9.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分教案

1、9.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分教案9.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分教案9.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級授課時(shí)間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題9.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分教學(xué)目的1. 理解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，熟練掌握求偏導(dǎo)數(shù)與全微分的方法。2. 會求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、全微分。教學(xué)重點(diǎn)1.偏導(dǎo)數(shù)的定義；全微分的定義。教學(xué)難點(diǎn)1.多元函數(shù)微分學(xué)的幾個(gè)概念，即多元函數(shù)極限的存在性、多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、全微分的

2、存在性、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系。教學(xué)用具備 注 回顧舊知引入新課新授課新授課新授課新授課新授課新授課課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們知道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)增量與自變量增量比值在時(shí)的極限，即.對于二元函數(shù)，也有類似的問題，但由于自變量多了一個(gè)，問題將變得更為復(fù)雜.這一節(jié)里，我們主要研究二元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化規(guī)律，這就產(chǎn)生了偏導(dǎo)數(shù)的概念.一偏導(dǎo)數(shù)的概念一般的，在二元函數(shù)中，如果只有自變量變化，而另一個(gè)自變量固定(即看做常量)，這時(shí)它就是的一元函數(shù)，此函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)就是二元函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù)；若自變量變化，另一個(gè)自變量固定(即看做常量)時(shí)，它就是的一元函數(shù)，此函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)就是二元函

3、數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù).由此得到偏導(dǎo)數(shù)定義：定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，固定，如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作類似地，當(dāng)固定在時(shí)，可定義在處對的偏導(dǎo)數(shù)為 如果在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都具有對(或)的偏導(dǎo)數(shù)，顯然此偏導(dǎo)數(shù)是變量、的二元函數(shù)，則稱其為函數(shù)在內(nèi)對(或)的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱為偏導(dǎo)數(shù).記為 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，二元函數(shù)對某一個(gè)變量求偏導(dǎo)，就是將另一個(gè)變量看作常量，運(yùn)用一元函數(shù)求導(dǎo)法即可求得.例1 求函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù).解：先求偏導(dǎo)函數(shù)，把看作常量，對求導(dǎo)得，把看作常量，對求導(dǎo)得，把，代入上兩式，得到函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，.例2 求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解：對求偏導(dǎo)數(shù)，把看做常量，這時(shí)

4、是冪函數(shù)，.對求偏導(dǎo)數(shù)，把看做常量，這時(shí)是指數(shù)函數(shù)，.例3 設(shè)函數(shù)，求，.解： . .注意：對于一元函數(shù)，既表示對的導(dǎo)數(shù)，又可以看成一個(gè)分式：的微分與的微分之商.但是對于二元函數(shù)，、只是一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的整體記號，不能再看成商的形式.函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性關(guān)系若一元函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處必連續(xù).對于二元函數(shù)則沒有這樣的結(jié)論，例如二元函數(shù)在點(diǎn)處的極限不存在，故在點(diǎn)處不連續(xù).但有即在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在.二高階偏導(dǎo)數(shù) 二元函數(shù)的二個(gè)偏導(dǎo)數(shù)一般來說仍然是的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對自變量求導(dǎo)的次序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：其中稱為混合偏導(dǎo)

5、數(shù).是先對求偏導(dǎo)數(shù)，所得結(jié)果再對求偏導(dǎo)數(shù)；是先對求偏導(dǎo)數(shù)，再對求偏導(dǎo)數(shù).同樣的，可以定義三階、四階以及階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)都稱為高階偏導(dǎo)數(shù). 例4 求函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù). 解：因?yàn)?， 所以 ， ，. 例5 求的二階偏導(dǎo)數(shù). 解：因?yàn)?， 所以 ， ， ， . 定理9.1 如果函數(shù)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域上有(證明略).三全微分 定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量由，改變?yōu)楹?，且點(diǎn)在鄰域內(nèi)，此時(shí)函數(shù)的相應(yīng)改變量稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處的全增量. 參照一元函數(shù)微分的定義，對多元函數(shù)的全微分定義如下： 定義2 設(shè)有二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)處的全增

6、量可以表示為其中是的函數(shù)，與無關(guān)，是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，則稱二元函數(shù)在點(diǎn)處可微，并稱是在點(diǎn)處的全微分，記作 如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微.在一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，且，那么二元函數(shù)在點(diǎn)處的可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間有什么關(guān)系呢？全微分定義中的,又如何確定？它是否與函數(shù)有關(guān)系呢？定理9.2 若函數(shù)在點(diǎn)處可微，即 則在該點(diǎn)處，函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且，.與一元函數(shù)一樣，由于自變量的改變量等于自變量的微分，即，.所以全微分記作.定理9.1指出，如果函數(shù)可微，則其偏導(dǎo)數(shù)一定存在.反之，若的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處存在且連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可微.例6 求函數(shù)的全微分.解：因?yàn)?，?.例7 計(jì)算函數(shù)，當(dāng)時(shí)的全改變量及全微分.解：函數(shù)的全改變量為： 由于 ， 所以函數(shù)的全微分為