分形幾何扮演了兩種角色

1、分形幾何扮演了兩種角色。它技術(shù)決定論混沌的幾何學(xué)，又是描述山巒、云團和星系的幾何 學(xué)。自然科學(xué)與幾何學(xué)總是攜手并進的。17世紀(jì)，開普勒發(fā)現(xiàn)能用橢圓描述行星繞太陽運行 的軌道。這激勵了牛頓用萬有引力定律解釋這些橢圓軌道。同樣，理想的擺做往復(fù)運動可以 用正弦波形表示。簡單的動力學(xué)常常和簡單的幾何外形相聯(lián)系。這一種數(shù)學(xué)圖像暗示，物體 的形狀和作用于它的力之間有一種平滑的關(guān)系。在行星和擺的例子中還暗示物理學(xué)是決定論 的，由系統(tǒng)的過去便能預(yù)測其未來。兩種新近的科學(xué)進展深深影響了幾何外形相聯(lián)系。首先是由于認(rèn)識到自然界充滿了某種 稱為決定論混沌的事物。宇宙中許多表面看來服從決定論定律的簡單物理系統(tǒng)，其行為仍

2、然 是不可預(yù)測的。例如，受兩個力作用的擺。用決定論的觀念已無法預(yù)測其運動，這使大多數(shù) 人吃驚。第二種進展來自對我們周圍見到的最不規(guī)則而復(fù)雜的現(xiàn)象：山巒和云團的外形，星系在 宇宙中的分布，離家近點，金融市場價格的起伏等，做數(shù)學(xué)描述所取得的成果。獲取這種數(shù) 學(xué)描述的一條途徑在于找到”模型”。換言之，需構(gòu)想或發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)規(guī)則，使之能對實現(xiàn)的 某些部分做”數(shù)學(xué)上的偽造”一一做成山巒或云團的照片、最深層空間的天體圖、報紙金融版 的圖表等。實際上，伽利略曾宣稱，”自然界偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的”，而且補充說，”其特征 為三角形、圓形和其他幾何圖形，沒有這些幾何圖形人們只能在黑暗的迷宮中做毫無結(jié)果的 游蕩

3、”。然而不論模擬決定論混沌還是模擬不規(guī)則系統(tǒng)，這些歐幾里得外形已經(jīng)沒什么用。 這些現(xiàn)象需要的幾何遠遠不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得結(jié)構(gòu)一特別是需要稱之為 分形幾何的新幾何學(xué)。1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，創(chuàng)造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形， 它與歐幾里得外形相反，是沒有規(guī)則的。首先，它們處處無規(guī)則可言。其次，它們在各種尺 度上都有同樣程度的不規(guī)則性。不論從遠處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來一個模 樣一一它是自相似的。整體中的小塊，從遠處看是不成形的小點，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓 分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。自然界提供了許多分形實例。例如，羊

4、齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物， 它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證了小尺度上的特征成長后就變 成大尺度上的特征。用明顯的數(shù)學(xué)模型加工出的分形工藝品為Sierpinski墊圈。取一黑三角形并把它分割成四 個較小的三角形，拿掉中心部分的第四個三角形，便留下一個白三角形。每一個新三角形也 重復(fù)上述做法，便能獲得尺度不斷縮小具有同樣形式的結(jié)構(gòu)，邊長總是教上一步邊長縮小一 倍。當(dāng)客體的部分和整體完全相似，就可以說客體是線性自相似的。然而，最重要的一些分形和線性自相似還是有區(qū)別的。其中有些是描述普通隨機性的分 形，另一些是能描述混沌，或非線性系統(tǒng)的分形（在這種系統(tǒng)中對系統(tǒng)行

5、為起作用的因素， 其作用程度與其產(chǎn)生的效果不成比例）。讓我們?yōu)樯蟽煞N情況舉出實例。我們的分形由于能偽造海岸線、山巒和云團而知名。另一個例子是為星際旅行II那 樣的影片制作的一些場景。我們的分形模擬著作從少量的人類智慧和大量的博物學(xué)知識開始。人類智慧從觀察某些 事物入手，像立體派畫家那樣做觀察?！痹茍F不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的， 樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進”。所有這些自然結(jié)構(gòu)都具有不規(guī)則形狀，它們是自相 似的。換言之，我們發(fā)現(xiàn)，把整體中的一部分放大便能進一步揭示其深層結(jié)構(gòu)，而它幾乎就 是我們一開始處理的那種原始結(jié)構(gòu)的復(fù)制品。博物學(xué)知識涉及對自然結(jié)構(gòu)事實的收集與分類。例如，當(dāng)你測

6、量一個國家的海岸線，測 得越精細，海岸線長度長度便會越長，因為你不得不計入沿海岸線長度越來越小的不規(guī)則性。劉易斯.賴伊.理查森已經(jīng)找到描述這種長度增加的經(jīng)驗定律。為使分形幾何有意義，我們不得不尋找一種方法，從數(shù)量的觀點來表達形狀的復(fù)雜性，就 象歐幾里得幾何引用角度、長度、面積、曲率，以及用一維、二維、三維這些概念一樣。對于復(fù)雜的幾何形體，普通維數(shù)的概念可能隨尺度不同而改變。例如，直徑10厘米的球 用1毫米粗的細線做成。從遠處看，球是一點。離10厘米遠，線球是三維的。在10毫米處， 它是一維線團。在1毫米處，每根線變成了圓柱體，整體又一次變成一維，如此等等，維數(shù) ”交叉”反復(fù)從一個值到另一個值。

7、當(dāng)球用有限數(shù)目像原子那么小的微物代表時，它變成零維。對于分形，和普通維數(shù)（0，1，2, 3）相對應(yīng)的維數(shù)稱為分形維數(shù)。通常，它們的維數(shù) 值不是整數(shù)。最簡單的分形維變量是相似維Ds只不過給出描述客體所需要的普通維數(shù)一分別為0、 1、2、3。對一條曲線線性自相似分形又該怎么看呢？這樣一條曲線能從很光滑的一維線， 到接近充填成一個面，這意味著線纏繞得太多了，以致看起來它的每一部分都是面上的某個 區(qū)域，變成差不多是二維。相應(yīng)的Ds值就要在大于1而小于2的范圍內(nèi)。這樣就能把Ds 說成是對這條曲線復(fù)雜性的量度。更一般地說，Ds是分形外形復(fù)雜性或粗造程度的量度。另一簡單的分形維是質(zhì)量維。一維直桿質(zhì)量的增加與

8、長度成正比，比方說，是2R。半徑 為R的二維圓盤質(zhì)量的增加與圓面積nR人2成正比。球質(zhì)量的增加與圓球體積4/3nR人3成正 比。這樣看來，當(dāng)維數(shù)進一步增加，質(zhì)量的增加便和R的相應(yīng)維數(shù)的方次成比例。在分形情況下，質(zhì)量的增加與R的Dm起普通維數(shù)的作用，因為稱之為分形維是很自然 的。很幸運，在所有簡單情況下，Ds和Dm （以及分形維的其他定義）嚴(yán)格地取同一值。 若不是最簡單的情況，它們的值可以不同。模型建立的下一步是設(shè)想最簡單的幾何結(jié)構(gòu)，其特征與所生成的自然結(jié)構(gòu)特征相同。事 實上，我們已經(jīng)匯集到，并在不斷充實可用于分形幾何的這種結(jié)構(gòu)工具。為檢驗這種數(shù)學(xué)工 具是否適當(dāng)，我們把模型的數(shù)值特征和真實事物相

9、比較一例如，比較山巒的分形維數(shù)。然 而，這還不夠，我們還要用計算機作圖以檢驗這種數(shù)學(xué)工具是不是好。到最后，我們希望從山巒的分形模擬方法產(chǎn)生一種理論，以描述地球表面的地勢起伏。既然分形可用于描述復(fù)雜的自然界外形，那么分形能描述復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)的行為也就 不足為奇了。正如以前在有關(guān)混沌系列文章中所表明的，模擬液體湍流、天氣、或昆蟲群體 的動力學(xué)方程式是非線性的，具有典型的決定論混沌性質(zhì)。如果對這些方程做迭代一檢驗 它們在超長時間演變時的解一我們發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)學(xué)性質(zhì)，特別是在做計算圖示時，顯示了 其自身是自相似的。我在非線性分形領(lǐng)域最知名的貢獻是提出了曼德布羅特集（Mandelbrot set）。這種

10、集是由比 較簡單的方程式做迭代而形成的。它顯示出異乎尋常的圖形，十分錯綜復(fù)雜。有人稱之為非 線性分形幾何肖像。曼德布羅特集并不僅僅產(chǎn)生美麗的圖像。如果我們非常仔細地檢驗大量的圖像就會發(fā)現(xiàn)， 無數(shù)的實驗觀測結(jié)果能夠以數(shù)學(xué)推測的形式重現(xiàn)。它們當(dāng)中的許多已經(jīng)形成頗具光彩的定理 和證明。它也鼓勵數(shù)學(xué)采用新方法，利用計算機屏幕。數(shù)學(xué)推測通常是由事先已知的定理得出的。近幾十年，從物理學(xué)或制圖學(xué)沒輸入什么東 西，這意味著純數(shù)學(xué)的某些領(lǐng)域，諸如迭代理論（曼德布羅特集即屬于這種理論），已經(jīng)失 掉動力。在計算機上做出分形圖像重新使迭代理論復(fù)蘇。把相互有關(guān)的圖像加以對照便能為 數(shù)學(xué)上的新發(fā)現(xiàn)提供深層次的信息。研究曼

11、德布羅特集已經(jīng)得出許多推測，它們說起來簡單， 但卻難以證明。分析研究它們已經(jīng)產(chǎn)生許多有趣的副結(jié)果。自然，許多相關(guān)的分形會產(chǎn)生漂亮的令人趕興趣的圖形。實際上，一些今天被認(rèn)為是分 形的外形早在許多年之前就已發(fā)現(xiàn)。這種數(shù)學(xué)的某些內(nèi)容發(fā)表在1875年到1925年期間法國 數(shù)學(xué)界亨利龐伽萊、皮埃爾法圖和加斯頓朱麗亞等人的著作中。但沒有人意識到它們作為 形象描述的工具以及它們與真實世界物理學(xué)有關(guān)這兩方面的重要意義。一種描述真實世界隨機分形的模式叫做凝聚擴散（DLA）隨機生成形式。這里產(chǎn)生了像 樹一樣的令人迷惑的錯綜復(fù)雜的形態(tài)。DLA能模擬灰燼的形成，水在巖石中的滲漏，固體 裂紋的擴展和閃電的迸發(fā)。為看到它

12、是如何形成的，取一非常大的國際象棋棋盤，在棋盤中心置一皇后，她是不允許 移動的。兵，允許它在棋盤上四個方向中的任何一個方向移動，從棋盤邊緣上的隨便什么起 始點起步，按指示完成隨機的，或醉酒者那樣的走步。每一步的方向是從四個相等幾率的方 向中選定的。當(dāng)一個兵到達緊靠原始皇后的一個方格，它自己就變成新的皇后，也就不能進 一步移動了。最終，一個樹枝狀的，而不是網(wǎng)狀的皇后群體逐漸形成，被稱為”威頓-桑特 DLA 族”（Witten Sander DLA CLUSTER）。完全沒有料到，大規(guī)模計算機模擬已經(jīng)證明DLA族是分形；它們差不多是自相似的。它 的很少的部分和很大的部分被縮小以后的形式及其相似。但

13、族和隨機形成的線性自相似性還 是有區(qū)別的，以后我們會提出某些令人感興趣的課題。DLA族分形生長過程的特點在于，它非常清楚地顯示出平滑變化的參數(shù)能產(chǎn)生凹凸不平 的效果。為此讓我們按靜電勢能的理論重新表述原來的結(jié)構(gòu)。設(shè)想有一用來構(gòu)成DLA的大 盒子，置于一正電勢場內(nèi)，靶體，即原始皇后，放在中心，其勢能為零。那么在盒子的其他 位置上勢能值是多少呢？科學(xué)家們早就知道，當(dāng)中心物體的外形是平滑曲線，或有少量折角（像三角形或正方形） 如何計算各處的勢能。這些經(jīng)典的分析計算能確定勢能相等的一些曲線。這些等勢曲線都是 平滑的，它們介于固定的盒子和中心固定物體邊界之間，能反映出勢能逐漸變化的情況。其 次，假設(shè)中心

14、固定物體的邊界有像針一樣的凸出部分，那么針周圍的等勢曲線就會很密集， 勢能的下降就要很急劇，引起放電：針起到像避雷針一樣的作用。當(dāng)中心物體為DLA族， 它的邊界上排滿了針，閃電就要襲擊這些處于暴露地位的針。這里終于出現(xiàn)急需要的新鮮事：DLA的機理和針被閃電擊打后閃電的擴展或分叉是一樣 的。DLA實驗使我們認(rèn)識到，當(dāng)允許邊界隨勢能移動時，DLA族便發(fā)展成越來越大的DLA 結(jié)構(gòu)。這意味著我們能從形成等勢線的具有平滑特性的方程式建立起凹凸不平的分形圖。在 這種意義上，分形幾何已同向新的課題和新的研究領(lǐng)域。分形幾何也在于描述自然界其他復(fù)雜的現(xiàn)象。其最富有成果的領(lǐng)域之一是對湍流運動的 研究，不僅研究它何

15、以會出現(xiàn)一在相圖上顯示的動力學(xué)是分形的也研究湍流結(jié)構(gòu)的復(fù) 雜外形。如此說來，水和云團的射流和尾流原來是分形的。這要歸因于流體運動方程（納維 耶-斯托克斯方程）所起的作用。把外形和產(chǎn)生外形的動力學(xué)相聯(lián)系是遠沒有解決的問題。 繪制這種關(guān)系圖將成為了解湍流的重要步驟。分形能作恰當(dāng)描述的另外領(lǐng)域是對活著的東西和對宇宙，雖然在所有情況下，在非常小 的尺度和非常大的尺度上分形描述會失靈。樹或道路并不能沒有限制地分叉，整個樹木也不 會是超級樹的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。數(shù)一數(shù)星系就能看到小尺度至少延伸 1500萬到3000萬光年之遙。有越來越有力的證據(jù)證明，存在著尺度超過30000光年的大空 白區(qū)。這種空白區(qū)正是在分形分布中所預(yù)料到的。分形的重要性如何？像混沌理論一樣，現(xiàn)在很有把握地說些什么還為時過早，但其前景 看好。許多分形已經(jīng)對文化有重要影響，而且已被看作是新藝術(shù)形式的成果。有些分形是對 真實的模擬，而另一些卻完全是虛構(gòu)和抽象。數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家出乎意料地看到了這樣一種文 化上的相互作用。在外行看來，分形藝