均值.【答案】(1) 35; (2)斑

17、；(3)見解析.【解析】(1)設矩形在?0,初)的高為，(0-01 + 0,03 + x + 0.04 + 0.03 + 0.C2 + 0.01) X5 = 由 |(0.01 + 003 + 0.06) x 5 = 0.5中位數(shù)為35.(2)記事件，為“從年齡在和仞9 之間選出的2人中恰有1名數(shù)學教師”，年齡在：近川)之間的人數(shù)為8,年齡在叫”之間的人數(shù)為6,+-246 = 5131 4（3）年齡在4535之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人,的可能取值為1, 2, 3,cic4G 3或5.*的分布列為:岡1231q11131見 X) = lx- + 2x- + 3x- = 2 5557. 202

18、1年，遼寧省將實施新高考，2018年暑期入學的高一學生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用3 3模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各 150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3）,每科目滿分100分.為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學生進行調(diào)查.（1）已知抽取的n名學生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人數(shù);（2）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學

19、生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到n名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結果得到的 2 2列聯(lián)表：選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；(3)在抽取到的45名女生中按分層抽樣再抽出 9名女生，了解女生對“歷史”的選課意向情況，在這名女生中再抽取 4人，設這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為 X ,求X的分布列及期望.P(K2 k)0.0500.010k3.8416.6352n(ad bc)附：k ,其中n a b c d(a

20、b)(c d )(a c)(b d)【答案】(1) n=100;男生55人(2)見解析；(3)見解析n 45【解析】(1)由題意得： ，解得n=100,1000 450男生人數(shù)為：550 您 =55人.1000(2) 2X2列聯(lián)表為:選擇“物理”選擇“地理”總計男生451055女生252045總計703010022 100 45 20 25 1055 45 70 30K2 8.1289 6.635所以有99%的把握認為選擇科目與性別有關.4人選擇地理,(3)從45名女生中分層抽樣抽 9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理,9名女生中再選擇4名女生,則這 4名女生中選擇地理的人數(shù)X可為0, 1, 2,3, 4.設事件