（歐陽(yáng)新龍）中數(shù)數(shù)學(xué)試題的編制技術(shù)

1、中學(xué)數(shù)學(xué)試題的 編制技術(shù)湖南省教科院 歐陽(yáng)新龍郵箱：上篇： 常見三類數(shù)學(xué)題型的編制 目前，各級(jí)各類考試常見的數(shù)學(xué)試題類型，有選擇題（單項(xiàng)選擇題）、填空題、判斷題（正誤題或是非題）、簡(jiǎn)答題、圖形操作題、 證明題 、計(jì)算題、綜合探究題等等。一、選擇題的編制 選擇題是近些年發(fā)展起來(lái)的題型，在各級(jí)各類考試中占的比例比較大，它的主要功能有： 1.答案的客觀性，無(wú)論是單項(xiàng)選擇題，還是多項(xiàng)選擇題，答案是公開確定的，它不因任何外界條件的變化而改變，具有嚴(yán)格的客觀標(biāo)準(zhǔn)。 2.內(nèi)容的靈活性，對(duì)各類數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式和法則，進(jìn)行變形與變式，將可能發(fā)生的典型錯(cuò)誤都在題中表現(xiàn)出來(lái)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力，在選

2、擇題的編制上也十分靈活，可以用計(jì)算表示的定量選擇題；可以用觀察推理判斷定性選擇題；可以將二者結(jié)合起來(lái)的定量與定性相結(jié)合選擇題等。 3.方法的多樣性，是指學(xué)生答選擇題的技術(shù)，可用直接判斷法，如推理法、觀察法、計(jì)算法、分析法、猜測(cè)法、賦特殊值法、挑選法等，可用間接篩選法，如淘汰法、驗(yàn)證法、逆推法等。 4.知識(shí)的全面性，是指考查的知識(shí)點(diǎn)較多，題目的包容量較大，一道較理想的選擇題，可以考查四個(gè)以上的知識(shí)。 5.評(píng)卷的先進(jìn)性，是指對(duì)選擇題的評(píng)判?？梢杂脵C(jī)器評(píng)分和統(tǒng)計(jì)，這樣，不僅增加了評(píng)卷的準(zhǔn)確性，而且節(jié)省了人力，學(xué)生答題方便，節(jié)省答題時(shí)間，提高答題效率。 相應(yīng)的選擇題也帶來(lái)一些弊端，比如，無(wú)法考查學(xué)生的

3、解題過(guò)程，無(wú)法避免盲目猜答案的現(xiàn)象，如果考場(chǎng)不嚴(yán)，選擇題為抄襲提供了方便。 選擇題由兩個(gè)部分構(gòu)成，即題干部分和選擇支部分。 題干一般指構(gòu)成數(shù)學(xué)命題的前題條件，是用不完整的語(yǔ)句表示，有時(shí)候，用疑問式命題表示，這是完整的陳述句。 例如,“下面的四個(gè)命題中，正確的是（ ）”，屬于疑問式的完整陳述句。 也有用否定語(yǔ)句作題干的，如“下面語(yǔ)句不正確的是（ ）”就是否定句。 選擇支是題干的補(bǔ)充，是命題的結(jié)論部分。其中有正確與不正確兩類，正確支是答案，不正確支是干擾支，起迷惑作用。選擇題的編制是一項(xiàng)很細(xì)致的艱苦工作，它要求挖掘知識(shí)的深廣度，了解學(xué)生掌握知識(shí)的偏差和出現(xiàn)易混易錯(cuò)問題的傾向。同時(shí)，也應(yīng)注意那些常被

4、忽略的隱含條件，這是提供對(duì)選擇支的設(shè)計(jì)很充分的依據(jù)。例題 下列三角形不全等的是（ ） A.有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形 B.有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形 C.斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形 D.三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形 點(diǎn)評(píng)：四個(gè)選擇支相互有干擾，要求學(xué)生對(duì)全等三角形的判定定理相當(dāng)熟悉才能解答。 二、填空題的編制填空題又叫填充題，它只要求在題目的空白處填上適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句（或代數(shù)式），而不要求對(duì)所填充的內(nèi)容作任何解釋。填空題的形式很靈活，無(wú)論是答題人還是評(píng)卷人，都能一目了然的回答與評(píng)分。在一個(gè)填空題里，可以有一處空白，也可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的空白。空白處的位置可以安排在題目的最后，也

5、可以安排在題目的中間，還可以安排在題目的前面。例題： （1）計(jì)算方程 的兩個(gè)根的等差中項(xiàng)與兩個(gè)根的等比中項(xiàng)的乘積等于。 （2）函數(shù) （3）（ ）由于填空題要求的是對(duì)正確答案的回憶，所以它適用于知識(shí)層次教學(xué)目標(biāo)的測(cè)量。編制填空題時(shí)應(yīng)注意下面幾點(diǎn)： 1.填充的內(nèi)容應(yīng)該是關(guān)鍵字詞，并要求與上下文有密切聯(lián)系。 2.一道填空題中不宜有過(guò)多長(zhǎng)的空白，而且空白處所填的內(nèi)容必須是唯一的。 3.如果是計(jì)算題的填空，計(jì)算量不宜復(fù)雜，切勿將綜合題變?yōu)樘羁疹}。 三、解答題的編制解答題包含了簡(jiǎn)答題、作圖題、計(jì)算題、證明題、綜合題等等。下面我們只講兩類。 1.計(jì)算題的編制 計(jì)算題又稱運(yùn)算題，它是根據(jù)數(shù)學(xué)（包括算術(shù)、代數(shù)、

6、三角、幾何）中各種運(yùn)算法則、運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、分配律）、公式、性質(zhì)、公理、定理、運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法（包括因式分解法，待定系數(shù)法、配方法，排列組合法，數(shù)形結(jié)合與化歸等思想）進(jìn)行數(shù)與式的運(yùn)算。數(shù)學(xué)的計(jì)算貫穿數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容，涉及的知識(shí)相當(dāng)廣泛，可以說(shuō)沒有計(jì)算就沒有數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的計(jì)算題是人們最熟練的古老的題型，從數(shù)學(xué)產(chǎn)生的那天起，就以計(jì)算作為它的主要工具，因此，計(jì)算題從最低的運(yùn)算層次（一位數(shù)的加法）到最高層最復(fù)雜的運(yùn)算層次（運(yùn)用大型計(jì)算機(jī)計(jì)算），中間的環(huán)節(jié)十分復(fù)雜，但是，對(duì)于小學(xué)、初中、高中所涉及到的計(jì)算題，在題型構(gòu)造上并不復(fù)雜，比起選擇題、證明題、綜合題、它是比較容易編制的，只是在編制計(jì)

7、算題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）為加強(qiáng)對(duì)學(xué)生訓(xùn)練與鞏固應(yīng)用新知識(shí)而編制的計(jì)算題，數(shù)字不宜復(fù)雜，運(yùn)算量也不要過(guò)大。（2）各級(jí)各類考試的試題，計(jì)算題是最重要的題型之一。要充分體現(xiàn)反映學(xué)生的運(yùn)算能力，要求技能性較高，運(yùn)算數(shù)字要適合實(shí)際，多著眼于運(yùn)用公式簡(jiǎn)便運(yùn)算。例如：計(jì)算： ，可以用平方差公式速算。（3）編制計(jì)算題必須有唯一確定的運(yùn)算結(jié)果，如果出現(xiàn)含有無(wú)理數(shù)或循環(huán)小數(shù)的結(jié)果，必須注明要求的精確或有效數(shù)字。（4）密切結(jié)合實(shí)際，防止為了計(jì)算而計(jì)算，聯(lián)系實(shí)際的問題，無(wú)論是題設(shè)條件，還是最后計(jì)算的結(jié)果，所涉及的數(shù)字必須與實(shí)際相符，防止主觀脫離實(shí)際的臆造數(shù)字。（5）計(jì)算題與化簡(jiǎn)結(jié)合起來(lái)，注意各種數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)

8、用，計(jì)算的過(guò)程是數(shù)學(xué)優(yōu)化的過(guò)程，因此，注意過(guò)程的優(yōu)化組合，防止枯燥的單調(diào)重復(fù)的計(jì)算。2.證明題的編制根據(jù)已知的真命題 ，運(yùn)用正確的推理方法和一系列邏輯程序（包括演繹推理、歸納推理、類比推理），論證所給命題的真實(shí)性。證明題是數(shù)學(xué)試題中比較高層次的要求，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本理論作為證明的基礎(chǔ)，還要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法和證明方法，進(jìn)行邏輯推理，最后，使結(jié)論獲得準(zhǔn)確無(wú)疑的證明。證明題受年齡和學(xué)歷的限制，如果年齡與學(xué)歷達(dá)不到證明題要求的程度，學(xué)生會(huì)感到束手無(wú)策。證明題在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，以幾何作為起點(diǎn)，逐步擴(kuò)展到代數(shù)領(lǐng)域，最后將代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成解析幾何，這是證明題比較集中的學(xué)科，因此，對(duì)證明題的編制，首先

9、注意到年齡特征和可接受性上。其次，還要遵循以下幾方面： （1）注意證明題的結(jié)構(gòu)，一般地由已知與求證兩方面構(gòu)成。已知條件必須明確，條件既不能過(guò)剩，也不能不足，條件與結(jié)論通過(guò)中間環(huán)節(jié)建立必然聯(lián)系。（2）證明題有兩種表達(dá)方式，一種用語(yǔ)言陳述，一種用數(shù)學(xué)符號(hào)（結(jié)合數(shù)學(xué)圖形）表示。前者要求準(zhǔn)確、精練；后者要求文圖統(tǒng)一，清晰，明了。（3）因?yàn)樽C明離不開推理與論證，所以，在編制證明題的同時(shí)，必須考慮證明的方法，采用哪種推理，這些內(nèi)容是不是學(xué)生所熟悉的等，特別是作為重大考試時(shí)，證明題的范圍僅限于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的，任何超越數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)限制的證明題，都達(dá)不到考試的目的。（4）證明題一般地分直接證明和間接證明兩類

10、，直接證法是根據(jù)論據(jù)，從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一次或幾次推理，使結(jié)論獲證。在幾何題證明中，常常用到演繹三段論進(jìn)行直接推理證明。除直接證明外，就是間接證明，如分析法、綜合法、完全歸納法、反證法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法等，一個(gè)好的證明題，不能僅限于一種證明方法，應(yīng)該有兩種或兩種以上的證明方法，既能用直接證法，又能用間接證法。這些在編制證明題時(shí)，都是不應(yīng)該忽視的條件。（5）證明題必須符合邏輯要求，遵循形式邏輯的基本規(guī)律。（6）可以借鑒課本中的證明題進(jìn)行變化，推廣引伸，即將具體問題的結(jié)論推廣到一般問題的結(jié)論，構(gòu)成新的證明題 。此外，可以把原命題改為等價(jià)命題；或把原命題類比同類新命題；或把命題的結(jié)論與條件互換，

11、變成它的逆命題 等?？傊幹谱C明題 必須全面考慮，避免各類錯(cuò)誤發(fā)生。例題（郴州市試題）如圖1，矩形ABCD中，AB3，BC4，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)停止移動(dòng)。平移中EF與BC交于點(diǎn)N，GH與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EH與DC交于點(diǎn)P，F(xiàn)G與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q. 設(shè)S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積。（1） S與 相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由;（2）設(shè)AEx，寫出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x取何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？（3）如圖2，連結(jié)BE，當(dāng)AE為何值時(shí)， 是等腰三角形。圖1圖2評(píng)析: 平移和

12、旋轉(zhuǎn)是“空間圖形”的一個(gè)重要內(nèi)容。本題將這一內(nèi)容放在一個(gè)動(dòng)態(tài)的背景中，要求學(xué)生在運(yùn)動(dòng)和變化的過(guò)程中把握?qǐng)D形的幾何特征，既關(guān)注幾何圖形的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，也關(guān)注幾何圖形運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。下篇：中學(xué)數(shù)學(xué)試題的編制技術(shù)數(shù)學(xué)試題的來(lái)源（一） 1.源于經(jīng)驗(yàn)，來(lái)自外部世界的實(shí)際現(xiàn)象； 2.來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部借助于邏輯組合、一般化、特殊化、巧妙地對(duì)概念進(jìn)行分析和綜合，提出新的問題（希爾伯特）。 綜合來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)試題的來(lái)源現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)自身。數(shù)學(xué)試題的來(lái)源（二） 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提煉、升華、運(yùn)用。一、源于經(jīng)驗(yàn)，來(lái)自外部世界的實(shí)際現(xiàn)象問題1：我國(guó)是一個(gè)水資源很貧乏的大國(guó)，人均水資源占有量只有2400立方米，是世界人均水資源占有量的1/4

13、.為了節(jié)約用水，我國(guó)各地基本都規(guī)定居民用水標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)之內(nèi)和標(biāo)準(zhǔn)之外的價(jià)錢是不一樣，而且相差較大。數(shù)學(xué)問題之一： 為了節(jié)約用水，某市制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定三口之家每月標(biāo)準(zhǔn)用水量，不超標(biāo)部分每立方米水費(fèi)是1.8元，超標(biāo)部分每立方米水費(fèi)是4.5元.孫先生八月份用水11立方米，繳水費(fèi)27.9元. （1）問該市規(guī)定的三口之家每月標(biāo)準(zhǔn)用水量是多少立方米？ （2）已知孫先生繳水費(fèi)13.5元，求出孫先生六月 份的用水量； （3）孫先生決心采取措施節(jié)約用水，每月平均少用水2立方米，結(jié)果過(guò)去一年的用水現(xiàn)在可多用3個(gè)月.求現(xiàn)在孫先生每月平均用水量。數(shù)學(xué)問題之二：某水池有甲、乙、丙三開關(guān)，乙輸水量為每小時(shí)6噸，圖是從

14、早晨8點(diǎn)開始水池水的增加量y（噸）與時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)圖象，其中 OA段只開甲、丙開關(guān)，AB段只開乙、丙開關(guān)，BC段只開甲、乙開關(guān)（1）問水池水量增加2噸，需要幾小時(shí)？ （2）問甲、乙、丙三開關(guān)誰(shuí)是進(jìn)水開關(guān)，誰(shuí)是出水開關(guān)？ （3）若甲、乙、丙三開關(guān)同時(shí)工作，2小時(shí)，水池的容量有什么變化？賞析：節(jié)約用水應(yīng)是全面皆知的常識(shí)，立足于學(xué)生熟悉生活常識(shí)為背景，以方程和函數(shù)等核心知識(shí)為載體考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和基本的數(shù)學(xué)建模能力。問題2：木工經(jīng)常用兩塊寬度相等的木板拼接的測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)量數(shù)學(xué)問題：如圖是由四塊寬度相等的木板拼接而成的直角梯形框架，試確定1、2、3、4的大小或關(guān)系，并說(shuō)明理由.賞析：本題以木工

15、使用的測(cè)量工具為現(xiàn)實(shí)背景，考查學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋其工具使用的原理，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用意識(shí)。問題三：數(shù)學(xué)原理算數(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 隨著市場(chǎng)開放，所有商品隨行就市，商品價(jià)格時(shí)漲時(shí)降。下面是購(gòu)買某種常用商品（例如糧食、雞蛋等日常用品）的兩種方式：（1）每次購(gòu)買的數(shù)量不變；（2）每次購(gòu)買的金額不變.試比較這兩種方式中，哪一種更合算？問題四：現(xiàn)實(shí)生活航海、巡邏、追擊、相遇運(yùn)動(dòng)等等編制成的數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題之一：一艘緝私艇從港口出發(fā)沿著北偏東34方向行駛. 2小時(shí)后改變航向， 沿著南偏東40方向行駛. 3小時(shí)后，又改變航向，沿著南偏西20方向行駛. 1小時(shí)后，在位置

16、P處發(fā)現(xiàn)一艘走私船.問：（1）第一次改變航向時(shí)，緝私艇的前進(jìn)方向轉(zhuǎn)了多少度角？（2）第二次改變航向時(shí)，緝私艇的前進(jìn)方向又轉(zhuǎn)了多少度角？（3）現(xiàn)在緝私艇準(zhǔn)備押解走私船從P處返回港口. 假設(shè)緝私艇的航速一直不變，試畫出緝私艇從港口出發(fā)直到返回港口的全部航線圖，并根據(jù)這張航線圖近似求出：緝私艇應(yīng)沿什么方向行駛（可以使用量角器）？需要幾小時(shí)返回港口（可以使用有刻度的直尺度量）？.數(shù)學(xué)問題之二：閱讀下列材料：“父親和兒子同時(shí)出去晨練。如圖，實(shí)線表示父親離家的路程y(米)與時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)圖象；虛線表示兒子離家的路程y(米)與時(shí)間x(分鐘)的圖象。由圖象可知，他們?cè)诔霭l(fā)10分鐘時(shí)經(jīng)一次，此時(shí)離家400

17、米；晨練了30分鐘，他們同時(shí)到家?！?根據(jù)閱讀材料給你的啟示，利用指定的直角坐標(biāo)系(如圖)或用其他方法解答問題：一巡邏艇和一貨輪同時(shí)從A港口前往相距100千米的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100千米/時(shí)和20千米/時(shí)，巡邏艇不停的往返于A、B兩港口巡邏(巡邏艇調(diào)頭的時(shí)間忽略不計(jì))。貨輪從A港口出發(fā)以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次？出發(fā)多少時(shí)間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時(shí)離A港口多少千米？ 數(shù)學(xué)問題之三：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩段河渠，所挖河渠的長(zhǎng)度與挖掘時(shí)間之間的關(guān)系如圖，請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：（1）乙隊(duì)開挖到30m時(shí)，用了h開挖6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了m；（2）請(qǐng)你

18、求出：甲隊(duì)在的時(shí)段內(nèi)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；乙隊(duì)在的時(shí)段內(nèi)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)為何值時(shí)，甲、乙兩隊(duì)在施工過(guò)程中所挖河渠的長(zhǎng)度相等？數(shù)學(xué)問題之四：某物流公司的快遞車和貨車每天往返于A、B兩地，快遞車比貨車多往返一趟圖11表示快遞車距離A地的路程（單位：千米）與所用時(shí)間（單位：時(shí)）的函數(shù)圖象已知貨車比快遞車早1小時(shí)出，到達(dá)B地后用2小時(shí)裝卸貨物，然后按原路、原速返回，結(jié)果比快遞車最后一次返回A地晚1小時(shí)請(qǐng)?jiān)趫D11中畫出貨車距離A地的路程（千米）與所用時(shí)間(時(shí))的函數(shù)圖象；(2) 求兩車在途中相遇的次數(shù)（直接寫答案）；(3) 求兩車最后一次相遇時(shí)，距離A地的路程和貨車從A地出發(fā)了幾小時(shí)(時(shí))

19、數(shù)學(xué)問題之五：早晨小欣與媽媽同時(shí)從家里出發(fā)，步行與騎自行車到方向相反的兩地上學(xué)與上班，圖12是他們離家的路程(米)與時(shí)間(分)的函數(shù)圖象媽媽騎車走了10分時(shí)接到小欣的電話，即以原速騎車前往小欣學(xué)校，并與小欣同時(shí)到達(dá)學(xué)校已知小欣步行速度為每分50米，求小欣家與學(xué)校距離及小欣早晨上學(xué)需要的時(shí)間 OCBAy(米)x(分)問題5：圖2是甲、乙、丙三人玩蹺蹺板的示意圖（支點(diǎn)在中點(diǎn)處），則甲的體重的取值范圍在數(shù)軸上表正確的是（ ）甲乙40kg丙50kg甲圖2 賞析： 本題巧妙地將“翹翹板”這一學(xué)生喜聞樂見的游戲形式與不等式組相結(jié)合，既考查了雙基，又體現(xiàn)了對(duì)于生活實(shí)際的一種數(shù)學(xué)抽象與再創(chuàng)造的過(guò)程本題源于課本

20、，是課本的例題或習(xí)題的類比、改造、延伸和拓展其目的引導(dǎo)教師重視課堂的有效性在教學(xué)過(guò)程中，如何讓學(xué)生真正理解并掌握新知識(shí)，如何有效串聯(lián)已有知識(shí)點(diǎn)，把握問題的實(shí)質(zhì)，例題習(xí)題功能的開發(fā)和拓展就是一個(gè)能起事半功倍作用的好方法引導(dǎo)廣大教師用好教材，學(xué)生學(xué)好教材，發(fā)揮教材的擴(kuò)張效應(yīng)，將有利于推進(jìn)素質(zhì)教育和數(shù)學(xué)課程改革的順利實(shí)施 二、來(lái)自于數(shù)學(xué)內(nèi)部數(shù)學(xué)內(nèi)部借助于邏輯組合、一般化、特殊化、巧妙地對(duì)概念進(jìn)行分析和綜合，提出新的問題1.利用成題編制數(shù)學(xué)試題對(duì)原題進(jìn)行邏輯組合、演繹推理原題1：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA、CD分別與FE的延長(zhǎng)線交于M、N，求證：AMED

21、NE。改編之一（條件、結(jié)論等組合）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA、CD分別與FE的延長(zhǎng)線交于M、N，且AMEDNE，求證：ABCD.改編之二（圖形變化）如圖，ABCD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，BA、CD分別與FE交于M、N，求證：AMEDNE。改編之三（圖形變化）如圖，ABCD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，BA、CD分別與直線EF交于M、N，求證：AME與DNE互補(bǔ)。原題2：如圖，O是正方形ABCD的中心，正方形OGHK的邊OG、OK與正方形ABCD的邊交于E、F，求證：OEOF. 改編之一：如圖，O是正方形ABCD的中心，正方形OGHK的邊OG、OK

22、與正方形ABCD的邊交于E、F.當(dāng)正方形OGHK繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，哪些線段的長(zhǎng)短在不斷變化，但相等關(guān)系不變？改編之二:如圖，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，過(guò)O、C兩點(diǎn)的圓與正方形ABCD的邊交于E、F，（1）求證：OEOF；（2）求四邊形OECF的面積.2.利用成題編制數(shù)學(xué)試題一般化、動(dòng)態(tài)化原題1：如圖，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則 =_.（結(jié)果不取近似值）)改編問題：如圖，正方形ABCD固定不動(dòng)，正方形BEFG繞頂點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AG、DF、CE發(fā)生了什么變化？什么不變？在備用圖上，再畫正方形BEFG的其他位置，進(jìn)而觀察、度量、歸納，能發(fā)現(xiàn)什么？原題2

23、： 如圖，A90，ABAC，M是邊AC的中點(diǎn)，ADBM交BC于D，交BM于E，求證：AMBDMC .改編問題：（1）如圖，在RtABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D、E是線段AC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ADEC，AMBD，垂足為M，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N，直線BD與直線NE相交于點(diǎn)F. 試判斷DEF的形狀，并加以證明.（2）若點(diǎn)D、E是直線AC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，試判斷DEF的形狀，并說(shuō)明理由.3.利用成題編制數(shù)學(xué)試題一般化與特殊化相結(jié)合問題1:操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC，CB

24、于D，E兩點(diǎn)圖中的(1),(2),(3)是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的其中3種探究：(1)三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段 PD和PE之間有什么大小關(guān)系?它們的關(guān)系為 ，并以圖(2)為例，加以證明(2)三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，PBE是否能成為等腰三角形?若能，指出所有情況(即求出PBE為等腰三角形時(shí)的CE的長(zhǎng))；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)若將三角板直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM:MB=1:3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間又有什么關(guān)系?請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明(圖(4)供操作、實(shí)驗(yàn)用)結(jié)論為： 改編之一：1、ABC中，AC=BC，P是AB邊的中點(diǎn)，DPE+C=180，求證：PD=PE改編之二:在R

25、tABC中，P是AB邊的中點(diǎn)，PDPE，求證： 改編之三：如圖，正方形ABCD和正方形QMNP，M=B，M是正方形ABCD的對(duì)稱中心，MN與AB交于F，AD與QM交于E（1）求證ME=MF；（2）如圖，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，試探索ME與MF的關(guān)系，并加以證明；（3）如圖，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB=mBD，其他條件不變，試探索ME與MF的關(guān)系，并加以證明；（4）根據(jù)前面探索和如圖，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由改編之四:如圖13-1，圖132分別是兩個(gè)正方形、正六邊形，其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一

26、個(gè)正多邊形外接圓圓心(1)求圖13-1中,重疊部分面積與陰影部分面積之比；(2)求圖13-2中,重疊部分面積與陰影部分面積之比；(3)根據(jù)前面探索和圖13-3，你能否將本題推廣到一般的正邊形情況（為大于2的偶數(shù)）？若能;寫出推廣問題和結(jié)論;若不能,說(shuō)明理由如:如圖9-1、9-2、9-3、9-n，M、N分別是O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE 、正n邊形ABCDE的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN,連結(jié)OM、ON.(1)求圖9-1中MON的度數(shù);(2)圖9-2中MON的度數(shù)是_,圖9-3中MON的度數(shù)是_;(3)試探究MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案).A

27、EDFCBMNO圖9-1ABDOMN圖9-2ABCDOMN圖9-3ABCOMNEG圖9-nCC賞析：1、 本題通過(guò)三角板的旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造問題，各問題的難度層次分明，逐級(jí)遞進(jìn)，可以引導(dǎo)學(xué)生逐步深人思考數(shù)學(xué)思維活動(dòng)特征2、學(xué)生在解決這一系列問題的過(guò)程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力數(shù)學(xué)思維活動(dòng)能力發(fā)展特征3、試題讓學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，而且在活動(dòng)中有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生獲取并積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成數(shù)學(xué)能力活動(dòng)中獲取經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法），經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)量的積累并進(jìn)一步升華形成能力（數(shù)學(xué)思想）4、試題進(jìn)一步改編與研究體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生特征“是借助于邏輯組合、一般化、特殊化，巧妙

28、地對(duì)概念進(jìn)行分析與綜合，提出新的富有成果的問題” （希爾伯持 ）5、試題有利于學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：特殊一般特殊解題經(jīng)驗(yàn)：輔助線的基本引發(fā)，特殊化增加已知條件（條件過(guò)程，試題難度減弱）問題2：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF45 ，（1）求證：EFBEFD；（2）若“ E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)”改為“E、F分別是BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn) ”，試探索線段EF、BE、FD之間關(guān)系，并加以證明試題改編一：(源于證明過(guò)程)如圖,在四邊形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且EAF是BAD的一半,1）求證：EFBEFD；(2)若“ E、F

29、分別是BC、CD上的點(diǎn)”改為“E、F分別是BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn) ”,試探索線段EF、BE、FD之間關(guān)系,并加以證明試題改編二： 如圖,在四邊形ABCD中,ABAD,B+D180,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且EAF是BAD的一半,（1）求證：EFBEFD;(2)若“ E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)”改為“E、F分別是BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn) ”,試探索線段EF、BE、FD之間關(guān)系,并加以證明試題改編三： 如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，BAD 60，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF30，求證：EFBEFD.試題改編四：如圖，在四邊形ABCD中，ABAD1，BD90, BAD

30、 120，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF60，求：CEF的周長(zhǎng).試題改編五：如圖,用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD. 把一個(gè)三角尺的 60角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,兩邊分別與AB、AC重合. 將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)(如圖1),通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)？并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F時(shí)(如圖2),你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由. 試題改編六： 如圖，AC是正六邊形外接圓的直徑，EF=BE+DF，求EAF的度數(shù)試題改編七

31、：進(jìn)一步推廣為正偶數(shù)多邊形試題改編八：如圖，正方形ABCD，E、F分別是BC、CD邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EF=BEDF，AGEF于G，求證：AG=AD。試題改編九：如圖，四邊形ABCD,AB=AD,B+D=180,E、F分別是BC、CD邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且EF=BE+DF，AGEF于G，求證：AG=AD。試題功能分析：1.試題關(guān)注問題解決過(guò)程，在過(guò)程中自主反思，發(fā)現(xiàn)問題，抽象問題本質(zhì)，有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣2.問題經(jīng)歷特殊一般的數(shù)學(xué)推廣過(guò)程，又用一般規(guī)律指導(dǎo)特殊問題解決3.試題基于特殊問題的類比與推廣，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題更為一般性的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力問題3：數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用拋物線頂點(diǎn)用法

32、 y=a（x-h）2+k如何使用知識(shí)用法：在什么情景下使用，如何使用（包括其使用程序）改編試題一:如圖13，拋物線y=的頂點(diǎn)為P，A、B是拋物線上兩點(diǎn),ABx軸,四邊形ABCD為矩形,CD邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,AB=2 AD(1)求矩形ABCD的面積;(2)如圖14,若將拋物線“y=x2” 改為拋物線“y=x2+bx+c ”,其他條件不變,求矩形ABCD的面積;(3)若將拋物線“y= x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”, 其他條件不變,請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積；(4)若 “y=x2”改為y=ax2+bx+c”,“AB=2AD”改為“AB=kAD”，其他條件不變，試探索矩形ABCD面積為常

33、數(shù)需要滿足什么條件？并說(shuō)明理由試題改編之二：如圖18，點(diǎn)C，B分別為拋物線C1：y1=x2+1、拋物線C2：y2=a2x2+b2x+c2的頂點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B，C作軸的平行線，交拋物線C1，C2于點(diǎn)A，D，且AB=BD(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)如圖19,若將拋物線C1:“y1=x2+1”改為拋物線“y1=2x2+b1x+c1”,其他條件不變,求CD的長(zhǎng)和a2的值.(3)如圖19,若將拋物線C1：y1=2x2+b1x+c1”改為拋物線“y1=a1x2+b1x+c1”，其他條件不變，求b1+b2的值問題4：已知正三角形ABC，CF是外角平分線，E直線BC上任意一點(diǎn)，AEF=60，求證：AE=EF試題改

34、編之一：已知正方形ABCD，CF是外角平分線，E直線BC上任意一點(diǎn)，AEEF， 求證：AE=EF試題改編之二：如圖,正方形ABCD和正方形BEFC操作：M是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)，從A點(diǎn)至E點(diǎn)移動(dòng)，DMMN，交對(duì)角線BF于點(diǎn)N探究：線段DM和MN之間的關(guān)系，并加以證明CFBEDA說(shuō)明：如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路過(guò)程寫出來(lái)(要求至少寫3步)；在你經(jīng)歷說(shuō)明的過(guò)程之后，可以從下列、中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明注意：選取完成證明得8分；選取完成證明得5分M、N分別是線段AB、BF的中點(diǎn)；M與B重合附加題當(dāng)M是線段AE延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，DMMN，交對(duì)角線

35、BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，探究線段DM和MN之間的關(guān)系，并加以證明 試題改編之三：圖1-1、圖1-2是分別由兩個(gè)具有公共頂點(diǎn)的正三角形和正四邊形組成的圖形，且其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)D在另一個(gè)正多邊形的邊BC上（1）圖1-1中，求DCE= （直接寫出答案）； （2）圖1-2中，求DCE；（3）當(dāng)滿足條件的圖形為正n邊形時(shí)（如圖1-3），猜想：DCE= （直接寫出答案）圖1-1圖1-2圖1-3試題改編之四：如圖，D是BAC邊BC上一點(diǎn)，BA=BC，下面三個(gè)論斷B=ADE，ACB=FCE，DA=DE，這三個(gè)論斷任何兩個(gè)作為已知條件，第三個(gè)作為結(jié)論都是真命題 試題改編之五：如圖，D是BAC邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

36、BA=BC，下面三個(gè)論斷ABC=ADE，ACB=FCP，DA=DE，這三個(gè)論斷任何兩個(gè)作為已知條件，第三個(gè)作為結(jié)論都是真命題 試題改編之六：如圖，D是BAC邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BA=BC，下面三個(gè)論斷B=ADE，ACB=FCE，DA=DE，這三個(gè)論斷任何兩個(gè)作為已知條件，第三個(gè)作為結(jié)論都是真命題 試題改編之七：點(diǎn)A，B分別是兩條平行線上任意兩點(diǎn)，在直線上找一點(diǎn)C，使BCkAB，連結(jié)AC，在直線AC上任取一點(diǎn)E，作BEFABC，EF交直線于點(diǎn)F（1）如圖15，當(dāng)k1時(shí)，探究線段EF與EB的關(guān)系，并加以證明；圖15圖16圖17說(shuō)明:如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒有解決問題,請(qǐng)寫出探索過(guò)程(要求至少三步);在

37、完成之后,可以自己添加條件(添加的條件限定為ABC為特殊角),在圖16中補(bǔ)全圖形,完成證明(選擇添加條件比原題少得3分)（2）如圖17，若ABC90，k1，探究線段EF與EB的關(guān)系，并說(shuō)明理由試題功能分析：1.試題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般化的研究過(guò)程，雖然問題形式不同，但研究方法類同，學(xué)生在研究過(guò)程中方法逐漸熟悉，易發(fā)現(xiàn)問題的共同特征，將問題進(jìn)行推廣2.在研究類比推廣4、5、6時(shí)，蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)教育重要的價(jià)值觀當(dāng)研究一個(gè)復(fù)雜問題解決有困難時(shí)，可以先研究其特殊部分（或者易解決部分），把獲得的研究方法經(jīng)驗(yàn)等加以推廣，再解決整個(gè)問題3.試題體現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)問題研究和發(fā)展的基本過(guò)程4.試題有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)核心內(nèi)

38、容，形成數(shù)學(xué)能力4.試題是探討在條件弱化的情況下，原來(lái)的命題是否仍然成立，這也是科學(xué)研究、科學(xué)探究的重要方法從另一個(gè)角度看，將條件弱化，實(shí)際上就是將條件改成更一般地形式，這種研究、這種思維模式對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是十分有益的，在自己做了這樣的探究后，既有成就感，增加自信，也確實(shí)可有效地改善、提升自己的思維水平4.以高等數(shù)學(xué)為背景編制試題特殊化編制一：如圖，點(diǎn)A1是位于拋物線y-x26x-4(簡(jiǎn)記為P)內(nèi)部、且在直線yx(簡(jiǎn)記為L(zhǎng))上的任意點(diǎn)，點(diǎn)A1向右平移到P上的B1，再向上平移到L上的A2，再向左平移到P上的B2，再向下移到L上的A3，如此繼續(xù)下去.(1)若點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為t,求出t的取值范圍,

39、并求點(diǎn)A2的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為1.2，試用計(jì)算器計(jì)算點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)（精確到0.0001），從中你能發(fā)現(xiàn)計(jì)算它們的規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律繼續(xù)計(jì)算A5、A6的坐標(biāo)（精確到0.0001）；（3）你能得出關(guān)于點(diǎn)列A1、A2、A3、A4、變化趨勢(shì)的猜想？編制之二：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=x與直線y=-2x+6交與點(diǎn)P，點(diǎn)P1為OP上一點(diǎn)，過(guò)P1作平行于x軸的直線交直線y=-2x+6于點(diǎn)P2，過(guò)P2作平行于y軸的直線交直線y=x于點(diǎn)P3，過(guò)P3作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)P4， ，依次類推進(jìn)行下去設(shè)P1點(diǎn)的橫坐標(biāo)t（1）求點(diǎn)P2，點(diǎn)P3的坐標(biāo)（用表示）；（2）請(qǐng)你賦予

40、字母t 一個(gè)確切的數(shù)值，從 而觀察點(diǎn)P2，P3，P4， ，Pn坐標(biāo)的變化情 況，判斷當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，點(diǎn)PN的坐標(biāo)趨近為 試題功能分析: 試題編制原理是：不動(dòng)點(diǎn)原理1.試題使學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究探索活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“自反抽象”（與其他學(xué)科的“經(jīng)驗(yàn)抽樣”有較大區(qū)別）2.試題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)一種解決問題的策略試驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、推廣3.創(chuàng)設(shè)一個(gè)新的情景，讓學(xué)生探索其中的規(guī)律考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一個(gè)好的方式4.本題考查了學(xué)生分類討論思想、運(yùn)動(dòng)變化思想的掌握情況以及合情推理的能力，有利于引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的精髓，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的要求題5.以探索數(shù)學(xué)規(guī)律為目的命制試題問題1：如圖8,ABC和 ABC關(guān)于直

41、線MN對(duì)稱,ABC和A”B”C”關(guān)于直線EF對(duì)稱. (1)畫出直線EF; (2)直線MN與EF相交于點(diǎn)O,試探究BOB” 與直線MN、EF所夾 銳角的數(shù)量關(guān)系.改編：如圖，直線DE與DF交于點(diǎn)D，ABC與ABC關(guān)于DE對(duì)稱。（1）作ABC關(guān)于直線DF對(duì)稱的ABC；（2）試探索BDB與EDF之間的關(guān)系，并加以證明。 賞析：本題在考查學(xué)生“軸對(duì)稱”概念時(shí)，改變了以往考試中只關(guān)注對(duì)稱圖形之間關(guān)系的考查的做法，轉(zhuǎn)而從已知圖形的對(duì)稱性去確定對(duì)稱軸，同時(shí)通過(guò)問題（2）讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)自主探求對(duì)稱之間的相關(guān)性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，強(qiáng)化學(xué)科知識(shí)內(nèi)部綜合。 問題2:在數(shù)學(xué)活動(dòng)中

42、,小明為了求的值（結(jié)果用n表示）,設(shè)計(jì)如圖7-1所示的幾何圖形.(1)請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求 的值為_.(2)請(qǐng)你利用圖7-2,再設(shè)計(jì)一個(gè)能求 的值的幾何圖形.圖7-1圖7-2 賞析：數(shù)學(xué)思想方法習(xí)得是能圍繞一個(gè)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容設(shè)計(jì)思維含量由淺入深的問題串，問題不斷拓展延伸，學(xué)生對(duì)問題認(rèn)識(shí)的深度也在不斷地遞進(jìn)，學(xué)生研究問題的方法也在逐步地熟悉與掌握學(xué)生通過(guò)比較研究獲得一類問題的解決方法的共同特點(diǎn)即獲得數(shù)學(xué)方法，當(dāng)學(xué)生這種數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)豐富到一定程度時(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的一種思想觀念學(xué)生也就領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)思想 問題3：已知A1、A2、A3是拋物線y= x2 上的三點(diǎn),A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸,垂

43、足為B1、B2、B3,直線A2B2交線段A1A3于點(diǎn)C.(1)如圖11-1，若A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，求線段CA2的長(zhǎng).(2)如圖11-2,若將拋物線 改為拋物線 , A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長(zhǎng).(3)若將拋物線 改為拋物線y=ax2+bx+c, A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù),其他條件不變，請(qǐng)猜想線段CA2的長(zhǎng)(用a、b、c表示,并直接寫出答案).試題改編： 1.原題：已知拋物線y=ax2+bx+c上三點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，試探索A、B、C點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系2.利用拋物線平移和拋物線自身特征改編試題賞析：1.

44、 本題以二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)的變化問題為載體，融幾何性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算為一體的探究性試題，抓住探索研究問題的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的作用本題計(jì)算難度不大，且方法也多，結(jié)果簡(jiǎn)單都是 ，有利于學(xué)生觀察、歸納研究問題的實(shí)質(zhì)，因而能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力2.本體設(shè)計(jì)抓住拋物線的特征a影響開口方向和開口大小，b、c影響拋物線的位置，拋物線平移a不變，b、c變根據(jù)上述特征改編試題目標(biāo)在于使學(xué)生更好的理解和運(yùn)用拋物線的特征四、以數(shù)學(xué)活動(dòng)形式為載體編制試題（一）數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的思維方式、思維水平，對(duì)活動(dòng)對(duì)象、相關(guān)知識(shí)與方法的理解深度；（二）遷移活動(dòng)過(guò)程中的思想方法，間接考查學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程

45、；（三）能否通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、 類比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想， 并尋求證明猜想的合理性；（四）能否使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言有 條理地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考 過(guò)程。問題1： 閱讀下列材料：“父親和兒子同時(shí)出去晨練如圖，實(shí)線表示父親離家的路程y(米)與時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)圖象；虛線表示兒子離家的路 程y(米)與時(shí)間x (分鐘)的圖象 由圖象可知，他 們?cè)诔霭l(fā)10分鐘 時(shí)經(jīng)一次，此時(shí) 離家400米；晨練 了30分鐘，他們同時(shí)到家” 根據(jù)閱讀材料給你的啟示，利用指定的直角坐標(biāo)系(如圖)或用其他方法解答問題：一巡邏艇和一貨輪同時(shí)從A港口前往相距100千米的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100千米/時(shí)和20千米/時(shí)

46、，巡邏艇不停的往返于A、B兩港口巡邏(巡邏艇調(diào)頭的時(shí)間忽略不計(jì))貨輪從A港口出發(fā)以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次？出發(fā)多少時(shí)間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時(shí)離A港口多少千米？試題改編之一：若和解直角三角形知識(shí)相融合，如方位角，客船在某方位方向發(fā)生危險(xiǎn)發(fā)出求救信號(hào)，巡邏艇和貨輪同時(shí)都去搶救，問誰(shuí)先到達(dá)等？（諸位自己思考編寫）試題改編之二：如圖 ，邊長(zhǎng)為5海里的正方形網(wǎng)格表示某海平面示意圖，其中的陰影部分表示輪船無(wú)法通過(guò)的海域，甲輪船從A碼頭出發(fā)沿北偏東45方向以每小時(shí)10海里速度行駛海里到C地，休息半小時(shí)后，再以同樣速度沿正東方向行駛15海里，再沿西北方向行駛海里到達(dá)B島（1）在圖1中，畫出甲

47、輪船行 駛的示意圖；（2）乙輪船比甲輪船從A碼頭 晚出發(fā)2小時(shí)，并以每小時(shí) 海里的速度行駛，途中也不 休息，問：乙輪船能否先到 達(dá)B島若能請(qǐng)畫出乙輪船 航線示意圖和說(shuō)明理由；若 不能，請(qǐng)說(shuō)明原因賞析：1.題目首先讓學(xué)生閱讀一段較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)材料，從中體會(huì)情景與圖象的關(guān)系以及處理某些問題的方法遷移活動(dòng)過(guò)程中的思想方法2.再讓學(xué)生進(jìn)入另一個(gè)相應(yīng)的情景，著手解決新的問題間接考查學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程3.有利于考查學(xué)生獲得信息及利用所獲得信息解決問題的能力有利于引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方式，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)有利于數(shù)學(xué)形成類比、聯(lián)想等思維方式問題2：如圖1-1，P為RtABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不在直線AC上），

48、ABC=90，M為AB邊中點(diǎn) 操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連結(jié)PM并 延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使 ME=PM，連結(jié)DE 探究：（1）請(qǐng)猜想 與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；圖1-1CDBEMAPP（2）請(qǐng)你利用圖1-2，圖1-3選擇不同位置的點(diǎn)按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請(qǐng)加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)用圖1-2或圖1-3加以說(shuō)明；（注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例給予說(shuō)明也得分）（4）若將“RtABC”改為“任意ABC”，其他條件不變，利用圖1-4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）CBMAMACBCBMA圖1-2圖1-3圖1-4試

49、題改編之一：已知點(diǎn)O是等邊三角形ABC所在平面上 的任意一點(diǎn)，連結(jié)OA并延長(zhǎng)到E，使得AEOA. 以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接EF. 求證：（1）EFBC； （2）EF= BC.試題改編之二：已知點(diǎn)O是等腰直角三角形ABC（BC為斜邊）所在平面上的任意一點(diǎn)，連結(jié)OA并延長(zhǎng)到E，使得AEOA. 以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接EF. 求證：EFBC.EF=BC試題改編之三：已知點(diǎn)O是直角三角形ABC（BC為斜邊）所在平面上的任意一點(diǎn)，連接OA并延長(zhǎng)到E，使得AEOA. 以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接EF. 求證： EF=BC試題改編之四：已知：ABC是等

50、腰三角形，ABACa，BCb. 在左圖中，點(diǎn)O是ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，而在右圖中，點(diǎn)O是ABC外的任意一點(diǎn).在這兩張圖中，分別以O(shè)B、OC為邊畫出平行四邊形OBDC，并延長(zhǎng)OA到E，使得AEOA，再連接DE. 觀察這兩張圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)寫出你得到的兩個(gè)猜想，并證明它們 賞析： 本題體現(xiàn)了研究一個(gè)問題時(shí)比較全面的過(guò)程： 第一，對(duì)問題情景分析的基礎(chǔ)上先形成猜想 第二，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證(或證明成立，或予以否定) 第三，在經(jīng)過(guò)證明肯定了猜想之后，再做進(jìn)一步的推廣第四，本題詣在讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)科學(xué)探究的全過(guò)程，人們要研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)常常要借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行各種各樣的猜測(cè)

51、（因?yàn)閿?shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模的最高層次是借助知覺思維創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)，正如物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓說(shuō)：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的創(chuàng)新”），這些猜測(cè)可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，為了進(jìn)一步探索與驗(yàn)證必須要做相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)，伴隨數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富與發(fā)展人們對(duì)這些猜測(cè)又進(jìn)行更新與否定，更新是新的發(fā)現(xiàn)，否定是在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)中找到反例，經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)?zāi)阏J(rèn)為是正確的猜測(cè)必須進(jìn)行證明，這樣才能體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)中的證明的必要性作為科學(xué)探究?jī)蓚€(gè)重要途徑是擴(kuò)充與反駁，只有在擴(kuò)充與反駁的過(guò)程中才能推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展，伴隨數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)我們可能獲得新的發(fā)現(xiàn)，將問題加以推廣，本題是上述想法的具體落實(shí)因此，

52、本題的意義就不在于考查了相應(yīng)的知識(shí)，更在于考查了活動(dòng)過(guò)程，從而也進(jìn)一步加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的方法與策略的認(rèn)識(shí)及運(yùn)用問題3：如圖13-1,操作:把正方形CGEF的對(duì)角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上(CGBC),取線段AE的中點(diǎn)M.探究:線段MD、MF的關(guān)系,并加以證明.說(shuō)明:(1)如果你經(jīng)歷反復(fù)探索,沒有找到解決問題的方法,請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路寫出來(lái)(要求至少寫3步);(2)在你經(jīng)歷說(shuō)明(1)的過(guò)程之后,可以從下列、中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件,完成你的證明.注意:選取完成證明得10分;選取完成證明得7分;選取完成證明得5分. DM的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)N,且ADNE; 將正

53、方形CGEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45(如圖13-2),其他條件不變;在的條件下且CF2AD.附加題：將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后(如圖13-3),其他條件不變.探究:線段MD、MF的關(guān)系,并加以證明.試題改編與演變歷程：原題1：如圖，在直角梯形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，連結(jié)MA、MB，求證：MAMB.原題：如圖，四邊形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中點(diǎn)，連接MD、ME， 求證：MDME，且MDME.一般化 四邊形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中點(diǎn)，連接MD、ME，求證：MDME，且MDME.特殊化 如圖，四邊形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中點(diǎn)，連接MD、ME，求證：MDME，且MDME.其他演變一：已知AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，F(xiàn)、G、H分別為BC、CD、DE邊中點(diǎn) 求證：（1）FG=HG； （2）FGH=180-BAC其他演變二：如圖，AB