山西省太原市高中數(shù)學競賽解題策略幾何分冊第26章帕斯卡定理

1、第26章帕斯卡定理帕斯卡()定理設內(nèi)接于圓（與頂點次序無關，即無需為凸六邊形），直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點，則、三點共線證法l設直線與交于點，直線與交于點直線與交于點對及截線、分別應用梅涅勞斯定理，有，將上述三式相乘，并運用圓冪定理，有，從而，其中、分別在直線、上對應用梅涅勞斯定理的逆定理，知、三點共線證法2設過、的圓交直線于點，交直線于點連接、，則與相補（或相等）又與相等，從而與相補或相等，即知飄理，于是，與為位似圖形由于位似三角形三對對應頂點的連線共點（共點于位似中點），這里，直線與交于點，則另一對對應的點、的連線也應過點，故，、三點共線證法3連、，過分別作上于，作于，作于，

2、過分別作于，作于則同理，注意到，所以，即，于是有連、，則、及、分別四點共圓，從而，亦即有，故、三點共線證法4如圖，連、在圓內(nèi)接四邊形中，有與相等；在圓內(nèi)接四邊形中，有與相等或相補；在圓內(nèi)接四邊形中，與相補或相補故可以在的邊上或其延長線上取一點，使，從而，設與相交于另一點，則，所以與相等或相補故、三點共線又于是，知、四點共圓所以， (或 (或)從而、三點共線故、三點共線注：此定理中，當內(nèi)接于圓的六邊形的六頂點改變其宇序，兩兩取對邊、共有60種不同情形，相應有60條帕斯卡直線六個取定的點，有15條連線，相交產(chǎn)生另外45個點，這些點中每一點有4條帕斯卡線這些帕斯卡線，每3條共點，產(chǎn)生20個其他的點，

3、稱為斯坦納點，每條線上一個，而且這些帕斯卡線，每3條共點，還產(chǎn)生其他60個點，稱為寇克曼點，每3個在一條直線上20個斯坦納點在15條其他直線上，每條線上4個點60個寇克曼點在20條其他直線上，每條線上3個 單墫譯美約翰遜近代歐式幾何學上海：上海教育出版社，2000；208當六邊形中有兩頂點重合，即對于內(nèi)接于圓的五邊形，亦有結論成立；圓內(nèi)接五邊形中（與重合）處的切線與的交點、與的交點、與的交點三點共線，如圖 (1)當六邊形變?yōu)樗倪呅位虻葧r，如圖 (2)、(3)，結論仍成立當六邊形變?yōu)槿切螘r，三組邊、變?yōu)辄c，如圖 (4)，仍有結論成立此時三點所共的線也稱為萊莫恩線（參見第10章性質(zhì)19）下面從四

4、個方面看一些應用的例子1指出在圓上的六點應用帕斯卡定理例1如圖，過的頂點、各作一直線使之交于一點而交外接圓于、又在外接圓上任取一點，則、與、對應的交點、三點共線證明在圓內(nèi)接六邊形中，其三雙對邊與、與、與的交點分別為、，由帕斯卡定理知、三點共線在圓內(nèi)接六邊形中，其三雙對邊與、與、與的交點務別為、，由帕斯卡定理知、三點共線故、三點共線例2（預選題）已知為確定的三角形，分別為邊、的中點為外接圓上的動點，、分別與的外接圓交于另外的點、若、是不同的點，則直線、交出一個三角形證明：這個三角形的面積不依賴于點證明如圖，設、是直線、交出的三角形的三個頂點下面，我們證明有，這便可說明的面積不依賴于點的選取注意到

5、圖中的圓內(nèi)接六邊形，由帕斯卡定理，知三雙對邊與、與、與的交點、三點共線，即知點在的中位線上類似地，可證點、分別在直線、上由，得，有同理，由，有從而，于是故2作出一些點構成圓上六點應用帕斯卡定理例3（2004年國家隊培訓題）設與的外接圓內(nèi)切并與邊、相切的圓為，記為圓的半徑，類似地定義、，是的內(nèi)切圓半徑，證明： 證明如圖，設圓與、的外接圓分別切于點、，設、分別為、中點，為的內(nèi)心這時，為圓與的位似中心，且過的切線平行于，因而、為一雙對應點，于是、三點共線（也可設直線交于，則證得為的中點）同理，、三點共線而、分別為、的平分線，則知其交點為注意到圓內(nèi)接六邊形，由帕斯卡定理知、三點共線記圓的圓心為，由，有

6、同理，由有因此故例4（2007年國家集訓隊測試題）凸四邊形內(nèi)接于圓，與邊相交的一個圓與圓內(nèi)切，且分別與、相切于點，求證：的內(nèi)心與的內(nèi)心皆在直線上證明如圖，設圓的圓心為，與相交且與相內(nèi)切的圓的圓心為，切點為，顯然、三點共線設與交于點，直線交于，直線交于，交于，直線交于這時，存在一個以點為位似中心的位似變換使得變?yōu)?，因此，直線變?yōu)檫^點且平行于的的切線，所以為的中點由，有，即又及截線應用梅涅勞斯定理，有，即又又、知，即知是弧的中點顯然，的內(nèi)心為與的交點注意到圓內(nèi)接六邊形，由帕斯卡定理，知、三點共線所以的內(nèi)心在上同理，的內(nèi)心也在上3證明六點共圓應用帕斯卡定理例5（2005年國家集訓隊測試題）如圖，點在

7、內(nèi)部，點在邊、上的射影分別為、，過點分別作直線、的蠶線，垂足分別為、求證：、三線共點證明由題設，有，從而，、六點都在以為直徑的圓上于是，對于圓內(nèi)接六邊形，它的三組對邊與、與、與的交點分別為、，由帕斯卡定理，知、三點共線，從而點在上故、三線共點例6（2002年澳大利亞國家數(shù)學競賽題）已知為銳角三角形，以為直徑的分別交、于點、分別過和作的兩條切線交于點，分別過和作的兩條切線交于點證明：點在線段上證明如圖，設與、與、與分別交于、，連接、則，由此知、四點共圓又是的切線，于是同理，因此，、在以為直徑的圓上，即、六點共圓在這個圓內(nèi)接六邊形中，應用帕斯卡定理，三雙對邊與、與、與的交點、共線故點在線段上4注意

8、特殊情形時帕斯卡定理的應用例7（2005年第18屆韓國數(shù)學奧林匹克題）在中，是的外接圓的圓心，、是的兩條切線，切點分別為、設，又設是上的點，且使得，是與的交點，是與的交點，令證明證明如圖，設的延長線與過點的的切線交于點，對應用帕斯卡定理，知、三點共線，從而與重合因此，點、的位置如圖所示由切割線定理，有，即設與交于點，對及截線、分別應用梅涅勞斯定理，有，由上述三式并注意相交弦定理：，則有練習題二十六1點在的外接圓上，是任意一點，直線，分別交外接圓于點，證明：直線和，和，和的交點在過點的一條直線上2已知和某個點，設和是由點分別向直線和引垂線的垂足，而和是由點分別向直線和引垂線的垂足證明：直線和的交

9、點在直線上3四邊形內(nèi)接于圓中，是任意一點，和是直線和與圓的第二個交點直線和，和相交于點和證明：直線和的交點在直線上4四邊形內(nèi)接于，點使得證明：四邊形對角線的交點在直線上5點和在的內(nèi)部，且關于對稱，射線和共線，射線和也共線（其中點，均在上）證明：直線和的交點在直線上6點，在圓上，而點，分別在直線，上，且滿足，證明：7（試題，去掉了條件）設在中，有一圓內(nèi)切于的外接圓，且與和分別切于點和證明：點和連線的中點是的內(nèi)切圓圓心8（2005年捷克波蘭斯洛伐克競賽題）設凸四邊形的外接圓和內(nèi)切圓的圓心分別為、，對角線、相交于點證明：、三點共線9(2006年第9屆香港數(shù)學奧林匹克題)凸四邊形的外接圓的圓心為，已知，與交于點若為四邊形內(nèi)部一點，使得，求證：、三點共線10（2003年國家集訓隊培訓題）在等腰直角中，為的中點，、為上另兩點，為的外接圓和的外接圓的另