如何用二分法求方程的正確近似解

1、 如何用二分法求方程的正確近似解1.函數(shù) 有零點(diǎn)嗎？你怎樣求其零點(diǎn)？2.對(duì)于高次多項(xiàng)式方程，在十六世紀(jì)已找到了三次和四次方程的求根公式，但對(duì)于高于4次的方程，類似的努力卻一直沒有成功. 到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認(rèn)識(shí)到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，即不存在用四則運(yùn)算及根號(hào)表示的一般的公式解同時(shí)，即使對(duì)于3次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜，一般來(lái)講并不適宜作具體計(jì)算因此對(duì)于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法. 提出問(wèn)題思考1:有12個(gè)大小相同的小球，其中有11個(gè)小球質(zhì)量相等，另有一個(gè)小球稍重，用天平稱幾次就

2、可以找出這個(gè)稍重的球？ 思考2:已知函數(shù) 在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)，你有什么方法求出這個(gè)零點(diǎn)的近似值？ 知識(shí)探究(一)：二分法的概念思考3:怎樣計(jì)算函數(shù) 在區(qū)間（2，3）內(nèi)精確到0.01的零點(diǎn)近似值？ 區(qū)間（a，b） 中點(diǎn)值mf（m）的近似值精確度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.562 50.0660.125（2.5，2.562 5）2.531 25-0.0090.0625（2.531 25，2.562 5）2.546 8750.0290.03125（2.531 25，2.5

3、46 875）2.539 062 50.010.015625（2.531 25，2.539 062 5）2.535 156 250.0010.007813思考4:上述求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？ 提示：對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法. 思考1:求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值第一步應(yīng)做什么？ 思考2:為了縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的范圍，接下來(lái)應(yīng)做什么？ 提示：確定區(qū)間a,b，使 f(a)f(b)0 提示：求區(qū)間的中點(diǎn)c，并計(jì)算

4、f(c)的值 知識(shí)探究(二)：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟思考3:若f(c)=0說(shuō)明什么？若f(a)f(c)0或f(c)f(b)0 ，則分別說(shuō)明什么？ 若f(c)=0 ，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若f(a)f(c)0 ，則零點(diǎn)x0(a,c)；若f(c)f(b)0 ，則零點(diǎn)x0(c,b).提示： 思考4:若給定精確度，如何選取近似值？ 提示：當(dāng)|mn|時(shí)，區(qū)間m，n內(nèi)的任意一個(gè)值都是函數(shù)零點(diǎn)的近似值. 思考5：對(duì)下列圖象中的函數(shù)，能否用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值？為什么？xyoxyo考點(diǎn)一： 二分法的概念理論遷移例1下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()精解詳析利用二分法

5、求函數(shù)零點(diǎn)，必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)在B中，不滿足f(a)f(b)0，不能用二分法求零點(diǎn).因?yàn)锳、C、D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn)答案B1函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，函數(shù)f(x)的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0B1C4 D3解析：由圖可知，圖象與x軸有4個(gè)公共點(diǎn)，有3個(gè)穿過(guò)x軸，所以共有4個(gè)零點(diǎn)，其中有3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)答案：D2下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是()A用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C二分法無(wú)規(guī)律可循D只有在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法答案：B3用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)的零點(diǎn)時(shí)，需要的條件是 ()f(x)的圖像在區(qū)間

6、a，b上是連續(xù)不斷的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.A BC D答案：A例2用二分法求函數(shù)f(x)x3x1在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度0.01)考點(diǎn)二： 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值精解詳析經(jīng)計(jì)算f(1)0，所以函數(shù)在1,1.5內(nèi)存在零點(diǎn)x0.取(1,1.5)的中點(diǎn)x1，經(jīng)計(jì)算f(1.25)0.因?yàn)閒(1.5)f(1.25)0，所以x0(1.25,1.5)如此繼續(xù)下去，如下表：區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)近似值(1,1.5)1.250.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08(1.312

7、 5,1.343 75)1.328 1250.01(1.312 5,1.328 125)1.320 312 50.02因?yàn)閨1.328 1251.320 312 5|，所以函數(shù)f(x)x3x1精確度為的一個(gè)近似零點(diǎn)可取為1.328 125.一點(diǎn)通1用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)遵循的原則 首先要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要包含所求的零點(diǎn)，又要使其長(zhǎng)度盡量??；其次要根據(jù)給定的精確度，及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)的差的絕對(duì)值是否小于精確度(精確到給定的精確度)，以決定是停止還是繼續(xù)計(jì)算2用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，可借助于計(jì)算器完成計(jì)算.在計(jì)算時(shí)可用表格或數(shù)軸清晰地描述逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間的過(guò)程.在區(qū)間長(zhǎng)

8、度小于精確度的時(shí)候，運(yùn)算結(jié)束，區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都可作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值4用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算f(0)0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_以上橫線應(yīng)填的內(nèi)容分別為()A(0,0.5)f(0.25) B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75) D(0,0.5)f(0.125)解析：因?yàn)閒(0)0，故x0(0,0.5).依二分法，第二次應(yīng)計(jì)算f(0.25)答案：A5證明方程63x2x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，并求出這個(gè)實(shí)數(shù)解(精確度0.1)證明：設(shè)函數(shù)f(x)2x3x6.f(1)10，又f(x)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間(1

9、,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則方程63x2x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解設(shè)該解為x0，則x0(1,2).取x1，則f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)取x3，則f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0.x0(1.125,1.25)取x41.187 5，則f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，不合格記為f(x)0.因?yàn)閒(0)0，先取0,16的中點(diǎn)，即x8，用含貴重金屬比例8%的配方生產(chǎn)一次，如果產(chǎn)品合格，即f(8)0，則要在0,8內(nèi)再進(jìn)行試驗(yàn)；如果產(chǎn)品不合格，即f(8)0，取0,8的中點(diǎn)x4，用含貴重金屬比例4%的配方生產(chǎn)一次，如果產(chǎn)品合格，即f(4)0，則要在0,4范圍內(nèi)再進(jìn)行試驗(yàn)；如果產(chǎn)品不合格，即f(4)0，則要