高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：7.2 基本不等式及其應(yīng)用2)

1、PAGE PAGE 15第二節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用考綱解讀1. 了解基本不等式的證明過程.2. 會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.3. 利用基本不等式證明不等式.命題趨勢探究基本不等式是不等式中的重要內(nèi)容,也是歷年高考重點考查的知識點之一,其應(yīng)用范圍涉及高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié),且?？汲Ｐ?但考查內(nèi)容卻無外乎大小判斷、求最值和求最值范圍等問題.預(yù)測2019年本專題在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判斷,求取值范圍問題.本專題知識的考查綜合性較強,解答題一般為較難題目,每年分值為58分.知識點精講1. 幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果則 (當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).特例：.（3）

2、其他變形：(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2. 均值定理已知（1）如果(定值),則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).即“和為定值,積有最大值”.（2）如果(定值),則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).即積為定值,和有最小值”.題型歸納及思路提示題型91 基本不等式及其應(yīng)用思路提示熟記基本不等式成立的條件,合理選擇基本不等式的形式解題,要注意對不等式等號是否成立進(jìn)行驗證.例7.5 “”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不

3、充分也不必要條件解析：由能推出；但反之不然,因為的條件是, 故選A.變式1 已知且,則（ ）A. B. C. D. 解析 由及,可推出,由可推出,故選項都不對,故選.變式2 (2017江蘇10）某公司一年購買某種貨物噸，每次購買噸，運費為萬元次，一年的總存儲費用為萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是 解析 一年的總運費與總存儲費用之和為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號故填例7.6 若,則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是 （寫出所有正確命題的序號）.；.解析：對于,由及得即(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),故正確；對于,由及得,即(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),故正確；對于,由,故正確. 對于,因此(當(dāng)且僅當(dāng)

4、時取等號),故不恒成立；對于,又,則,故正確,故填.變式1 如果正數(shù)滿足,那么（ ）A. ,且等號成立時的取值唯一B. ,且等號成立時的取值唯一C. ,且等號成立時的取值不唯一D. ,且等號成立時的取值不唯一解析 正數(shù)滿足,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立；綜上得,且等號成立時,的取值都為2.故選A.題型92 利用基本不等式求函數(shù)最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值時,要把握四個方面,即“一正各項都是正數(shù)；二定和或積為定值；三相等等號能否取到（對于不滿足相等的函數(shù)求最值,可考慮利用函數(shù)單調(diào)性解題）；四同時多次使用基本不等式時等號要同時取得”,求最值時,這是個方

5、面缺一不可,若忽視了某個條件的驗證,可能會出現(xiàn)錯誤.（2）利用基本不等式求函數(shù)最值常用的技巧有：1通過加減項的方法配湊成使用基本不等式的形式；2注意“1”的變換；3靈活選擇和應(yīng)用基本不等式的變形形式；4合理配組,反復(fù)使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意條件的驗證例7.7 （1）若,求函數(shù)的最小值；（2）若,求函數(shù)的值域.分析：（1）因為滿足不等式條件,可以直接利用基本不等式求最值.（2）因為,故需先轉(zhuǎn)化為,才能利用基本不等式求最值.解析：因為,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取最小值.（2）因為,所以,則且,即. 當(dāng)且僅當(dāng)即時,取最大值.故函數(shù)的值域為評注：解（1）時,應(yīng)注意積為定

6、值這個前提條件；解（2）時,應(yīng)注意使用基本不等式求最值時,各項必須為正數(shù).變式1 （1）求函數(shù)的值域（2）求函數(shù)的最小值；（3）求函數(shù)的最小值.解析 （1）令,則函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),即時,此時取等號.故函數(shù)的值域為.（2）,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故函數(shù)的最小值為.（3）令,所以,在上為增函數(shù),所以當(dāng),即時,.評注 利用基本不等式要注意驗證等號條件是否成立.當(dāng)不能使用基本不等式求取最值時,可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.二、通過代數(shù)變換湊配成使用基本不等式的形式例7.8 已知求函數(shù)的最大值.分析：因為,所以首先要調(diào)整符號,又不是常數(shù),所以要對進(jìn)行拆湊項,通過將函數(shù)解析式拆湊成可以使用基本不等式的形

7、式,從而求得函數(shù)的最值.解析：因為,所以,由（當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號）得. 所以函數(shù)的最大值為.當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號,故當(dāng)時,.評注：利用基本不等式求最值時要重視各種條件,即“一正二定上相等四同時”必須全部滿足,方可利用其求得最值. 如果本題中的條件“”改為“”,則如下求解：因為,所以,為錯誤求解,錯誤原因：在于只注重基本不等式的形式構(gòu)造而未對成立條件“三相等”加以驗證,事實上,.一般地,對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,若不滿足“三相等”的條件可以利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.另外,還要注意與對勾函數(shù)同形質(zhì)異的函數(shù)在上和均為單調(diào)增函數(shù).如可直接利用單調(diào)性求最值.變式1 求函數(shù)的最大值.必為“求

8、的最大值”.若求解解過程如下：因為,所以,故的最大值為3.則求解過程和答案都是錯誤的,其錯誤的原因就是只注意基本不等式的形式特點,忘記我們的“三相等”是否成立的驗證工作. 若通過驗證“三相等”條件：當(dāng)且僅當(dāng),即時,取到等號.可知這樣的實數(shù)并不存在,即本題不能使用基本不等式求解,故本求解過程和答案都是錯誤的,這時可考慮利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解,易求得最大值為.變式2 設(shè)正實數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時,最大值為（ ）A. B. C. D. 解析 由,得.因,則（當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立）,所以,即的最大值為1,此時,則,所以當(dāng)時,取最大值為1,所以的最大值為1.故選B.三、“1”的變換例7.9 已知,

9、且,求的最小值.分析：利用條件中“”的變換.解析：解法一：因為,且,所以.當(dāng)且僅當(dāng)即的最小值16.解法二：由,且,得,所以10.因為,所以,所以.當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,此時,所以當(dāng)時,取得最小值評注 本題的解法一是利用條件中的“”,代換成“”,將其所求的形配湊成利用基本不等式的形式,使得題目順利求解,但下面的解法是錯誤的：因為,即,所以,錯誤的原因在于連續(xù)使用了兩次基本不等式,但未對兩個“=”成立的條件是否吻合進(jìn)行驗證,其實,這兩次“=”不能同時取得,這就提醒我們,在多次使用基本不等式時,一定要驗證多次“=”滿足的條件能否同時成立.變式1 已知,則的最小值是 解析 由,得,所以（當(dāng)且僅當(dāng),即時

10、,取“=”號）,因此最小值為.變式2 求函數(shù)的最小值分析 利用中“1”的變換.解析 因為,所以 （當(dāng)用僅當(dāng)時取等號）,即當(dāng)時,函數(shù)的最小值為.變式3已知,證明：分析 將原不等式等價轉(zhuǎn)化后,再利用基本不等式.解析 因原不等式.因為,所以,而（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）.故原不等式成立.變式4 設(shè),則當(dāng) 時,最得最小值.解析 由,（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）,且或,當(dāng)取得最小值時,此時,得.故時取得最小值.四、轉(zhuǎn)化思想和方程消元思想在求二元函數(shù)最值中的應(yīng)用例7.10若正數(shù)滿足,則：（1）的取值范圍是 （2）的取值范圍是 分析 由等量關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征可知,只需將所求部分之外的部分利用不等式轉(zhuǎn)化為所求的形式,然后解

11、不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,解得或（舍）,所以,故有.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即的取值范圍是解法二：判別式法.令（）,則,代入原式得,整理得.,得或（舍）,的取值范圍是（2）解法一：,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,令,則,整理得即得或（舍）,即的取值范圍是解法二：判別式法,令（）,則,代入原式得,整理得,得或（舍）.即的取值范圍是評注：注意體會使用方程消元法求范圍與利用基本不等式求范圍的優(yōu)劣,試用方程消元法求解本題的第（2）問.變式1 若滿足,則的最小值是 解析 因為,所以,即,又,得,故的最小值是18.變式2 若滿足,則的最小值是 解析 因為,解得,或,又,故,即的最小

12、值是.變式3 若滿足,則的最小值是（ ） 解析 因為,令,得,即,由,可得,即的最小值為4.故選B.五、靈活選擇和運用基本不等式的變形形式例7.11 設(shè),則的最大值為 分析 觀察所求式子與題中所給條件的聯(lián)系,運用基本不等式靈活建立兩者之間的關(guān)系是解題的核心.解析 ,所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,即,時取“=”）. 的最大值為.評注 本題除了利用基本不等式求解外,還可以利用已知條件中的,采用三角換元來求解,望同學(xué)們自己嘗試變式已知,求的最小值分析 對于正實數(shù),均可用基本不等式,取“=”的條件是,此時,與矛盾,故此題要利用基本不等式的變形形式求解.解析 由,知,所以.當(dāng)且僅當(dāng),且時取等號,此時.故的最

13、小值是.評注 會靈活運用基本不等式的變形形式及來求解最小值.同時要注意兩次使用基本不等式取等號的條件是否同時成立,這是多次使用基本不等式求解函數(shù)最值的一大陷阱.六、合理配組,反復(fù)應(yīng)用基本不等式例7.12 設(shè),則的最小值是（ ） 解析 解法一：因為,所以.故則（當(dāng)且僅當(dāng)與,同時成立時,取得“=”）,即當(dāng),時,的最小值為,故選D解法二：,因為,所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）,（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）,所以當(dāng),時,的最小值為,故選D變式1 若,滿足的最小值是（ ） 解析 (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).故選C.變式2 若是正數(shù),則的最小值是（ ） 解析 （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.故選C.題型93 利用基本不等式證明不等

14、式思路提示類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得證明.例7.13 （1）,求證：（2）,求證：（3）,且,求證：解析 （1）因為,所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（2）因為,所以,三式相加得：,即（3）分析法.要證明,只需證,只需證：因為,所以,所以,成立.所以.評注 本題（2）的證明是綜合法,（3）的證明是分析法.綜合是從已知出發(fā)推導(dǎo)結(jié)果,分析法是從結(jié)果出發(fā),去分析命題成立的條件,一般情況下兩種方法是可以通用的,對于比較復(fù)習(xí)的問題,也可以結(jié)合這兩種方法使用變式1若,且,求證：分析 利用綜合法,將“1”代換來證明.解析 因為,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.變式2

15、證明：若,則分析 利用分析法發(fā)現(xiàn)不等式左邊含有,不等式右邊不含,故使用基本不等式消去.解析 .也可利用作差法證明：,所以.最有效訓(xùn)練題27（限時45分鐘）1函數(shù)（）在處取得最小值,則（ ） 2已知，則的最小值是（ ） 3若,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是（ ） 4已知,且,則的最大值為（ ） 5若,且則（ ） 6若,則點必在（ ）直線的左下方 直線的右上方 直線的右上方 直線的左下方7在“+”中的“ ”處分別填上一個自然數(shù),使他們的和最小,其和的最小值為 8設(shè)，若，則的最大值為 9已知關(guān)于的不等式在上恒成立,則實數(shù)的最小值為 10（1）設(shè)，求函數(shù)的最小值為_（2）設(shè),求函數(shù)的最小值.（3）已知,且

16、,求的最小值（4）若正數(shù)滿足,則的最小值是 11已知為正數(shù),求證：.12提高過江大橋車輛的通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車輛速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0,當(dāng)車流速度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明,當(dāng)時,車流速度是車流密度的一次函數(shù).（1）當(dāng)時,求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車密度為多大時,車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù),單位：輛/每小時）可以達(dá)到最大,并求出最大值（精確到1輛/小時）.最有效訓(xùn)練題27 1C 解析 ,當(dāng)9且僅當(dāng)時,取“=”.2D

17、 解析 ,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“=”,即的最小值為24.故選D.3D 解析 因為,所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,即）,此時的最小值為8,故,故選D.4A 解析 ,且,（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）,所以,因此,則的最大值為.故選A.5B 解析 因為,即,即,解得或（舍）,故選B.6A 解析 因為,所以,得,則點必在直線的左下方.故選A.7 10,15,25 解析 設(shè)所填的數(shù)分別為,且,則由得,（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）,此時,的最小值為25.8 解析： 9 解析 由,得,即,其中,因為,所以,解得,即的最小值為.10解析 （1），等號成立條件為，所以最小值為 （2）令在上單調(diào)遞減,故,所以的最小值為5.（3）因為,且,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以的最小值為.（4）由