2022高考總復習 數(shù)學(人教A理一輪)第2課時　不等式的證明

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第2課時不等式的證明選修452022關鍵能力 學案突破考點證明不等式(多考向探究)考向1比較法證明不等式【例1】 已知函數(shù)f(x)=|x-3|.(1)解不等式f(2x+4)4;(2)若a,bR,|a|1,|b|f(a-b+3).(2)證明 f(ab+2)f(a-b+3)|ab-1|a-b|,因為|a|1,|b|1,所以a21,b20,所以|ab-1|2|a-b|2,即|ab-1|a-b|,所以原不等式成立.解題心得1.作差比較法的步驟:作差變形(化簡)定號(差值的符號)得出結(jié)論.2.作商比較法的步驟:作商變形(

2、化簡)判斷(商值與實數(shù)1的關系)得出結(jié)論.對點訓練1(2020寧夏銀川高級中學月考)已知f(x)=|x-1|+|x+1|,不等式f(x)4的解集為M.(1)求集合M;(2)當a,bM時,證明:2|a+b|4+ab|.解得-2x-1或-1x1或1x2,-2x2,M=(-2,2).(2)證明 當a,bM時,即-2a2,-2b2,4(a+b)2-(4+ab)2=4a2+4b2-16-a2b2=(a2-4)(4-b2)0,4(a+b)2(4+ab)2,2|a+b|3恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若0a1,|b|f(b).又因為0a1,|b|1,所以a21,b20,所以|ab-1|a-b|,故所證不

3、等式成立.解題心得用分析法證明不等式時應注意(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論;(2)分析法證明不等式的思維是從要證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式;(3)用分析法證明數(shù)學命題時,一定要恰當?shù)赜煤谩耙C”“只需證”“即證”等詞語.考向4利用絕對值三角不等式證明不等式【例4】 (2020廣東珠海三模,23)已知函數(shù)f(x)= |x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+1)4;解題心得利用絕對值三角不等式證明不等式時,一般需要利用絕對值的意義,對函數(shù)或代數(shù)式中的幾個絕對值里面的代數(shù)式做正負號的調(diào)整

4、,使之利用絕對值三角不等式后對消變量,得到常數(shù).考向5利用放縮法證明不等式【例5】 設函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)略;解題心得放縮法證明不等式,常常利用基本的不等式,絕對值三角不等式等大家熟知的數(shù)學結(jié)論進行放縮,有時也對要證明結(jié)論的一端進行適當?shù)姆呕蚩s來證明不等式.對點訓練5已知a,b,c均大于0,函數(shù)f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)當a=b=c=2時,求不等式f(x)0,b0,c0,所以f(x)=|a-x|+|x+b|+c|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c.因為f(x)的最小值為1,所以a+b+c=1,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab

5、+2ac+2bc=1.因為2aba2+b2,2bcb2+c2,2aca2+c2,所以1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3(a2+b2+c2).所以a2+b2+c2 .考向6利用柯西不等式證明不等式【例6】 (2020安徽合肥三模,22)已知函數(shù)f(x)=|2x-2|-|x+1|的最小值為m.(1)求m的值;(2)若a+b+c+m=0,證明:a2+b2+c2-2b+4c+20.(2)證明 由(1)知,a+b+c=2,a2+(b-1)2+(c+2)2(12+12+12)a1+(b-1)1+(c+2)12=(a+b+c+1)2=9,a2+(b-1)2+(c+2)23, 當且僅當a=b-1=

6、c+2,a+b+c=2,即a=1,b=2,c=-1時,等號成立.a2+b2+c2-2b+4c+20.解題心得利用柯西不等式證明不等式時,一定要滿足柯西不等式的形式,這往往需要對要證明的不等式的一端的代數(shù)進行變形,以滿足柯西不等式的形式.對點訓練6(2020山西太原二模,23)已知a,b,c為正實數(shù). 要點歸納小結(jié)1.含絕對值不等式的證明,可用“零點分段法”去掉絕對值符號,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.2.不等式證明中應注意的事項(1)作差比較法適用的主要是多項式、分式、對數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結(jié)構(gòu).(2)利用柯西不等式證明不等式,實質(zhì)上就是利用柯西不等式進行放縮,放縮不當則等號可能不成立,因此,要切記檢驗等號