離心率專題訓(xùn)練

1、離心率專題一、求離心率的大小1,直接求出a、b、c,求解e2X 2 2例1：已知雙曲線 y2=l(a 0)的一條準(zhǔn)線與拋物線 y2= 6x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的 a離心率為變式1：若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1 1,0 , F1 3,0，則其離心率為 變式2：如果雙曲線的實(shí)半軸長為2,焦距為6,那么雙曲線的離心率為 22x y.變式3：點(diǎn)P 3,1在橢圓 二+-=1 ab 0的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)閍= 2, 5的 a b光線，經(jīng)直線 y= 2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個橢圓的離心率為 2.構(gòu)造a、b、c的齊次式，求解 e22x y例2：已知E、F2是雙曲線 上2=1 a0, b 0的兩焦

2、點(diǎn)，以線段 F1F2為邊作正三角形 a bMF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 22x y變式1：設(shè)雙曲線 5=1 ba 0的半焦距為c,直線L過a,0 , 0,b兩點(diǎn)。已知原點(diǎn) a2 b2到直線的距離為 c,則雙曲線的離心率是4變式2：雙曲線虛軸的一個端點(diǎn)為M ,狂歌焦點(diǎn)為 F1、F2,F1MF2=120，則雙曲線的離心率是.采用第一定義求解2 x 例3：已知F1、52是雙曲線 a2b2的左右焦點(diǎn)，雙曲線恰好通過正FiF2 A的兩邊F1A、F2A的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是 變式1：設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2 ,過52作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P ,若 F1PF2為

3、等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率為 .采用第二定義求解22例4：設(shè)橢圓xy 4=1 a 0, b 0的右焦點(diǎn)為Fi,右準(zhǔn)線為li,若過Fi且垂直于X軸的 a b弦的長等于點(diǎn)Fi到li的距離，則這個橢圓的離心率為 變式i：在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為J2,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為i,則這個橢圓的離心率為 5.利用正余弦定理22X V例5：已知Fi、F2是橢圓 22=i ab 0的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且 PFiF2=i05, a bPF2Fi=i5，則這個橢圓的離心率為 22X V變式i：已知l F2是橢圓 七=i ab 0的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且 FiPF2=60 , a b三角

4、形 F1PF2的外接圓半徑為 3,且PF2=3,則這個橢圓的離心率為 二、求離心率的范圍1.由圓錐曲線x、y的范圍求離心率的范圍，由焦半徑范圍求離心率的范圍x2 y2例1：已知冗、F2是橢圓 2=1 ab 0的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，P到兩焦點(diǎn)距離為a b2:1 ,則橢圓的離心率取值范圍為變式1:已知2xFi F2是雙曲線一2a2% = 1 a0, b 0的兩焦點(diǎn)，P為右支上一點(diǎn)，若bPFi =4 PF2，則雙曲線的離心率取值范圍為 變式2:雙曲線22x y 22_=1 a0, b 0的兩個焦點(diǎn)為 Fi、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PFi|=2|PF 2|,a b則雙曲線離心率的取值范圍為 2.利

5、用均值不等式2 x 例2:分別過橢圓3a21=1 ab 0左右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，若垂足在橢圓上, b2則橢圓的離心率取值范圍為 3.利用漸近線例3：設(shè)雙曲線C的中心點(diǎn)為 O,若有且只有一對相交于點(diǎn)O,所成的角為60的直線 入81和A2B2，使AB1= A2B2，其中A1, 81和A2, B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍為 22x y變式1：已知雙曲線 匕 1(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線 a b與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是4.直接根據(jù)題意建立a, c不等關(guān)系求解2 x例4:若雙曲線ay23a5 1

6、(a 0,b 0)上橫坐標(biāo)為衛(wèi)的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線b22的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是 22x y 變式1：橢圓 匕 1(a b 0)的焦點(diǎn)為F1,F2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為 M, N,a bMNF1F2，則該橢圓離心率的取值范圍是5.借助平面幾何關(guān)系建立a,c不等關(guān)系求解 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 22x V例5：設(shè)Fl, F2分別是橢圓 F 彳 1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在P,a b使線段PF1的中垂線過點(diǎn) F2,則橢圓離心率的取值范圍是6.運(yùn)用判別式建立不等式

7、關(guān)系求解22x V例6 ：在橢圓三 上 1(a b 0)上有一點(diǎn) M, Fi, F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若 a b_ _ _ _ 2MF 1 MF2 2b，則橢圓離心率的取值范圍是 2變式1：設(shè)雙曲線C：: V2 1(a 0)與直線l : X V1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B.求雙a曲線C的離心率的取值范圍 課后練習(xí).在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為J2,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則橢圓的離&,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為心率為.在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長為線的離心率為22X V3.設(shè)F1, F2分別是雙曲線 匕 1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) A,使 FAF2=90 , a b且

8、AF1 =3 AF2，則雙曲線的離心率為 22X V4.已知雙曲線 1,(a 0,b 0)的左，右焦點(diǎn)分別為 E, F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上, a b且| PF1 | 4 | PF2 |,則此雙曲線的離心率的最大值為2 x5.已知F1 , F2分別為一2 a2y4 1 (a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn), b2PFiPF22-的最小值為則該雙曲線的離心率的取值范圍是2x6.已知橢圓-2a2 y b21(a b 0)右頂為a,點(diǎn)p在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 OP垂直于PA,求橢圓的離心率的取值范圍是2x7.橢圓G ： -2 a2y彳 1(a b 0)的兩焦點(diǎn)為F( c,0)

9、, F2(c,0),橢圓上存在點(diǎn)M使 bF1MF2M0.求橢圓離心率的取值范圍是8.設(shè)a 1,則雙曲線2y 91的離心率的取值范圍是(a 1)2離心率的專題復(fù)習(xí)橢圓的離心率0 e一、直接求出a、(:1,雙曲線的離心率 e 1,拋物線的離心率 c,求解e已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或c易求時(shí)，可利用率心率公式ec ，一來解決。a例1：已知雙曲線2x2a(a 0)的一條準(zhǔn)線與拋物線y26x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為A型 rA.B.C.D.2、32 ax cc2 12-3解：拋物線y 6x的準(zhǔn)線是x 2,即雙曲線的右準(zhǔn)線2c2 3c 2 0,解得 c 2, a 愿故選D變式練習(xí)1:若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且

10、焦點(diǎn)為F1 1,0、F2 3,0,則其離心率為（A. 34 解：由F1 1,0B.、F2 3,0 知 2cC.D.1 ,所以離心率e變式練習(xí)2:如果雙曲線的實(shí)半軸長為a2,2c 1 ,又.橢圓過原點(diǎn)，a c1一.故選C.2焦距為6,那么雙曲線的離心率為（14c 3,B.C.解：由題設(shè)a2, 2c 6,則3,變式練習(xí)3:點(diǎn)P (-3 , 1)在橢圓2x-2a2 y b20）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)閍 2, 5的光線，經(jīng)直線 y2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個橢圓的離心率為（,33解：由題意知，入射光線為y 15一 x 3 ,關(guān)于y2的反射光線（對稱關(guān)系）為22,35x 2y 5 0,則 c解得

11、a5c 5 0a學(xué)故選a、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助 a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造 ac的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率 e。22例2：已知F1、52是雙曲線4 1 （ aa b0,b 0）的兩焦點(diǎn)，以線段 F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MFi的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（A. 4 2 3 B. . 3 1 C.D. . 3 12-，一c解：如圖，設(shè)MFi的中點(diǎn)為P,則P的橫坐標(biāo)為一，由焦半徑公式2PFjexp a,即c - a ,得2 -2 0,解得a 2a ae - 1 6 （1 有舍去），故選D a 22變式練習(xí)1：設(shè)雙曲

12、線Jx- X- 1（ 0 a b）的半焦距為c,直線L過a,0 , 0,b兩點(diǎn). a2 b2已知原點(diǎn)到直線的距離為蟲c,則雙曲線的離心率為（）4A. 2 B.3C. 2D.解：由已知，直線L的方程為bx ay ab 0 ,由點(diǎn)到直線的距離公式， 得 _ab c,a2 b24又 c2 a2 b2, 4ab b0)的離心率為 正，過右焦點(diǎn)F且斜率為k (k0) b22的直線于C相交于A、B兩點(diǎn),若 AF 3FB，貝I k =五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求通?？梢詮膬蓚€方面來研究：一e的取值范圍：一般來說，求橢圓或雙曲線的離心率的取值范圍, 是考慮幾何的大小，例如線段的長度、角的大小等；二是通過設(shè)橢圓(

13、或雙曲線)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓或雙曲線本身的范圍，列出不等式.(一)基本問題2 x 例.橢圓G a2yr 1(a b 0)的焦點(diǎn)為Fi, F2,兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為 M, N, bF1F2，則該橢圓離心率的取值范圍是收12(二)數(shù)形結(jié)合2x例.已知橢圓+a2 x 2 a2-y一r 1的離心率e的取值范圍是(a 1)2. (2,5)2b2=1(ab0)的焦點(diǎn)分別為 F1, F2,若該橢圓上存在一點(diǎn)P,使彳導(dǎo)/ F1PF260 ,則橢圓離心率的取值范圍是亭)Ex1.已知E、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足MF1 MF2 0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是(0噂)(三)利用焦半徑的取值范圍

14、2 x 例1 .已知雙曲線 a2yT 1(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi( c,0), F2(c,0),若雙曲b線上存在一點(diǎn)sin一PFF2 -,則該雙曲線的離心率的取值范圍是sinPF2F1c. (1,變：已知橢圓2x2 + a2 y b21(a b0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,若橢圓的右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn) P,使得PFi的中垂線過點(diǎn) F2,則橢圓離心率的取值范圍是2 xEx1.雙曲線不 a2y% 1 (a0,b 0)的兩個焦點(diǎn)為 Fi、F2,若P為其上一點(diǎn)， 且|PFi|二2|PF 2|, b則雙曲線離心率的取值范圍為1.3則該橢圓離心率的取值范圍是屋2 1,1)PFi e,PF2

15、Ex2.已知橢圓+2=1(ab0)的焦點(diǎn)分別為Fi, F2,若該橢圓上存在一點(diǎn)P,使得配套練習(xí)2x1.設(shè)雙曲線三a2匕 1 (a 0,b b0)的離心率為忑3,且它的一條準(zhǔn)線與拋物線y2 4x的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為(2 x A.122匕124B.482匕1962 x C.3D.2.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于(13B 33D.已知雙曲線2x2a2 y b21的一條漸近線方程為4x3則雙曲線的離心率為(A5.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為2 ,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為A -2-245.在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為1 4 ,

16、e 2,選 C a2 x 10.橢圓ab 0）的焦點(diǎn)為Fi , F2,兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為2 a | MN | 2 c2c, MN 21.橢圓方程2 x C : a2y點(diǎn)，直線l的傾斜角為60PF2 aex2的應(yīng)用2.橢圓方程2 x C :a橢圓離心率e - a的求法答案左加右減,y2F 1ab 0的右焦點(diǎn)為F ,過F的直線l與橢圓C相交于A,B兩AF 2FB ,求橢圓的離心率？（焦半徑公式弦長公式dPFi aV1 k2|xi X2,k為直線的斜率）b 0的右焦點(diǎn)為F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段 AP的垂直平分線過點(diǎn) F ,則橢圓的離心率的范圍？（焦準(zhǔn)距b2的應(yīng)用

17、）c3.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是?（關(guān)于a,c的2二元二次方程 ma nacpc0解法）4.已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn),B是短軸上的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于D,且BF 2FD，則C的離心率為?（相似三角形性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例的應(yīng)用）2 x5.過橢圓C : a2匕1a b20的左焦點(diǎn)F ,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上，且BF x 軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P ,若AP2PB ,則橢圓的離心率為？（相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用）2 x6.過橢圓C : a2匕1a b20的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn)，若2F1PF2 60，則橢圓的離心率為？（橢圓

18、焦三角形面積 S b tan-（F1PF2）.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率？（橢圓基本性質(zhì) a2 b2 c2的應(yīng)用）.橢圓x2 4y2 1的離心率為？（橢圓基本性質(zhì) a2 b2 c2的應(yīng)用） TOC o 1-5 h z 22x y9.橢圓C：f - 1 a b 0的焦點(diǎn)為Fi,F2,兩條準(zhǔn)線與 x軸的交點(diǎn)為 M,N,若 a b 222MN 2 F1F2 ,則該橢圓的離心率的取值范圍是？（橢圓基本性質(zhì) a b c的應(yīng)用）22x y.設(shè)Fi,F2分別是橢圓C:0 221ab 0的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P,a bb2使線段PF1的中垂線過點(diǎn) F2,則橢圓的離心率的取值范圍

19、是？（焦準(zhǔn)距 ；垂直平分線性質(zhì)：c垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等；三角形性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊應(yīng)用）.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為22 ,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓（通徑生22的離心率為?一，焦準(zhǔn)距）c2212.已知橢圓C :與-yr1 aa bb 0的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2 ,若橢圓上存在點(diǎn)asin PF1F2csin PF2F1則該橢圓的離心率的取值范圍是（正弦定理a b csin A sin BsinC2R,第一定義 PF1 PF2 2a)13.在平面直角坐標(biāo)系中,A1, A2, Bi,B2為橢圓的四個頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線 A1B2與直線BF相交于點(diǎn)T ,線段OT與橢圓的交點(diǎn) M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為？（直線方程交點(diǎn)坐標(biāo)）.在 ABC中，AB BC,cosB.若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C ,則該橢圓的離18心率為？（余弦定理a2 b2 c2 2bccos A,第一定義）.已知正方形 abcd,則以a,b為焦點(diǎn)，且過兩點(diǎn) c,d的橢圓的離心率為？（通徑a2.已知橢圓的焦距為 2c,以點(diǎn)O為圓心，a為半徑作圓