考點(diǎn)26基本不等式-高考全攻略之備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)文考點(diǎn)一遍過

1、考點(diǎn)26基本不等式 a b 基本不等式：: ; ab(a _0,b _0)了解基本不等式的證明過程(2)會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題第知識整合、基本不等式 a b基本不等式：.ab _2(1)基本不等式成立的條件：a 0,b 0.(2)等號成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取等號.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0,b0,則a、b的算術(shù)平均數(shù)為 史上b ,幾何平均數(shù)為 Tab ,基本不等式可敘述為：兩個正數(shù) 2的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).利用基本不等式求最值問題(1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng) x=y時，x+ y有最小值是2而.(簡記：積定和最小)P2(2)如果和x+y是定值

2、P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x = y時，xy有最大值是 % .(簡記：和定積最大).常用結(jié)論a2+b2 至2ab(a,bw R)bab+a 之2(a,b同號)a ba b o(3 ) ab M()2(a,b R)2 TOC o 1-5 h z .2. 2/,、 ，a b2 a b /() 0,xb 0)等.解答函數(shù)應(yīng)用題中的最值問題時一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)求解.考向一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：(1)若直接滿足基本不等式條件，則直接應(yīng)用基本不等式.(2)若不直接滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進(jìn)行恒等變形， 如構(gòu)造“1的代換等.常見的變形手

3、段有拆、并、配.拆裂項拆項對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離一一分離成整式與真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進(jìn)行拆項，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件.并一一分組并項目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先由一組應(yīng)用基本不等式，再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值.配一一配式配系數(shù)有時為了挖掘出 積”或和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式 TOC o 1-5 h z 相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項之和為定值(3)若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到要求，需多次應(yīng)用基本不等式，但要注意等號成立的條件必須

4、要一致注：若可用基本不等式，但等號不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解典例引領(lǐng) HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 1119典例1若正數(shù)a, b滿足,+1=1,則，+ 9的最小值為a b a -1 b -1 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document A. 1B. 6C. 9D . 16【答案】B1 一【斛析】 斛法一：因為一+ =1 ,所以a+ b=ab? (a-1) (b-1)=1 ,a b一. 19 一 194所以+2j=2q=6(當(dāng)且僅當(dāng) a = , b=4 時取 “=”).a-1 b-1. a -1

5、 b -13故工+9的最小值為6.a -1 b-1解法二：因為工+： 二 】，所以a+”也 a b= i+9-10 = +=- + +1+9-10 (7-1 i-1 ab-a-b-la b a b故4 二6(當(dāng)且僅當(dāng)白=三，24時取9J的最小值為6. TOC o 1-5 h z 一、， 1 11解法二：因為一+ =1 ,所以b -1 =， a ba-199所以十=(b1)+之2,9=6(當(dāng)且僅當(dāng)b=4時取“=”.)a-1 b-1b -1,19故,十一一的最小值為6.a -1 b -1正一一各項均為正;【名師點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是 定一一積或和為定值；三

6、相等 一一等號能否取得，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.變式拓展 TOC o 1-5 h z 5 -.11. （1）已知x 2Vab(a0,b0,x0)上靠攏.x變式拓展2.要制作一個體積為 9m3,高為1m的有蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米10元，側(cè)面造價是每平方米5元，蓋的總造價為100元，求該容器長為多少時，容器的總造價最低為多少元？考向三基本不等式的綜合應(yīng)用基本不等式是高考考查的熱點(diǎn)，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等問題.主要有以下幾種命題方式：(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大小.解決此類問題

7、通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式問題.通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解. TOC o 1-5 h z (3)求參數(shù)的值或范圍.觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.典例引領(lǐng)典例3下列不等式一定成立的是 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document ,21, 小.1A . lg(x +)Algx(xA0)B . sin x +2(x*kn,k= Z) HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 4sin x HYPERLINK l book

8、mark102 o Current Document 21C. x2 1 -2|x|(x R)D. 21(x R)x 1【答案】C HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 2 11.21【斛析】對于 A: x +之*(當(dāng)*=一時，x +-=x), A不正確； HYPERLINK l bookmark186 o Current Document 42411 HYPERLINK l bookmark82 o Current Document 對于 B： sinx+之 2(sin x= (0,1) , sin x + ,y 1,不等式 24x2y -12y

9、2x -1 m恒成立，則m的最大值為A. 2&C. 8典例引領(lǐng)14典例4設(shè)正項等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,若S2017 =6051,則一 +的最小值為 a4 a2014【答案】32【解析】因為邑竄=6051 ,所以605L則口 1 +4口r=&即4 +處313 = 6 .14 I, 丁14、1.4&) 1 ,、3所以+= -(4 + oi41. +. = 7 54+:之工乂(5+4)二彳一% /譏4 61 14) 61口二71：% ) 62當(dāng)且僅當(dāng)4二2ia = 4時取等號一故答案為：【名師點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然 后代入代數(shù)式

10、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式 子，然后利用基本不等式求解最值.變式拓展12n14.已知函數(shù)y =loga(xm2n )+2恒過定點(diǎn)(3,2 ),其中a0且a#1, m,n均為正數(shù)，則m 1的最小值是、（點(diǎn)沖關(guān)上-1 ，1.函數(shù)y =x +（x a0）取得最小值時，x的值為 4xC. 1 2 ,已知a,bCR,且abwQ則下列結(jié)論恒成立的是a2+b 22ab3&TA. a+b洞 a bC. |+|23.忒3T麗+6）（-6EUE3）的最大值為A.C、一 一 xy yz.4,已知x, y,z為正實數(shù)，則2 y 2y 2的最大值為 x2 y2 z2

11、2 ;3A.5.若正實數(shù)a, b滿足a+b=1,則，一二1C. ab有最小值一422 一，一 2a +b有取小值2，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高，當(dāng)教.高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高室在第打?qū)訕菚r，上下樓造成的不滿意度為 巴但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨教室所在樓層升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)教室在第層樓時，環(huán)境不滿意度為 巴則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室應(yīng)在樓A. -B .：.若關(guān)于x的方程9x+（4+a） 3x+4=0有解,則實數(shù)a的取值范圍是(-8-8 U 0, + oo(-8-4)C. -8,4)D. (-00-8，一，1.若對任意正數(shù) x,不

12、等式 fx 11,且 10g2X ,1,-，10g2 y成等比數(shù)列，則xy有4最小值B.最小值2C.最大值、2D.最大值21.如圖，在4ABC中，點(diǎn)D，E是線段后。上兩個動點(diǎn)，且AD + AE = xAB + yAC則x尸的最小值為DB .二D.A3A .5C.C11,已知正實數(shù)口加滿足/ib+4/1 0,當(dāng)必取最小值時，n+h T.的最大值為3B .1D .在銳角ZXABC中，瓦心為角4昆匕所對的邊，且9-幻（4門4 + 3加用8）sinC,若口 =木,則廬+ c的最小值為C. 6.函數(shù) = / +以羊1）的圖象恒過定點(diǎn)八，若定點(diǎn)八在直線由n00用口）上，則3加十收的最小值為 TOC o 1

13、-5 h z A . 13B. 14C. 16D . 12+ 2y 3 E 0i a.x + 3y - 3 0= + -14.已知/y滿足I yMl , x = 2x +尸的最大值為m 若正數(shù)口加滿足以+ b=m,則口占的最小值為3A . 9B . HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 45C. ：D .2x.當(dāng)x0時，f(X)=F的取大值為x2 1.已知函數(shù)ZW = 2sW =3/十勿十1,當(dāng)X 0時，函數(shù) 等!的最小值為 .f x.在公比為，的正項等比數(shù)列&中，% = 4,則當(dāng)外十 %取得最小值時，飽加=.已知nbOFb = l,則a-b的最

14、小值為.某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y = x2+18x25(xW N ),則當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) 年時， 年平均利潤最大，最大值是 萬元.某物流公司引進(jìn)了一套無人智能配貨系統(tǒng)，購買系統(tǒng)的費(fèi)用為80萬元，維持系統(tǒng)正常運(yùn)行的費(fèi)用包括保養(yǎng)費(fèi)和維修費(fèi)兩部分.每年的保養(yǎng)費(fèi)用為1萬元.該系統(tǒng)的維修費(fèi)為：第一年 1.2萬元，第二年1.6萬 元，第三年2萬元，依等差數(shù)列逐年遞增.(1)求該系統(tǒng)使用n年的總費(fèi)用(包括購買設(shè)備的費(fèi)用)；(2)求該系統(tǒng)使用多少年報廢最合算(即該系統(tǒng)使用多少年平均費(fèi)用最少).my = xA（m

15、 0已知函數(shù)：）.若陽=,求當(dāng)方1時函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時,函數(shù)有最大值-3,求實數(shù)出的值.22. (1)設(shè)x,y是正實數(shù)，且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.(2)若實數(shù) a,b滿足 ab-4a-b+1=0(a1),求(a+1)(b+2)的最小值.acasfi23,已知在4ABC中， b,分別為角上。所對的邊長，且Qc-b)cg/l(1)求角*的值;(2)若以=木,求的取值范圍.直通高考x V1. （2017山東又科）若直線 +2=i（a0, b0）過點(diǎn)（1,2），則2a+b的最小值為 a b2.2018天津文科）已知a, bw R ,且 a 3b+6=0,則 2a +18b的最

16、小值為（2015重慶文科）設(shè)a,b0,a+b = 5,則J0+1+Jb+3的最大值為 （2015天津文科）已知a 0,b0,ab =8,則當(dāng)a的值為 時，10g2aog2（2b）取得最大值.（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則 x的值是.（2018江蘇）在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為 a,b,c, /ABC =120/ABC的平分線交 AC于點(diǎn)D,且BD =1,貝U 4a +c的最小值為 .任滲考答案.變式拓展5.【解析】（I） x4x 5 0,y0, - = 1, x y

17、Q rQ Yfv9 Y：x+y= i + - (x+i) = - + + 102 匕一注+10 = 6+10 = 16yj榮yVvyy 9x 1 9 *, x = 4當(dāng)且僅當(dāng)二=一且一 + =艮儲一時，等號成立，x v x iH1 = 12，當(dāng)x=4j = 12 時 Jx+j，L =16.92【解析】設(shè)該長方體的容器長為xm ,則寬為一m ,又設(shè)該容器的造價為 y兀,x TOC o 1-5 h z 99則 y=90,二 x+一之 2. x，一 =1 , 4x 4 4x HYPERLINK l bookmark170 o Current Document 1.1.當(dāng)且僅當(dāng)x = 時取等號，此日x

18、 =,故選B.4x2.【答案】C【解析】當(dāng)a,b都是負(fù)數(shù)時,A不成立；當(dāng)a,b 一正一負(fù)時,B不成立；當(dāng)a=b時,D不成立，因此只有選項C是正確的.【答案】B【解析】:. 3-a0,a+60,3-3-a a 69. J(3a)(a+6)w/-|,當(dāng)且僅當(dāng) 入口一口 + 6,即2時等號成立,9.&2-而+可(-6o v2xy, z + y之M2yz, HYPERLINK l bookmark194 o Current Document 2結(jié)合不等式的性質(zhì)有：x2 y2 z2之-二2 xy yz ,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即 HYPERLINK l bookmark198 o Current Docu

19、ment xy yz、2 HYPERLINK l bookmark196 o Current Document 222 - HYPERLINK l bookmark202 o Current Document x y z2所以1了 0的最大值為 x2y2 z2【方法點(diǎn)睛】分子、分母有一個一次、一個二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個變量的函數(shù)，適合用基本不等式求最值5.【答案】B【解析正實數(shù)處占滿足口十方=1,.一+工二匕 +絲白=2 + % 32 + 2上卷=4當(dāng)且僅 a b a o a b v a b時取等號一故;+蕭最小值，故A不正確F由于（右+指）=口+3 + 2寸茄=1 + 2,二V3十

20、故后+有最大值、篤？故B正確孑由基本不等式可得a-b=2/ab,，加 !：故ab有最大值?故C不正確?44*.1/+/=I 4 +）* 2次? = 1 2ab 1 = +曠有最小值 , 故D不正確一 6.故選B【答案】Bq【解析】由題意知同學(xué)們總的不滿意度y-n+ W2,n，r ,8 rr-，一一、口，當(dāng)且僅當(dāng) = - n = 272dm時,不滿意度最小， n則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室應(yīng)在 3樓，故選B .7.【答案】D3，1x =-4，即 a /8,9x 4 v【解析】由 9+(4+a) 3+4=0 得 4+a= =-(3+1)鼻23x當(dāng)且僅當(dāng)3x=2時等號成立8.【答案】Dx 、 一【解析】

21、由題意可得 a之xJL_恒成立.x2 1由于（當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時取等號），故的最大值為1 , TOC o 1-5 h z x 112x 12x -x HYPERLINK l bookmark241 o Current Document 1 1 ，二a -,即a的最小值為一，故選D . HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 22.【答案】A【解析】,二A】，/.log1xOJog3 0,又; log產(chǎn) : , log” 成等比數(shù)列，J J = 10g/xl0g工 416由基本不等式可得匕日產(chǎn)+匕力 二nXXlOg.V = J.當(dāng)且僅當(dāng)1噸/=1。g：

22、-即工=1時取等號,故1口處冷之1J即呼之W,故.0的最小值為拒 本題選擇A選項一.【答案】D【解析】易知x, y均為正，設(shè) 疝二m上由+癡匕病二心17? +卬化,:民EE共線,m + rt = V + = l, AD+ AE = xAB + yAC =(m + A)AB + ( + n)AC,(x + y )= 5 + y 4 -21x-I 5 2. y4Xy J 21 HYPERLINK l bookmark208 o Current Document y 4x24當(dāng)且僅當(dāng)工=一,即x=,y=時等號成立. HYPERLINK l bookmark210 o Current Document

23、 x y331 49=+ =則匯A的最小值為幺故選D.11.【答案】C【解析】根據(jù)題意,c = a2-ab 4b2 所以c a2 - ab 4b2 ab aba 4b=+-12V4-1 = 3, b aa 4b當(dāng)且僅當(dāng)卜一。，即R=2b時取等號，1 T 3/。刀7=_ 6 (b ) + -所以13方=當(dāng) 4時取得最大值舟，故選C.【答案】C【解析】由正弦定理及題中條件,可得9 -幻S-切=8-匕)。，即-產(chǎn)=M + be因為口 = v3,所以爐+ c2 = 3 + be.又講+ c2 2bcf所以3 - i?c 2bg所以k6,所以選C.【答案】D【解析】丁工二時，函數(shù)y = 1十的值恒為3,

24、臬函數(shù)y = / 1十的圖象恒過定點(diǎn)川XR,土+ jJ + 3=i又點(diǎn)1在直線山月 上，由其 ，/1 3n 9 mfn_9mmrn 0,1 3m + n = 3 m + n) 1 = (3m + n)j + =3+3 + I-6 + 2 J-=12又當(dāng)且僅當(dāng)折二仃時取“曾則3m +月的最小值為12故選d.14.【答案】B【解析】作出不等式組o O-33 1-0, .-. f (x) =-= - =x 1 x 12x一一. 1當(dāng)且僅當(dāng)x =,即x=1時取等號.【答案】小+ 1【解析】由題意可得 丑=3x? +2x +1 =3x +1+1占2回+1 =百+1(當(dāng)且僅當(dāng)3x= f x 2x 2 2x

25、 . 2 2x2 2x即Y _Y3時取等號). x31.【答案】4【解析】2a2 +a6 r+a,q2 = 44+q2之4父2，區(qū)q2 =8也,當(dāng)且僅當(dāng)小二退時取得最小值, qb0,ab=1,所以a-b0, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark243 o Current Document 匯, a2 +b2 (ab)2 +2ab2/2 號5 HYPERLINK l bookmark245 o Current Document 所以 a ba-b -2. a-b： =a -b a-ba-ba-b當(dāng)且僅當(dāng)-& = n2時取等號，故答案為 心業(yè).【答案】5 8 HYP

26、ERLINK l bookmark247 o Current Document V25【解析】每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) x年的年平均利潤為 V =18-(x + ), HYPERLINK l bookmark38 o Current Document xx而 x0,故 y i,所以M-i HYPERLINK l bookmark239 o Current Document 11 HYPERLINK l bookmark259 o Current Document 所以 y=x-1 1_2, x-1 :：1=3, x-1x-11.當(dāng)且僅當(dāng)x-1=-即左=2時取等號，所以當(dāng)x 1時函數(shù)的最小值為 3.Q）因為

27、犬 L所以* 1 0,y0,所以由基本不等式得 5 /2,因為2x+y=4,所以漸以xy2當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時，等號成立,2x y =4 由y2x =y，解得|y _2,所以當(dāng)x=1,y=2時,xy取得最大值2,所以 1g x+ 1g y=lg(xy) 2+1=6a+j+1=6a+8+ +1=6(a-1)+;jj +15.因為a1,所以a-10.所以原式=6（a-1）+152+15=27.Q 1當(dāng)且僅當(dāng)（a-1）2=1,即a=2時等號成立.故所求最小值為27.23 .【解析】（1）依題意由正弦定理可得：2sinCcosA-sinficA = sinAcoB ,則.sinC 羊 0/ 二 cosA =-2A 6 (0).A = 又（2）由余弦定理知：v be 。o匕 + 0 W 2 J3又，故的取值范圍是 d國.直通高考1 .【答案】8【解析】由直線-+f =0)過點(diǎn)(L 2)可得土 +二二La ba b所以2d+b = (Zi + 方XI) = 4d + 之4 + 2./= 8 -當(dāng)且僅當(dāng)