【條件】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)免費(fèi)

1、文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持【關(guān)鍵字】條件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念.樣本空間、隨機(jī)事件.事件間的關(guān)系 A B 則稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生A B xx A或x B稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A, B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B xx A且x B稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng) A, B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A- B xx A且x B稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B ,則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件 A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是

2、兩兩互不相容的A B S且A B ,則稱事件 A與事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件.運(yùn)算規(guī)則交換律ABBAABBA結(jié)合律(A B) C A (B C)(A B)C A(B C)分配律 A (B C) (A B) (A C) 德摩根律 AB A B AB A B3.頻率與概率定義 在相同的條件下，進(jìn)行了 n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的次數(shù) 3稱為事A件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A), 稱為事件的概率.概率P(A)滿足下列條件:(1)非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件 A 0 P(A)

3、 1(2)規(guī)范性：對(duì)于必然事件S P(S) 1nn(3)可列可加性：設(shè)A1, A2, ,An是兩兩互不相容的事件， 有P( Ak)P(Ak)(n可k 1k 11文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持以取 ).概率的一些重要性質(zhì): P( ) 0(ii)若A,A2, ,An是兩兩互不相容的事件，則有nP( Ak)k 1nP(Ak) ( n可以取 )k 1(iii)設(shè)A, B是兩個(gè)事件若 A B,則P(B A)P(B) P(A), P(B) P(A)(iv)對(duì)于任意事件 A, P(A) 1(v) P(A) 1 P(A)(逆事件的概

4、率)(vi)對(duì)于任意事件 A, B有P(AB)P(A) P(B) P(AB) 4等可能概型(古典概型)等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同若事件 A 包含 k 個(gè)基本事件，即A e e e ,里 i1i2ik ),ik是12 n中某k個(gè)不同的數(shù)，則有kP(A) Peijj 1 一kA包含的基本事件數(shù)nS中基本事件的總數(shù) 5.條件概率定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A) 0,稱P(B|A) 迪 為事件A發(fā)生的條P(A)件下事件B發(fā)生的條件概率條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1非負(fù)性：對(duì)于某一事件 B ,有P(B | A) 02。規(guī)范性：對(duì)于必然事件 S, P

5、(S| A) 13可列可加性：設(shè)B1, B2,是兩兩互不相容的事件，則有P( Bi A )P(Bi A )i 1i 1乘法定理設(shè)P(A) 0,則有P(AB) P(B)P(A| B)稱為乘法公式n全概率公式：P(A)P(Bi)P(A| Bi)i 12文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持貝葉斯公式: 6.獨(dú)立性P(Bk | A)P(Bk)P(A|Bk)-nP(Bi)P(A|Bi)i 1定義 設(shè)A, B是兩事件，如果滿足等式 P(AB) P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立定理一 設(shè)A, B是兩事件，且P(A) 0,若A,

6、B相互獨(dú)立，則P(B| A) P B一 一 一 一定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與B,A與B,A與B第二章隨機(jī)變量及其分布 1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S e. X X(e)是定義在樣本空間 S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X X(e)為隨機(jī)變量 2離散性隨機(jī)變量及其分布律.離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨 機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量P(X Xk) Pk滿足如下兩個(gè)條件(1) Pk 0,(2)Pk=1k 1.三種重要的離散型隨機(jī)變量(1)分布設(shè)隨機(jī)變量 X 只能取 0 與 1 兩個(gè)值，它的分布律是P(X k) pk(1-p)1-

7、k, k 0,1 (0 p 1),則稱X服從以P為參數(shù)的Q-l)分布或兩 點(diǎn)分布。(2)伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布一設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A 與A ,則稱 E為伯努利實(shí)驗(yàn),設(shè)一P(A) p(0 p 1),此時(shí)P(A) 1-p,將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行 n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。nP(X k) pq , k 0,1,2, n 滿足條件(1) pk 0, (2)Pk =1 注意kk 1到n pkqn-k是二項(xiàng)式(p 4)”的展開(kāi)式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)k為n, p的二項(xiàng)分布。 (3)泊松分布3文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集

8、整理,word版本可編輯.歡迎下載支持設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率為k -P(X k) e ,k 0,1,2 ，其中 0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為k!X -() 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) F(x) PX x,- x稱為X的分布函數(shù) 分布函數(shù)F(x) P(X x),具有以下性質(zhì)(1) F(x)是一個(gè)不減函數(shù) (2)0 F(x) 1,且5() 0,F( ) 1(3) F(x 0) F (x)，即 F (x)是右連續(xù)的 4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F (x),存在非負(fù)可積函數(shù)f

9、(x),使x對(duì)于任意函數(shù) x有F(x) f (t) dt,則稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X-的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度f(wàn) (x)dx 1 ；1概率密度f(wàn)(x)具有以下性質(zhì)，滿足(1) f(x) 0,(2)_x2 一 (3) P(xX x2) f(x)dx； (4)若 f(x)在點(diǎn) x 處連續(xù)，則有 F (x) f (x)x12,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X具有概率密度f(wàn) (x)均勻分布記為X - U (a, b)(2)指數(shù)分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)1b- a0-e-xx.b ,則成X在區(qū)間(a,b)上服從其中0為常數(shù)，則稱X其他

10、服從參數(shù)為的指數(shù)分布。(3)正態(tài)分布若 連 續(xù) 型 隨 機(jī).(x )21-2f (x)/ e ，- x的 概 率 密 度 為其中0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布，記為4文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持,2、X N (,)特別，當(dāng) 0,1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理 設(shè)隨機(jī)變量g,(x) 0 ,則fY(y)fX h(y)0X具有概率密度 fx(x),- x，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為h,(y), y,其他第三章多維隨機(jī)變量 1二維

11、隨機(jī)變量定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 S e. X X(e)和YY(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，稱 X X(e)為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量( X, Y)叫做二維隨機(jī)變量設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x , y ,二元函數(shù) F (x, y) P(X x) (Y y)PX x, Y y稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)的 分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量(X, Y)全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，則稱( X, Y)是離散型的隨機(jī)變量。我們稱P(X xi, Y y。pu，i, j 1,2,為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F (x,

12、 y),如果存在非負(fù)可積函數(shù) f (x,y),y x使對(duì)于任意x, y有F (x, y) f (u, v) dudv,則稱(X, Y)是連續(xù)性的隨機(jī)變量，-函數(shù)f (x, y)稱為隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。 2邊緣分布二維隨機(jī)變量(X, Y)作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)F (x, y),而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為FX(x), FY(y),依次稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。Pi?PijPX xj, i 1,2,p?jpjPYyj, j 1,2,j 1i 1分別稱Pi? p?j為(X, Y)關(guān)于X和關(guān)于

13、Y的邊緣分布律。5文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持fx (x) f (x, y) dyfy(Y)f (x, y) dx 分別稱 fX (x),fY (y)為x , 丫關(guān)于x和關(guān)于y的邊緣概率密度。 3條件分布定義 設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j,若 PYyj 0,PX xi,Y yj 則稱 PX XiY yjPY yj1,2,隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣PY yj XXiP?j為在丫 yj條件下PX x,YPX xjyj也1,2, Pi?為在X X條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X

14、, Y )的概率密度為f(x, y), (X, Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y),若對(duì)于固定的v, fY(y)0,則稱3為在Y=yfY(y)的條件下X的條件概率密度，記為 fXY(xy) =f(x, y)fY(y) 4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X, Y)的分布函定義設(shè)F (x, y)及FX(x), FY(y)分別是二維離散型隨機(jī)變量(數(shù)及邊緣分布函數(shù)若對(duì)于所有x,y有PX x,Y y PX xPYFx,y Fx (x)Fy (y), 則稱隨機(jī)變量 X和Y是相互獨(dú)立的。對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X , Y) , X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0 5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二

15、維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn) (x, y),則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為fx y (z) f (z y, y) dy或fx y (z) f (x, z x) dx又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X, Y)關(guān)于X, Y的邊緣密度分別為 fX (x), fY(y)則fx y(z)fx(z y) fY(y)dy 和 fx y(z) fx(x) fy(z x)dx這兩個(gè)公式稱為fx , fY的卷積公式6文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y ，Z 一的分布、Z X

16、Y的分布X一八，一，、一、,Y設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn)(x,y),則Z ，Z XYX仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為，、，、,，、1 ，z、 . 一、一fY X (z) xf(x, xz)dx fXY(Z)1f (x,)dx又右 X 和丫相互獨(dú)立，設(shè)(X, Y)岡 x關(guān)于X, 丫的邊緣密度分別為 fX (x), fY(y)則可化為fY.X (z)f X (x) fY (xz)dxfXY(z)IfX (x)fY(-)dxxx3M maxX , Y及N minX,Y的分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX (x),FY(y)由于M maxX ,

17、 Y不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有PM z PX z,Y z又由于X和丫相互獨(dú)立，得到 M maxX , Y的分布函數(shù)為Fmax(z) FX(z)FY(z)N minX,Y的分布函數(shù)為 Fm. (z) 1 1 Fx(z) 1 FY(z)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 .數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為PXxkPk, k=1,2,若級(jí)數(shù)xkPk絕對(duì)k 1收斂，則稱級(jí)數(shù)xkPk的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即E(X)xkPkk 1i設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x),若積分xf(x) dx絕對(duì)收斂，則稱積分xf(x)dx的值為隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即E

18、(X) xf(x)dx定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y= g (X) (g是連續(xù)函數(shù))如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為PX xk pk,k=1,2,若g(xk)pkk 17文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持絕對(duì)收斂則有 E(Y) E(g(X)g(xk)pkk 1(ii )如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為 f(x), 若g(x) f (x)dx絕對(duì)收斂則有 E(Y) E(g(X) g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有E(C) C2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX) CE(X)3設(shè)X,

19、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X Y) E(X) E(Y);4設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY) E(X)E(Y) 2方差定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若 E X E(X) 2存在，則稱E X E(X)2為X的方差，記為D (x)即D (x) =E X E(X)2,在應(yīng)用上還引入量 D(x),記為(x),稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有D(C) 0,2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有 D(CX) C2D(X), D(X C) D(X)3 設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X Y) D(X) D(Y) 2E(X - E(X)(Y - E(Y)特別，若X,丫相互獨(dú)立

20、，則有 D(X Y) D(X) D(Y)4D(X) 0的充要條件是 X以概率1取常數(shù)E(X),即PX E(X)1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望E(X) 2,則對(duì)于任意正數(shù)，不等式2PX- | 行成立 3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量EX E(X) Y E(Y)稱為隨機(jī)變量 X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y),即Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)8文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持Cov(X, Y) -、口 ,而XY.(-稱為隨機(jī)變量 X和Y的相關(guān)系數(shù)D(X) D(Y)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和Y, D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)協(xié)方差具有下述性質(zhì)lCov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)2Cov(Xi X2,Y) Cov(Xi,Y) Cov(X2,Y)定理 1 丫 1 XY2| xy|1的充要條件是，存在常數(shù) a,b使PY a bx 1當(dāng) XY 0時(shí)，稱X和丫不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望力差兩點(diǎn)分布PX k) pk(1 p)1k,k 0,1,二項(xiàng)式分布P(X k)C；pk(1 p)nk,k 0,1, n,泊松分布幾何分布均勻分布1。卜,/