高數(shù)期中試題和解答

1、武漢大學(xué)電信學(xué)院20092010學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷1（6分）求過點且與直線垂直相交的直線方程。2（6分）給出平面與二次曲面相切的條件并說明理由。3（12分）設(shè)函數(shù)，問在原點處：（1）偏導(dǎo)數(shù)是否存在？（2）偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？（3）是否可微？均說明理由。4（6分）設(shè)，其中為可微函數(shù)，且，試證明：。5（6分）設(shè)方程確定可微函數(shù)，求。6（9分）設(shè)函數(shù)滿足且，求，。7（8分）已知點與，在平面上求一點M，使得最小。8（6分）設(shè)是矩形域：，計算二重積分。9（6分）計算積分，其中是由平面與三個坐標(biāo)面所圍成的空間區(qū)域。10（6分）設(shè)空間區(qū)域，求。11（6分）計算，其中是由曲線在第一象限中所圍成的區(qū)域

2、。12（6分）設(shè)為連續(xù)函數(shù),且，證明：。13（8分）求直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并求該曲面與所包圍的立體的體積。14（6分）設(shè)一球面的方程為，從原點向球面上任一點Q處的切平面作垂線，垂足為點P，當(dāng)點Q在球面上變動時，點P的軌跡形成一封閉曲面S，求此封閉曲面S所圍成的立體的體積。15（3分）設(shè)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且二元函數(shù)滿足 ，求在的最大值。1、解：過已知點與已知直線垂直的平面方程為： 求出已知直線與該平面的交點為，直線MN即為所求，其方程為：2、解：設(shè)平面與曲面相切的切點為，則有，消去得所求條件為：，當(dāng)分母為零時，分子相應(yīng)也為零。3、解：（1）； 。 （2）當(dāng)時， 因為，所以 同理

3、所以兩個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù). (3)因為的兩個偏導(dǎo)數(shù)在點均連續(xù)，所以在點 可微.4、解： 則5、方程兩邊微分得：， 整理得：，所以 .6、在兩邊對求導(dǎo)得： , 將條件代入上式得：， 在兩邊對求導(dǎo)得： 在兩邊對求導(dǎo)得： 聯(lián)立（1）（2）兩式并注意到解得： 說明：此題應(yīng)該加上條件：具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).7、解：首先將點的坐標(biāo)代入計算出結(jié)果均小于，所以點位于平面的同側(cè). 過點P且與平面垂直的直線方程為， 該直線與已知平面的交點為，由中點公式可求出點關(guān)于已知平面的對稱點為，于是，從而過點和點的直線方程為，此直線與平面的交點為，點M即為所求.8、作直線將積分區(qū)域分成兩部分，其中 原式= （用到輪換對稱性） 9

4、、解： 10、解：注意積分區(qū)域關(guān)于平面對稱，關(guān)于為奇函數(shù)，故 11、解：令，則曲線方程為：，的范圍為，于是12、證明：右邊 令，即，則，記,右邊（輪換對稱性） 左邊.13、設(shè)點為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點，它由直線上的點繞軸旋轉(zhuǎn)得到，則有，消去得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：（用切片法計算所求體積:)14、設(shè)點為曲面上任一點，點為球面上任一點，則有：球面在點的法向量為點切在切平面上，即：由垂直于切平面有：聯(lián)立（1）（2）（3）消去得曲面方程為：該曲面的球面方程為，從而體積為：.15、解：， 同理可得：代入條件整理得：記，上式寫為：，這是一個以為自變量，為未知函數(shù)的歐拉方程.令，則，代入歐拉方程得：這是一個以為自變量，為未知函數(shù)的二階常系數(shù)線性齊次微分. 其特征方程為：，特征根為，從而（2）的通解為,變量代會得到（1）的通解為：，代入初始條件得：，故