高中數(shù)學(xué)競賽歷屆IMO試題(146屆)

1、高中數(shù)學(xué)競賽歷屆IMO試題（1-46屆）第1屆IMO1求證14對(duì)每個(gè)自然數(shù)都是最簡分?jǐn)?shù)。設(shè)-1,試在以下種情況下分別求出的實(shí)數(shù)解:；1。.b都是實(shí)數(shù)，已知的二次方程試用作出一個(gè)關(guān)于的二次方程，使它的根與原來的方程一樣。當(dāng)4時(shí)比較-1和的方程式。4試作一直角三角形使其斜邊為已知的，斜邊上的中線是兩直角邊的幾何平均值。在線段上任意選取一點(diǎn)M,在的同一側(cè)分別以MM為底作正方形M、M,這兩個(gè)正方形的外接圓的圓心分別是、，設(shè)這兩個(gè)外接圓又交于M、，求證、相交于點(diǎn)；（求證不論點(diǎn)M如何選取直線M都通過一定點(diǎn)；當(dāng)M在與之間變動(dòng)時(shí)，求線斷的中點(diǎn)的軌跡。6兩個(gè)平面、交于一線，為上給定一點(diǎn)，為上給定一點(diǎn)，并且這兩點(diǎn)

2、都不在直線上。試作一等腰梯形、平行于、，使得它有一個(gè)內(nèi)切圓，并且頂點(diǎn)、分別落在平面和上。第屆IMO1找出所有具有下列性質(zhì)的三位數(shù)：能被11整除且等于的各位數(shù)字的平方和。尋找使下式成立的實(shí)數(shù)：TOC o 1-5 h z41-1直角三角形的斜邊的長為，將它分成等份（為奇數(shù)），令a為從點(diǎn)向中間的那一小段線段所張的銳角，從到邊的高長為，求證：a4-4已知從、引出的高線長度以及從引出的中線長，求作三角形。正方體（上底面，下底面）。是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)。求中點(diǎn)的軌跡；求中軌跡上的、并且還滿足的點(diǎn)的軌跡。6個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)接球，又有一圓柱體外切于此圓球，其底面落在圓錐的底面上。令偽圓錐的體積，為圓

3、柱的體積。求證：不等于V求1的最小值；并在此情況下作出圓錐頂角的一般。等腰梯形，平行于，、令，梯形的高為。點(diǎn)在對(duì)稱軸上并使得角、都是直角。試作出所有這樣的點(diǎn)并計(jì)算到兩底的距離；再討論在什么樣的條件下這樣的點(diǎn)確實(shí)存在。第屆IMO1設(shè)a、b是常數(shù)，解方程組x+y+z=a;x2+y2+z2=b2;xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正數(shù)，a、b應(yīng)滿足什么條件？2設(shè)a、b、c是某三角形的邊，A是其面積，求證：a2+b2+c2=43A.并求出等號(hào)何時(shí)成立。解方程cosnx-sinnx=1,其中n是一個(gè)自然數(shù)。P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PA交BC于D,PB交AC于E,PC交AB于F,求證AP/PD,

4、BP/PE,CP/PF中至少有一個(gè)不大于2,也至少有一個(gè)不小于2。5作三角形ABC使得AC=b,AB=c,銳角AMB=a,其中M是線斷BC的中點(diǎn)。求證這個(gè)三角形存在的充要條件是btan(a/2)=c1/2.3正方體ABCDABCD(ABCD、ABCD分別是上下底)。一點(diǎn)x沿著正方形ABCD的邊界以方向ABCDA作勻速運(yùn)動(dòng)；一點(diǎn)丫以同樣的速度沿著正方形BCCB的邊界以方向BCCBB運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)X、丫在同一時(shí)刻分別從點(diǎn)A、B開始運(yùn)動(dòng)。求線斷XY的中點(diǎn)的軌跡。解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。5在圓K上有三個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C。試在K上再作出一點(diǎn)D使得這四點(diǎn)所形成的四邊形有一個(gè)內(nèi)切圓。6

5、-個(gè)等腰三角形，設(shè)R為其外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑為r,求證這兩個(gè)圓的圓心的距離是7(R(R-2r)。7求證：正四面體有5個(gè)不同的球，每個(gè)球都與這六條邊或其延長線相切；反過來,如果一個(gè)四面體有5個(gè)這樣的球,則它必然是正四面體。第5屆IMO1找出下列方程的所有實(shí)數(shù)根(其中p是實(shí)參數(shù))：7(x2-p)+27(x2-1)=x.2給定一點(diǎn)A及線斷BC,設(shè)空間中一點(diǎn)P使得存在線段BC上有一點(diǎn)X滿足角APX是直角，試求出所有這樣的點(diǎn)P的軌跡。3在一個(gè)n邊形中，所有內(nèi)角都相等，邊長依次是a1=a2=an,求證：所有邊長都相等。設(shè)y是一個(gè)參數(shù)，試找出方程組xi+xi+2=yxi+1(i=1,.,5的所有解x1,.

6、,求證cospi/7-cos2pi/7+cos3pi/7=1/2.6五個(gè)同學(xué)A、B、C、D、E參加競賽，一種猜測說比賽結(jié)果的名次依然是ABCDE。但是實(shí)際上沒有一位同學(xué)的名次被猜中，而且預(yù)測中名次相鄰的同學(xué)也沒有真的相鄰(例如，C、D兩位同學(xué)名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一種)。還有一種猜測說結(jié)果會(huì)是DAECB的順序。實(shí)際上是恰好有兩個(gè)同學(xué)所得的名次與預(yù)測的一樣；而且有兩對(duì)同學(xué)4個(gè)不同的同學(xué))的名次像預(yù)測中的一樣是相連。試討論最后的名次如何？第6屆IMO(a)求所有正整數(shù)n使得2n-1能被7整除；(b)求證不存在正整數(shù)n使得2n+1能被7整除。2假設(shè)a、b、c是

7、某三角形的三邊長，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)=3abc.3三角形ABC的三邊長為別為a、b、c。分別平行于ABC的各邊作三角形ABC內(nèi)切圓的切線，每條切線都在ABC中又切出一個(gè)小三角形，再在每個(gè)這樣的小三角形中作內(nèi)切圓，求這四個(gè)內(nèi)切圓的面積之和(用i,b,c表示)。4十七個(gè)人互相通信，每一個(gè)人都和其他人寫信。在他們的信上一共討論有三個(gè)不同的話題，每兩個(gè)人只討論一個(gè)話題，求證：這些人當(dāng)中至少有三個(gè)人他們所討論的話題是一樣的。5平面上有五個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)的連線都不平行，也不垂直，現(xiàn)從每一個(gè)點(diǎn)向其他四點(diǎn)兩兩連接的直線作垂線，試求出所有這些垂線的交點(diǎn)的最大數(shù)目。6四

8、面體ABCD的中心是D0,分別過A、B、C作DDO的平行線，這些線分別交平面BCD、CAD、ABD于點(diǎn)AO、BO、CO,求證：ABCD的體積是A0B0C0D0的三分之一；再問如果D0為三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，結(jié)果是否仍然成立？第7屆IMO試找出所有位于區(qū)間0,2pi的x使其滿足cosx|7(1+sin2x)-7(1-sin2x)|2個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)之間都有線斷相連，這些線斷長度中的最大值被定義為這個(gè)點(diǎn)集的直徑，求證：長度為直徑的線斷至多有n條。第8屆IMO1在一次數(shù)學(xué)競賽中共有A、B、C三道題，25名參賽者每人至少答對(duì)了一題。在所有沒有答對(duì)A的學(xué)生中，答對(duì)B的人數(shù)是答對(duì)C的人數(shù)的兩倍，只答對(duì)問

9、題A的人數(shù)比既答對(duì)A又至少答對(duì)其他一題的人數(shù)多1。又已知在所有恰好答對(duì)一題的參賽者中，有一半沒有答對(duì)A。請(qǐng)問有多少學(xué)生只答對(duì)B?2三角形ABC,如果，BC+AC=tanC/2(BCtanA+ACtanB).則該三角形為等腰三角形。3求證：從正四面體的內(nèi)切圓圓心到各頂點(diǎn)距離之和小于從空間中任意其他點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和。4對(duì)任何自然數(shù)n以及滿足sin2nx不為0的實(shí)數(shù)x,求證：1/sin2x+1/sin4x+1/sin2nx=cotx-cot2nx.ai(i=1,2,3,4)是互不相同的實(shí)數(shù)，解方程組(i=1,2,3,4)|ai-a1|x1+|ai-a2|x2+|ai-a3|x3+|ai-a4|x4

10、=1。6在三角形ABC的邊BC、CA、AB上分別任選三內(nèi)點(diǎn)K、L、M,求證三角形AML、BKM、CLK之中至少有一個(gè)的面積小于活等于三角形ABC的四分之一。第9屆IMO1平行四邊形ABCD，邊長AB=a,AD=1,角BAD=A,已知三角形ABD是一個(gè)銳角三角形，求證以A,B,C,D為圓心半徑為1的四個(gè)圓能夠覆蓋此平行四邊形的充要條件是a1)共頒發(fā)了m塊獎(jiǎng)牌。在第一天，頒發(fā)了一塊獎(jiǎng)牌以及剩下m-1個(gè)中的1/7;在第二天頒發(fā)了兩塊獎(jiǎng)牌以及剩下的1/7;依此類推。在最后一天即第n天，剩下的n塊獎(jiǎng)牌全部頒發(fā)完畢。問該運(yùn)動(dòng)會(huì)共進(jìn)行了幾天,一共頒發(fā)了多少塊獎(jiǎng)牌?第10屆IMO求證有且僅有一個(gè)三角形,它的邊

11、長為連續(xù)整數(shù),有一個(gè)角是另外一個(gè)角的兩倍。2試找出所有的正整數(shù)n,其各位數(shù)的乘積等于n2-10n-22。a,b,c是不全為0的實(shí)數(shù)。x1,x2,.,xr是滿足下述方程組的未知數(shù)：axi2+bxi+c=xi+1,對(duì)于i=1,2,.,n-1;axn2+bxn+c=x1；若設(shè)M=(b-1)2-4ac，求證：若M0,則方程組不止有一個(gè)解。求證任何四面體上都有一個(gè)頂點(diǎn)使得經(jīng)過該頂點(diǎn)的三條邊可構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊。5令f是定義在所有實(shí)數(shù)并取值實(shí)數(shù)的函數(shù)，并且對(duì)于某個(gè)a0及任何x0有f(x+a)=1/2+7f(x)-f(x)2求證f是周期函數(shù)，并且當(dāng)a=1時(shí)請(qǐng)給出一個(gè)非常值函數(shù)的例子。6對(duì)任何自然數(shù)n試計(jì)算

12、下式的值(n+1)/2+(n+2)/4+(n+4)/8+.+(n+2k)/2k+1+.其中x表示不超過x的最大整數(shù)。第11屆IMO1對(duì)任意正整數(shù)n,求證有無窮多個(gè)正整數(shù)m使得n4+m不是質(zhì)數(shù)。令f(x)=cos(a1+x)+1/2cos(a2+x)+1/4cos(a3+x)+.+1/2n-1cos(an+其中ai是實(shí)數(shù)常量，x是實(shí)數(shù)變量?，F(xiàn)已知f(x1)=f(x2)=0,求證x1-x2是p的整數(shù)倍。3對(duì)每一個(gè)k=1,2,3,4,5,試找出a0應(yīng)滿足的充要條件使得存在一個(gè)四面體，其中k個(gè)邊長均為a,其余6-k個(gè)邊的長度均為1。4以AB為直徑的半圓弧，C是其上不同于A、B的一點(diǎn)，D是C向AB作垂線

13、的垂足。K1是三角形ABC的內(nèi)切圓，圓K2與CD、DA以及半圓都相切，圓K3與CD、DB及半圓相切。求證：圓K1、K2、K3除AB外還有一條公切線。5平面上已給定了n4個(gè)點(diǎn)，無三點(diǎn)共線。求證至少有(n-3)(n-4)/2個(gè)凸四邊形，其頂點(diǎn)都是已給點(diǎn)集中的點(diǎn)。給定實(shí)數(shù)x1,x2,y1,y2,z1,z2,滿足x10,x20,x1y1z12,x2y2z22求證：81+1(x1+x2)(y1+y2)-(z1+z2)2x1y1-z12x2y2-并給出等號(hào)成立的充分必要條件。第12屆IMOM是三角形ABC的邊AB上的任何一點(diǎn)，r、門、r2分別是三角形ABC、AMC、BMC的內(nèi)切圓的半徑，q是AB外旁切圓的

14、半徑(即與AB邊相切，與CA、CB的延長線上相切的圓)，類似的，q1、q2分別是AC、BC外旁切圓的圓心。求證：r1r2q=rq1q2。已知0 xi0,xn-10如果ab，xnxn-1(x0)是數(shù)A在a進(jìn)制下的表示、也是B在b進(jìn)制下的表示，則xn-1xn-2.x0表示了A在a進(jìn)制下的表示、B在b進(jìn)制下的表示。求證：AB實(shí)數(shù)a0,a1,a2,.滿足1=a0=a1=a2=.，.并定義bn=(1-ak-1/ak)/7ak其中求和是k從1到n。求證0bn2;設(shè)c滿足0cc成立。4試找出所有的正整數(shù)n使得集合n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5可被分拆成兩個(gè)子集合，每個(gè)子集合的元素的乘積相等。四面

15、體ABCD,角BDC是直角，D向平面ABC作垂線的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求證：(AB+BC+CA)2=0對(duì)于n=3或5成立，而對(duì)于其他自然數(shù)n2不成立。2凸多邊形P1的頂點(diǎn)是A1,A2,.,A9若將頂點(diǎn)A1平移至Ai時(shí)則P1平移成了多邊形Pi，求證P1,P2,.,P9之中至少有兩個(gè)具有一共同內(nèi)點(diǎn)。3求證能夠找到一個(gè)由形式2n-3(n是正整數(shù))的整數(shù)構(gòu)成的集合并滿足任何兩個(gè)元素互質(zhì)。4四面體ABCD的所有面都是銳角三角形，在線段AB上取一內(nèi)點(diǎn)X,現(xiàn)在BC上取內(nèi)點(diǎn)丫，CD上取內(nèi)點(diǎn)Z,AD上內(nèi)點(diǎn)T。求證：如果ZDAB+ZBCDhZCDA+ZABC，則沒有一條閉路徑XYZTX具有最小值；如果Z

16、DAB+ZBCD=ZCDA+ZABC，則有無窮多最短路徑XYZTX，它們的長度是2ACsin(k/2)，其中k=ZBAC+ZCAD+ZDABo5對(duì)任何自然數(shù)m，求證存在平面上一有限點(diǎn)集S，滿足：對(duì)S中的每一個(gè)點(diǎn)A，存在S中的恰好m個(gè)點(diǎn)與A的距離為單位長。6設(shè)A=(aij)其中i,j=1,2,.,n是一個(gè)方陣，元素aij都是非負(fù)整數(shù)。若i、j使得aij=0，則第i行和第j列的元素之和大于或等于no求證：該方陣中所有元素之和大于或等于n2/2o第14屆IMO1有十個(gè)互不相同的二位數(shù)，求證必可從中選出兩個(gè)不相交的子集，使得這兩個(gè)子集中的元素之和相等。2設(shè)n4，求證每一個(gè)圓內(nèi)接四邊形都可以分割成n個(gè)圓

17、內(nèi)接四邊形。m,n是任意非負(fù)整數(shù)，求證下式是一整數(shù)。(2m)!(2n)!m!n!(m+n)!試找出下述方程組的所有正實(shí)數(shù)解：(x12-x3x5)(x22-x3x5)=0(x22-x4x1)(x32-x4x1)=0(x32-x5x2)(x42-x5x2)=0(x42-x1x3)(x52-x1x3)=0(x52-x2x4)(x12-x2x4)=0f、g都是定義在實(shí)數(shù)上并取值實(shí)數(shù)的函數(shù)，并且滿足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y，)又已知f不恒等于0且|f(x)|=1。求證對(duì)所有x同樣有|g(x)|=1.2問能否在空間中找到一個(gè)不共面的有限點(diǎn)集M使得，對(duì)M中的任何兩點(diǎn)A、B，都可以再在

18、M中尋找到兩點(diǎn)C、D，而直線AB、CD是不相同的并且是互相平行的。3考慮所有這樣的實(shí)數(shù)a、b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一個(gè)實(shí)根。試找出a2+b2的最小值。4一個(gè)士兵需要在一個(gè)等邊三角形的區(qū)域內(nèi)探測有沒有地雷，他的掃雷器的半徑是三角形高的一半，士兵從三角形的一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)，試問如果要完成任務(wù)且使行程最短他應(yīng)該走什么樣的路徑？G是具有下述形式且非常值的函數(shù)的集合：f(x)=ax+b其中a,b,x都是實(shí)數(shù)。并且已知G具有這些性質(zhì)：如果f,g都屬于G,則fg(x)=f(g(x)也屬于G;如果f屬于G,則f-1(x)=x/a-b/a也屬于G;對(duì)任何f屬于G,存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使得f(xf

19、)=x成立。求證：存在實(shí)數(shù)M使得f(M)=lW所有G中的函數(shù)f都成立。al,a2,.,an是正實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)q滿足0q1,試求出n格實(shí)數(shù)b1,b2,.,bn使得：aibi,i=1,2,.,n;qbi+1/bi1/q,i=1,2,.,n-1;b1+b2+.+bn(a1+a2+.+an)(1+q)/(1-q).第16屆IMO1三個(gè)玩家玩游戲。在三張撲克牌上分別寫上一個(gè)正整數(shù)，并且每張牌上的數(shù)都不相同。在每一輪游戲中都是隨機(jī)的把卡片分給這些玩家，然后每個(gè)玩家拿到所分得卡片上數(shù)目的籌碼。當(dāng)游戲進(jìn)行時(shí)，玩家手上的籌碼自然是越來越多。假設(shè)游戲至少進(jìn)行了兩輪以上。在最后一輪結(jié)束時(shí)，第一個(gè)玩家有籌碼20個(gè)，第二個(gè)

20、玩家有10個(gè)，第三個(gè)玩家有9個(gè)。又已知在最后一輪游戲中第三個(gè)玩家拿到的是最大數(shù)目的籌碼。試問，在第一輪游戲中哪個(gè)玩家收到了中間數(shù)量的籌碼？2三角形ABC,求證在邊AB上存在一點(diǎn)D使得CD是AD、DB的幾何平均值的充要條件是sinAsinB0的整系數(shù)多項(xiàng)式，n是P(X)=1或-1的不同整根的個(gè)數(shù)，則有n=x2=.=xn以及y1=y2=.=yi都是實(shí)數(shù)，求證若z1,z2，,zr是yi的任意排列則有Z(xi-yi)2=Z(xi-zi)2上式中左右兩邊的求和都是i從1到n。2令a1a2a3=1，存在無窮多個(gè)an可以寫成an=rai+sa的形式，其中r,s是正實(shí)數(shù)且jio3任意三角形ABC的邊上，向外作

21、三角形ABR,BCP,CAQ,使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求證角QRP是直角并且QR=RP。4令A(yù)是將44444444寫成十進(jìn)制數(shù)字時(shí)的各位數(shù)字之和，令B時(shí)A的各位數(shù)字之和，求B的各位數(shù)字之和。5判定并證明能否在單位圓上找到1975個(gè)點(diǎn)使得任意兩點(diǎn)間的距離為有理數(shù)。6找出所有兩個(gè)變量的多項(xiàng)式P(x,y)使其滿足：對(duì)某一正整數(shù)n及所有實(shí)數(shù)t、x、y有P(tx,ty)=tnP(x,y成立；II對(duì)所有實(shí)數(shù)x、y、z有P(y+z,x)+P(z+x,y)+P(x+y,z)=0;IIIP(1,0)=1o第18屆IMO1平面上一凸四邊形的面積是

22、32,兩對(duì)邊與一對(duì)角線之和為16,求另外一個(gè)對(duì)角線的所有可能的長度。令P1(x)=x2-2,Pi+1=P1(Pi(x),i=1,2,3,，求證對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n,方程式Pn(x)=x的所有根都是互不相同的實(shí)數(shù)。3個(gè)長方形的箱子可以用單位正方體完全裝滿，如果用體積為2的正方體來盡量裝填，使得每個(gè)邊都與箱子的邊平行，則恰能裝滿箱子的40%,求所有這種箱子的可能尺寸(長、寬、高)。4試將1976分解成一些正整數(shù)之和，求這些正整數(shù)乘積的最大值，并加以證明。n是一個(gè)正整數(shù)，m=2n,aij=0、1或-1(1=i=n,1=j=m。還有m個(gè)未知數(shù)x1,x2,xm滿足下面n個(gè)方程：ai1x1+ai2x2+ai

23、mxm=0,其中i=1,2,n求證這n個(gè)方程有一組不全為0的整數(shù)解(x1,x2,xm)使得|xi|2是一給定整數(shù)，Vn是所有1+kn形式的整數(shù)構(gòu)成的集合，其中k是正整數(shù)，對(duì)于Vn中的一個(gè)數(shù)m,如果不存在Vn中的兩個(gè)數(shù)p、q使得m=pq,則稱m是不可分解的。求證：Vn中存在一數(shù)r,它可有多于一種的方式表示為Vn中不可分解數(shù)的乘積。(乘積中若僅僅是因數(shù)的順序不同則視為是同一種分解。)定義f(x)=1-acosx-bsinx-Acos2x-Bsin2x其中a,b,A,B都是實(shí)數(shù)常量。如果f(x)=0對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立，求證a2+b2=2且A2+B2f(f(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立，則f(n)=n對(duì)每

24、個(gè)n都成第20界IMOm、n都是正整數(shù)且nm。如果1978m和1978n的十進(jìn)制表示法的末三位數(shù)字相同，試求滿足此條件并使m+n達(dá)到最小的m與n。P是某已知球內(nèi)部一點(diǎn)，A、B、C是球面上三點(diǎn)，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC決定的平行六面體與P點(diǎn)對(duì)角相向的頂點(diǎn)為Q,試求出Q點(diǎn)的軌跡。3兩不交集合f(1),f(2),f(3),.和g(1),g(2),g(3),.的并集是全部的正整數(shù)，其中ff(2)f(3)gg(2)g(3)=H/k;上式中兩邊的求和都是k從1到n。6某國際組織共有來自六個(gè)國家的共1978名會(huì)員，會(huì)員編號(hào)分別是1,2,(1978)求證至少有某一會(huì)員的編號(hào)，恰為與他同

25、國家的另外兩位會(huì)員編號(hào)的和，或者是他同國家的兩外一名會(huì)員編號(hào)的兩倍。第21界IMO1.m,n是滿足下述條件的正整數(shù)：m/n=1-1/2+1/3-1/4+.-1/1318+1/1319.求證：m可被1979整除。2-個(gè)棱柱的上底和下底分別是正五邊形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5。這兩個(gè)正五邊形的每條邊以及每個(gè)AiBj邊都被染上紅色或藍(lán)色。又已知每個(gè)邊都被著色的三角形(其頂點(diǎn)即這個(gè)棱柱的頂點(diǎn))必有兩邊著不同色，求證：上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。3平面上的兩個(gè)圓相交，A是其中一個(gè)交點(diǎn)?，F(xiàn)有兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從A出發(fā)各自以恒定的速度，同以順時(shí)針方向或同以逆時(shí)針方向繞各自的圓移動(dòng)，在繞過一

26、周之后這兩點(diǎn)又同時(shí)回到了A點(diǎn)。求證：在這個(gè)平面上一定存在某個(gè)固定的點(diǎn)P使得在任意時(shí)刻P點(diǎn)都與這兩動(dòng)點(diǎn)的距離相等。4給定一平面k,在這個(gè)平面上有一點(diǎn)P,平面外有一點(diǎn)Q,試找出平面k上的所有的點(diǎn)R使得(QP+PR)/QR為最大值。5.試求出所有的實(shí)數(shù)a,使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,x5滿足下列關(guān)系式：x1+2x2+3x3+4x4+5x5=a;x1+23x2+33x3+43x4+53x5=a2;x1+25x2+35x3+45x4+55x5=a3。6令A(yù)、E是一個(gè)正八邊形的兩相對(duì)頂點(diǎn)，一只青蛙從A點(diǎn)開始跳動(dòng)，除了E點(diǎn)外，從八邊形中的其他每一個(gè)頂點(diǎn)都可以跳至與它相鄰兩頂點(diǎn)中的任何一個(gè)。當(dāng)它跳到E點(diǎn)時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)an為恰好經(jīng)過n步跳動(dòng)以后到達(dá)E點(diǎn)的所有可能線路的個(gè)數(shù)，求證：a2n-1=0a2n=(2+2)n-1/p2-(2-72)n-1/2第22界IMO1.P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，D、E、F分別是從P點(diǎn)向邊BC、CA、AB所引垂線的垂足