2020-2021學(xué)年天津市西青區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)

1、2020-2021 學(xué)年天津市西青區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共 9 小題，每小題 5 分，共 45 分.1（5 分）在等比數(shù)列an中，a1a716，則 a4 的值為（A4B8C4）D82 （ 5 分） 設(shè)平面 的一個 法向量為，平面的一個 法向量為，若，則 k（）A2B4C2D43（5 分）已知直線 x+ay10 和直線 ax+4y+20 互相平行，則 a 的取值是（）A2B2C2D0 4（5 分）直線 2xy+20 與圓（x1）2+（y2）24 的位置關(guān)系為（）相交且直線過圓心C相離B相切D相交且直線不過圓心5（5 分）設(shè)數(shù)列an的前 n 項和 Snn2，則 a8 的值為（）

2、A15B16C49D646（5 分）下列命題中正確的個數(shù)為（）直線 3x+2y10 的一個方向向量為；雙曲線橢圓的漸近線方程為 y2x；的長軸長為 2；圓 x2+y2+2x4y0 的半徑為B2C3D47（5 分）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1 中，設(shè) ADAA11，AB2，P 是 C1D1 的中點，則與所成角的大小為（）A30B45C60D90第1頁（共17頁）8（5 分）已知三個實數(shù) 2，m，8 構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線ABC或的離心率為（）D或9（5 分）2015 年 07 月 31 日 17 時 57 分，國際奧委會第128 次全會在吉隆坡舉行，投票選出 2022 年冬奧會舉

3、辦城市為北京某人為了觀看 2022 年北京冬季奧運會，從 2016 年起， 每年的 1 月 1 日到銀行存入 a 元的定期儲蓄，若年利率為 p 且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到 2022 年的 1 月 1 日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢（元）的總數(shù)為（）Aa（1+P）6 CBa（1+P）7 D二.填空題：本大題共6 小題，每小題 5 分，共 30 分試題中包含兩個空的，答對1 個的給3 分，全部答對的給 5 分10（5 分）已知橢圓+1 上的一點 P 到橢圓一個焦點的距離為 6，則點 P 到另一個焦點的距離為11（5 分）如圖，在三棱錐 OABC 中，

4、點 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 為 NC 中點，構(gòu)成空間的一個基底，將用基底表示，12（5 分）已知圓 x2+y24 與圓 x2+y26x+2y+60 關(guān)于直線 l 對稱，則直線 l 方程13（5 分）設(shè) Sn 是等差數(shù)列an的前 n 項和，若，則14（5 分）圓 x2+y24x4y20 與圓 x2+y2+2x+8y80 的公共弦所在的直線方程為，公共弦長第2頁（共17頁）15（5 分）已知拋物線 C：y24x 的焦點為 F，準線為 l，過點 F 的直線與拋物線交于兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）拋物線 y24x 焦點到準線的距離為 2；若 x1+x26，則|PQ|8；過點 P

5、 和拋物線頂點的直線交拋物線的準線為點A，則直線 AQ拋物線的對稱軸；繞點（2，1）旋轉(zhuǎn)且與拋物線 C 有且僅有一個公共點的直線至多有2 條 以上結(jié)論中正確的序號為三.解答題：本大題共 5 小題，共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（14 分）已知等差數(shù)列an的前 n 項的和記為 Sn，a34，a68（）求數(shù)列an的通項公式；（）求 Sn 的最小值及其相應(yīng)的 n 值17（15 分）已知圓 C 的圓心在 x+y0 上，點 A（2，0）在圓 C 上，且圓 C 與直線 xy40 相切（）求圓 C 的標準方程；（）過點 A 和點（3，2）的直線 l 交圓 C 于 A、E 兩點，求弦|

6、AE|的長第3頁（共17頁）115435418（15 分）已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a b 1，a 5（a a ），b 4（b3b ）（）求an和bn的通項公式；2n 2n+1nn（）nab，求數(shù)列 的前 n 項和 S 19（15 分）如圖，在正方體 ABCDA B C D 中，E 為 BB的中點1 11I11（）證明：平面 AD E；11（）求直線 BC 到平面 AD E 的距離；1（）求平面 AD E 與平面 ABCD 夾角的余弦值第4頁（共17頁）20（16 分）已知橢圓 C：1（ab0）過點 A（2，0），離心率為（）求橢圓 C 的方程；（）已知定點 E（1，0），若直線 y

7、kx2（k0）與橢圓 C 相交于 M、N 兩點，試判斷是否存在實數(shù) k，使以 MN 為直徑的圓過定點 E？若存在求出這個 k 值，若不存在說明理由第5頁（共17頁）2020-2021 學(xué)年天津市西青區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 9 小題，每小題 5 分，共 45 分.1（5 分）在等比數(shù)列an中，a1a716，則 a4 的值為（）A4B8C4D8【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a4故選：C2 （ 5 分） 設(shè)平面 的一個 法向量為，若，則 k（）A2B4C2【解答】 解：平面 的一個法向量為，4，平面 的一個 法向量為D4，平面 的一個法向量為，由題意可得，

8、k4 故選：D3（5 分）已知直線 x+ay10 和直線 ax+4y+20 互相平行，則 a 的取值是（ ）A2B2C2D0【解答】解：直線 x+ay10 和直線 ax+4y+20 互相平行，14aa0，解得 a2 或 a2， 經(jīng)驗證當 a2 時兩直線重合，應(yīng)舍去故選：A4（5 分）直線 2xy+20 與圓（x1）2+（y2）24 的位置關(guān)系為（ ）相交且直線過圓心C相離相 切 D相交且直線不過圓心【解答】解：圓（x1）2+（y2）24 的圓心坐標（1，2），半徑為：2圓心到直線的距離為：2第6頁（共17頁）圓與直線相交圓的圓心不在直線 2xy+20 上， 所以相交且直線不過圓心故選：D5（5

9、 分）設(shè)數(shù)列an的前 n 項和 Snn2，則 a8 的值為（）A15B16C49D64【解答】解：a8S8S7644915， 故選：A6（5 分）下列命題中正確的個數(shù)為（）直線 3x+2y10 的一個方向向量為；雙曲線橢圓的漸近線方程為 y2x；的長軸長為 2；圓 x2+y2+2x4y0 的半徑為A1B2C3D4【解答】解：直線 3x+2y10 的斜率為 k，故直線 3x+2y10 的一個方向向量為，故選項正確；雙曲線的漸近線方程為，故選項錯誤；因為橢圓，所以 a2，則長軸長為 2a4，故選項錯誤；圓 x2+y2+2x4y0 可變形為（x+1）2+（y2）25，故圓的半徑為，故選項正確故選：B

10、7（5 分）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1 中，設(shè) ADAA11，AB2，P 是 C1D1 的中點，則與所成角的大小為（）A30B45C60D90【解答】解：以 D 為坐標原點，以 DA 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角第7頁（共17頁）坐標系，如圖所示，A1（1，0，1），P（0，1，1），B1（1，2，1），C（0，2，0）， 設(shè)與所成角為，60 故選：C8（5 分）已知三個實數(shù) 2，m，8 構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線ABC或的離心率為（）D或【解答】解：三個數(shù) 2，m，8 構(gòu)成一個等比數(shù)列，m228，解得 m4當 m4 時，圓錐曲線表示的是橢圓，其

11、離心率 e ；當 m4 時，圓錐曲線表示的是雙曲線，其離心率 e 故選：C9（5 分）2015 年 07 月 31 日 17 時 57 分，國際奧委會第128 次全會在吉隆坡舉行，投票選出 2022 年冬奧會舉辦城市為北京某人為了觀看 2022 年北京冬季奧運會，從 2016 年起，第8頁（共17頁）每年的 1 月 1 日到銀行存入 a 元的定期儲蓄，若年利率為 p 且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到 2022 年的 1 月 1 日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢（元）的總數(shù)為（ ）Aa（1+P）6 CBa（1+P）7 D【解答】解：由題意可知，可取出錢的總

12、數(shù)為：a （ 1+p ） 7+a （ 1+p ） 6+a （ 1+p ） 5+a （ 1+p ） 4+a （ 1+p ） 3+a （ 1+p ） 2+a （ 1+p ），故選：D二.填空題：本大題共6 小題，每小題 5 分，共 30 分試題中包含兩個空的，答對1 個的給3 分，全部答對的給 5 分10（5 分）已知橢圓+1 上的一點 P 到橢圓一個焦點的距離為 6，則點 P 到另一個焦點的距離為 2【解答】解：由已知橢圓的方程可得 a216，所以 a4， 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|2a8， 不妨設(shè)|PF1|6，則|PF2|2，即點 P 到另一個

13、焦點的距離為 2， 故答案為：211（5 分）如圖，在三棱錐 OABC 中，點 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 為 NC 中點，+構(gòu)成空間的一個基底，將第9頁（共17頁）用基底表示， 【解答】解：如圖，連接 ON，在三棱錐 OABC 中， 中點，所以 （，點 M 在 OA 上，且OM2MA，N 為 NC+）+故答案為：+12（5 分）已知圓x2+y24 與圓 x2+y26x+2y+60 關(guān)于直線 l 對稱，則直線 l 方程 3xy50【解答】解：由于兩個圓的圓心分別為 O（0，0）、C（3，1），由題意可得直線 l 即為兩個圓的圓心連接成的線段的中垂線，求得 CO 的中點為（ ， ），C

14、O 的斜率為 ，故直線 l 的斜率為 3，利用點斜式求得直線 l 的方程為：y+3（x ），即 3xy50，故答案為：3xy5013（5 分）設(shè) Sn 是等差數(shù)列an的前 n 項和，若，則 1【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)：a1+a112a6，a1+a52a3，故1，故答案為：114（5 分）圓 x2+y24x4y20 與圓 x2+y2+2x+8y80 的公共弦所在的直線方程為x+2y10，公共弦長【解答】解：根據(jù)題意，兩個圓的方程為 x2+y24x4y20 與 x2+y2+2x+8y80，第10頁（共17頁）聯(lián)立可得，則有 6x+12y60，即 x+2y10，圓 x2+y24x4y20，即（x

15、2）2+（y2）210，其圓心為（2，2），半徑r，圓心（2，2）到直線 x+2y10 的距離 d，則公共弦長 l22，故答案為：x+2y10，215（5 分）已知拋物線 C：y24x 的焦點為 F，準線為 l，過點 F 的直線與拋物線交于兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）拋物線 y24x 焦點到準線的距離為 2；若 x1+x26，則|PQ|8；過點 P 和拋物線頂點的直線交拋物線的準線為點A，則直線 AQ拋物線的對稱軸；繞點（2，1）旋轉(zhuǎn)且與拋物線 C 有且僅有一個公共點的直線至多有2 條 以上結(jié)論中正確的序號為 x212【解答】解：由拋物線的方程可得：p2，且焦點 F（1，0），準線方

16、程為：x1，對于：由拋物線的焦點坐標以及準線方程可得焦點到準線的距離為2，故正確， 對于：由拋物線的定義可得：|PQ|x +x +px +x +28，故正確，對于：設(shè)直線 PQ 的方程為：xmy+1，代入拋物線方程可得：y24my40，所以 y，故錯誤，對于：由點 P 的坐標可設(shè)直線 OP 的方程為：y，令 x1，則 y，所以 A（1，），又因為由知：y1y24，y1+y24m，所以點 Q 的坐標為（x），而點 P 滿足方程 y，即 x，所以 A（1，），所以 AQx 軸，即直線 AQ拋物線的對稱軸，故正確，對于：當 y1 時，顯然與拋物線只有一個公共點，第11頁（共17頁）設(shè)過 M 的直線的

17、方程為：xmym2，代入拋物線的方程可得： y24my+4m+80，令16m24（4m+8）0，解得 m2 或1，故繞點（2，1）旋轉(zhuǎn)且與拋物線 C 有且僅有一個公共點的直線有3 條，故錯誤，故答案為：三.解答題：本大題共 5 小題，共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（14 分）已知等差數(shù)列an的前 n 項的和記為 Sn，a34，a68（）求數(shù)列an的通項公式；（）求 Sn 的最小值及其相應(yīng)的 n 值【解答】解：（）等差數(shù)列an的前 n 項的和記為 Sn，a34，a68由已知得：，解得：，數(shù)列an的通項公式為（）解法一：12n+2n（n1）2n214n，當 n 取最接近 3

18、.5 的整數(shù)，即 n3 或 4 時，Sn 有最小值，Sn 最小值為 184224解法二：d40，an為遞增數(shù)列， 當 n4 時，an4n160，當 n4 時，an4n160， 當 n4 時，an4n160，n3 或 4 時，Sn 有最小值，Sn 最小值為 18422417（15 分）已知圓 C 的圓心在 x+y0 上，點 A（2，0）在圓 C 上，且圓 C 與直線 xy40 相切（）求圓 C 的標準方程；（）過點 A 和點（3，2）的直線 l 交圓 C 于 A、E 兩點，求弦|AE|的長【解答】解：（）設(shè)圓的標準方程為：（xa）2+（yb）2r2 （1分）第12頁（共17頁）由題意得：，（ 4

19、分）解得：，（7 分）圓的標準方程為：（x1）2+（y+1）22 （8 分）（）直線 l 過點 A 和點（3，2），直線的斜率為 kl2， （9 分）直線l為 ： y2（x2） 2x y40， （10 分）設(shè)圓心到直線的距離為 d，.（12 分）弦|AE|的長為，（14 分），（15 分）18（15 分）已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11，a55（a4a3），b54（b4b3）（）求an和bn的通項公式；（）na2nb2n+1，求數(shù)列n的前 n 項和 Sn【解答】解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，等比數(shù)列bn的公比為 q，由 a11，a55（a4a3），則 1+4d5d，可得 d1，an1+n1n由 a1b11，b54（b4b3），b11，b54（b4b3），第13頁（共17頁）q44（q3q2），解得 q2，；（ II）由 a2n2n， 有，故，上述兩式相減，得，得19（15 分）如圖，在正方體 ABCDA1B1C1DI 中，E 為 BB1 的中點（）證明：平面 AD1E；（）求直線 BC1 到平面 AD1E 的距離；（）求平面 AD1E 與平面 ABCD 夾角的余弦值【解答】證明：（）D1C1AB，D1C1AB，四邊形 D1ABC1 為平行四邊形，D1AC1B，D1A面 AD1E，C1B面 AD1E，平面 AD1E解：（）如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz