線性代數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2-習(xí)題集含答案

1、線性代數(shù)(經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2)課程習(xí) 題集、計(jì)算題11,設(shè)三階行列式為D TOC o 1-5 h z 101120求余子式 M1, M2, M3及代數(shù)余子式 A1, A% As. HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 1 322,用范德蒙行列式計(jì)算 4階行列式1515125 HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 111437D4169496427343.求解下列線性方程組:%a X2x1a2x22a%2a2X3a Xna21 Xn2X1anX2anX3n 1anXn TOC o 1-5 h z 其中 ai aj

2、 (i j,i, j 1,2,n)x2 x3 0 x2 x3 0有非零解?2 Xo Xq 0X1.問取何值時(shí)齊次線性方程組X1X1(1)X1 2x2 4x3 0.問取何值時(shí)齊次線性方程組2x1 (3)x2 x3 0有非零解?X1 X2 (1)X3 0二、計(jì)算題2大學(xué)數(shù)學(xué)的值。.計(jì)算D8.計(jì)算D110 11110的值。1991 199219939.計(jì)算行列式1994 19951996的值。1997 1998199910.計(jì)算10 5的值。11.求滿足下列等式的矩陣X。12502381312414257.計(jì)算行列式D的值。2112X31 112. A為任一方陣，證明 A AT , AAT均為對(duì)稱陣

3、。13.設(shè)矩陣求AB.14.已知大學(xué)數(shù)學(xué)112 3 TOC o 1-5 h z 11 3AB 3 01112 12 212求(AB)T 和 bt at15.用初等變換晶:解矩陣方程AX=B 其；中11111A022B1111 02116.設(shè)矩陣32005300A00340012求A 117.求 A1 1 11 2 1的逆。1 1 318.設(shè)n階方陣A可逆，試證明A的伴隨矩陣A可逆，并求（A*） L19.求矩陣 TOC o 1-5 h z 5 2 00 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 2 100A HYPERLINK l bookmark13

4、o Current Document 0 0 120 0 11的逆。12的逆。11220.求矩陣 3454三、計(jì)算題3大學(xué)數(shù)學(xué)21.設(shè)矩陣 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 112210 2 151A2 0 31311041求矩陣A的秩R(A)。22.求向量組 1, 2, 3, 4 的秩。其中，1 (1,0, 1),2(2,3,1),3 (2,1, 1),4(3,2,4)。23.設(shè)向量組1,2,3可由向量組1,2,3線性表示。 TOC o 1-5 h z 11232123 HYPERLINK l bookmark9

5、o Current Document 3123試將向量1 ,2 ,3由1 ,2 ,3線性表示。.問a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？a1 (a 1 1) T a2 (1 a 1)T a 3 (11 a)(9 100 10 4) a 3 ( 24 28)。.求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 a1 (1 21 4) T a2四、計(jì)算題4.求線性方和組的解x2 2x3 33x2 x31為X12x2 X3 2.求解下列線性方程組x12x2x33x4x522x14x22x36x43x5 6x12x2x3x43x5 4.當(dāng)a、b為何值時(shí)，線性方程組大學(xué)數(shù)學(xué)x1X2X3x4x5 a3x1 2x2x3x4

6、3x5x2 2x3 2x4 6x5 b5x1 4x2 3x3 3x4 x5 2有解，當(dāng)其有解時(shí)，求出其全部解。 TOC o 1-5 h z x12x25x32x4.求解齊次線性方程組2x1 x23x35x45x1 7x2 x43.求非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系x1245x1x2 5x2 x3 2x4 13x2 2x3 2x4 3.試用正交變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出變換陣.f(x1,x2,x3) 2x2 x2 4x1x2 4x2x3.設(shè)矩陣 TOC o 1-5 h z 1A11112求A的正交相似對(duì)角陣，并求出正交變換陣P。.求一個(gè)正交變換將二次型.求一個(gè)正交變

7、換將二次型223一一.f 2xi3x2 3x3 4x2x3 化成標(biāo)準(zhǔn)形。2222f xi x2 x3 x4 2x1x2 2x1x4 2x2x3 2x3x4 化成標(biāo)準(zhǔn)形。35.試求一個(gè)正交的相似變換矩陣2將對(duì)稱陣2212化為對(duì)角陣。五、計(jì)算題5（略）大學(xué)數(shù)學(xué)答案、計(jì)算題1 TOC o 1-5 h z 2 0111.解：M114 An ( 1)1 1M ii 4 , (3 分)3 210、1 2M122 A12 ( 1)1 2M122, (6 分)121 2.12A-、13 一 八M135A13 ( 1) M13 5, (8 分)3.解：對(duì)照范德蒙行列式，此處a1=4, a2=3, a3=7, a

8、4=-5 (3 分)所以有D4(ai aj)(5 分)4 i j 1(a2 a1)(a3 a1)(a4 a1)(a3a2 )(a4 az)(a4 a3)(3 4)(7 4)( 54)(73)(5 3)( 5 7)=103683.解：寫出系數(shù)行列式(8分)Da1a22 a12 a2na1n a2(3分)an2 ananD為n階范德蒙行列式，據(jù)題設(shè)aiaj(i j)D1ijn(aiaj)0(5分)由克萊姆法則知方程組有唯一解。易知Di DR0,.,DnX11,X2Xn 0(8分)大學(xué)數(shù)學(xué)D 11令D 0得0或于是當(dāng) 0或4.解系數(shù)行列式為 TOC o 1-5 h z 11（4 分）11（6 分）(

9、8分)1時(shí)該齊次線性方程組有非零解5.解系數(shù)行列式為(4分)(1)3 (3) 4(1) 2(1)( 3+ )(1)3 2(1)23(6 分)是當(dāng) 02或 3時(shí) 該齊次線性方程組有非零解(8分).、計(jì)算題26.解：大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（4分）（8分）（10 分）7.解大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（2分）（4分）大學(xué)數(shù)學(xué)（6分）（8分）=-60 （10 分）8.解:（5分）大學(xué)數(shù)學(xué)（10 分）9.解：對(duì)于行列式，使用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。1991 1992 19931994 1995 1996 （第 3 列減第 2 列）（3 分）1997 1998 19991991 1992 11994 1995 1 （第2列減第1歹U

10、） （ 6分）1997 1998 11991 1 11994 1 1 （由于2, 3列對(duì)應(yīng)相等）（8分）1997 1 1=0 （10 分）10.解41212010 5 20110 C4 7c3 10701021404110102（ 1）4 3 （ 5 分2C19100217 140 （10 分）大學(xué)數(shù)學(xué)11.解 將上述等式看成 A 2X B （2分） 由矩陣的加法及數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律，得 A B 2X TOC o 1-5 h z 1八 X （A B） （4分）2 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 12114 3二2311

11、11（8分）=1 62 4（10 分）二 32大學(xué)數(shù)學(xué)12.證：對(duì)稱陣:（20 分）大學(xué)數(shù)學(xué)（4分）大學(xué)數(shù)學(xué)是對(duì)稱陣.（6分）（8分）是對(duì)稱陣（10分）13.解 AB（2分）大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（6分）（8分）（10 分）14.解大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（3分）1（6 分）而（10 分）大學(xué)數(shù)學(xué)15.解（1分）（3分）大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（5分）（7分）（9分）大學(xué)數(shù)學(xué)X=A-1B（10 分）16.解：A 32 1 （2 分） TOC o 1-5 h z 1 1 53（4分）（6分）A113215317.解:大學(xué)數(shù)學(xué)于是（8分）（10 分）大學(xué)數(shù)學(xué)（3分）（7分）（10 分）18.證：因?yàn)锳可逆，所以|A|W

12、0, （ 1分）且 a1 La*A于是有A二|A|A-1 （3分）2）（注意|A| 是一一個(gè)數(shù)）得對(duì)上式兩邊取行列式，并由方陣行列式性質(zhì)（|A*|=|A|A -1| =|A| n|A-1|（5 分）又因|A、w0 （.”可逆，由定義知 A1可逆）.|A*| W0所以A*是可逆的.（6分）因?yàn)榇髮W(xué)數(shù)學(xué)（8分）可知19. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 人 5 212，、:令A(yù)，A,（ 2分）于是a12 111（10 分）A 00 a則A1A10A100A20A2大學(xué)數(shù)學(xué)用伴隨矩陣極易寫出A1 1, A2 1A1（6分

13、）12A233（8 分）1 13 3（10 分）1220.解 A 3 45412| A| 2 0故A1存在 （2分）因?yàn)?AnA21A31420A*A|2A22A321361A3A23A3332142（6分）210,1所以 A 1 A*|A|13216（10 分）三、計(jì)算題3大學(xué)數(shù)學(xué)21.解：對(duì)A作初等行變換，將它化為階梯形，有（2分）（4分）大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（6分）（8分）最后階梯形矩陣的秩為3,所以R（A）=3 （12分）22.大學(xué)數(shù)學(xué)的矩陣A （2分）（8分）這是一個(gè)下三角形矩陣（12 分）大學(xué)數(shù)學(xué)23.解：由上視為的線性方程組，解來(lái)。大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（2分）（6分）(10 分)所以12

14、12 121212(12 分)24.解以所給向量為列向量的矩陣記為A （2分）由 TOC o 1-5 h z a11| A|1a1a(a 1)(a 1)(8 分)11a知 當(dāng)a 1、0、1時(shí)R(A) 3此時(shí)向量組線性相關(guān)(12分)25.解由(a1,a2 , a3)192 100110442194 r 082201980322190 r 010000002000知R（a1 a2 a 3） 2因?yàn)橄蛄縜1與a2的分量不成比例故a1 a2線性無(wú)關(guān)（7分）所以a1 a2是個(gè)最大無(wú)關(guān)組（12分）四、計(jì)算題4大學(xué)數(shù)學(xué)26.解:（3分）（6分）大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（9分）方程有解（12 分）視X3為自由未知量，

15、方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解（即解不唯一）（15分）27.解：（3分）大學(xué)數(shù)學(xué)（6分）至|J此，r（A） r（A） 3 n 5，導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系含 5 2=3個(gè)基礎(chǔ)解向量.導(dǎo)出組有2個(gè)自由未知量.由最后的矩陣看取X2,X3為自由未知量.（8分）寫出同解方程組并把自由未知量移到等號(hào)右端（等號(hào)右端自由未知量以表不）得:x1 3 2kl k2X20ki大學(xué)數(shù)學(xué)X3x41x5 2 （12 分）Xi321X2010即X30ki0k2 1（15 分）X4100X520028.解:（3分）大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（5分）大學(xué)數(shù)學(xué)方程組有解（無(wú)窮多解）（10 分）。（7 分）大學(xué)數(shù)學(xué)得一般解補(bǔ)齊大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)用解向量形式表出為

16、:（15 分）29.解 TOC o 1-5 h z 125 2A 2 13 5 （第1行乘-2, -5分別加到第2, 3行）（1分）57010371 （第2行乘-6加到第3行）（2分） HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 017 2591 250370 1171 250 11703721 （第2行與第3行交換）（3分）15215 （第2行乘3加到第3行）（4分）1 TOC o 1-5 h z 52，於一 一 1.1715 （第3行乘 一）（5分）444444521715 （第3行乘17加到第2行）（6分）11大學(xué)數(shù)學(xué)1 25 20 102 （第2行乘-2加到第1行）（7分）0 01110520 102 （第3行乘5加到第1行）（8分）0 01110 0 30 10 2 （9 分）0 0 11因?yàn)镽（A） 3, n r 4 3 1 ,且左上角化成了三階單位方陣，所以基礎(chǔ)解系中應(yīng) 含有一個(gè)解向量.（10分）與原方程同解的方程組有x1 0 x2 0 x3 3x40 x1 x2 0 x3 2x40 x1 0 x2 x3 x400 （12 分）0 x1x2x33x42