數(shù)列高考題綜述與教學(xué)建議

1、2010數(shù)列高考題綜述與教學(xué)建議（南昌市第三中學(xué) 蔣玉清330077）隨著我國普通高中新課程改革的不斷向前推進(jìn)， 2011年多個(gè)省高考數(shù)學(xué)將首次進(jìn)行新課標(biāo)后的自主命題。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須體現(xiàn)知識(shí)與技能、過程與方法、情感、態(tài)度與價(jià)值觀三維目標(biāo)，同時(shí)高考命題的一個(gè)重要原則是有于中學(xué)教學(xué)，按照“保持整體穩(wěn)定，推動(dòng)改革創(chuàng)新，立足基礎(chǔ)考查，突出能力立意”的命題指導(dǎo)思想。高考又是檢驗(yàn)教學(xué)效果的一個(gè)重要形式，是中學(xué)教學(xué)的指揮棒，也是我們中學(xué)教師向社會(huì)交的一份答卷，因此，研究高考命題趨勢，把握高考命題方向，探索教學(xué)改革新路子是數(shù)學(xué)教師必須完成的功課。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)列內(nèi)容普通

2、高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（北師大版）安排在必修5，說明這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)定位在所有必修課程完成之后。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查每年都會(huì)出現(xiàn)，一般情況下都是一個(gè)客觀題和一個(gè)解答題，分值占整個(gè)試卷的10%左右.一、2010年高考數(shù)學(xué)列題情況對比現(xiàn)在對2010年高考的15份理科試題進(jìn)行對比，呈現(xiàn)的特點(diǎn)是：（1）均出現(xiàn)一道大題；（2）處于壓軸位置的數(shù)列解答題有5道，占15份試題的，其它為中檔題；（3）以等差數(shù)列、等比數(shù)列為主線兼有不等式、函數(shù)與方程、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等知識(shí)點(diǎn)的交匯。其中涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)與求和的題有10道，占15份試題的，涉及數(shù)學(xué)歸納法的題有2道，涉及不等式的

3、題有4道，涉及遞推數(shù)列的題有3道。卷型題序分?jǐn)?shù)主要考查的知識(shí)點(diǎn)全國 = 1 * ROMAN I2214數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等全國 = 2 * ROMAN II1812數(shù)列的基本公式，數(shù)列的極限，不等式江西2214等差數(shù)列 安徽2012等差數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法與充要條件北京1613等差數(shù)列求通項(xiàng)，等比數(shù)列求和湖南2013等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和山東1812等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和， 陜西1612等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列求和上海2013等比數(shù)列，數(shù)列求項(xiàng)，等比數(shù)列定義及求和，數(shù)列的性質(zhì)，不等式江蘇1916等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不

4、等式四川2112等差數(shù)列的通項(xiàng)、等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減法求和，遞推數(shù)列天津2214等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和重慶2112遞推數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式浙江1912等差數(shù)列通項(xiàng)、求和等湖北2013等差數(shù)列，等比數(shù)列，反證法二、2010年數(shù)列高考題型剖析（一）、關(guān)于等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和與不等式整合例1、（2010年江蘇）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。解析 （1）由題意知：， ，化簡，得：，當(dāng)時(shí)，適合情形。故所求（2）（方法一），

5、 恒成立。 又，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對滿足題設(shè)的，有。所以的最大值。另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。（二）關(guān)于數(shù)列求和、等比數(shù)列的定義、一階遞推數(shù)列及函數(shù)、不等式的整合例2.（2010年上海）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由。 解析：(1) 當(dāng)n1時(shí)，a114；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn15an5an11，所以，又a11150，所以數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：，得，從而(nN*)；解不等式SnSn1，得

6、，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列Sn單調(diào)遞增；同理可得，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列Sn單調(diào)遞減；故當(dāng)n15時(shí)，Sn取得最小值（三）關(guān)于等差數(shù)列、數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)、幾何知識(shí)的整合例3（2010年江西）證明以下命題：（1）對任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列；（2）存在無窮多個(gè)互不相似的三角形，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列解析 （1）對任一正整數(shù)，可選，則 則。此時(shí)， 即成等差數(shù)列。（2）對于正整數(shù)，要使成等差數(shù)列, 即 故均為奇數(shù)，且由 ， 各因子均為偶數(shù)，而等式兩邊能分解為不同的兩個(gè)偶因數(shù)的積，可設(shè)積為，令 ，； 。得 ， ， 。當(dāng) 時(shí)，均為正奇數(shù)，且故可夠成三角形的三邊，且當(dāng)時(shí)，三角形的三邊與三角形的三邊不成比例，

7、故可取任意，夠成的無窮多個(gè)三角形均不相似。（四）關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)的基本公式、數(shù)列的極限及不等式的整合例4（2010年全國 = 2 * ROMAN II）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（）求；（）證明：解析：（1）， ，（2）當(dāng)（五）關(guān)于等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減法求和及二階等差數(shù)列的整合例5（2010年四川）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設(shè)cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)由題意，令m2,n=1,可得a32a2

8、a126 再令m3,n1，可得a52a3a1820(2)當(dāng)nN *時(shí)，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. 即 bn1bn8，所以bn是公差為8的等差數(shù)列(3)由(1)(2)解答可知bn是首項(xiàng)為b1a3a16,公差為8的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-（n1)2.那么an1an2n1_w 2n1 2n，于是cn2nqn1.當(dāng)q1時(shí)，Sn2462nn(n1)當(dāng)q1時(shí)，Sn2q04q16q22nqn1.兩邊同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述兩式相減得

9、(1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c 22nqn 2所以Sn2，綜上所述，Sn（六）關(guān)于遞推數(shù)列、數(shù)列的單調(diào)性、不等式及數(shù)學(xué)歸納法的整合例6（2010年重慶） 在數(shù)列中，其中實(shí)數(shù)() 求的通項(xiàng)公式；() 若對一切有，求c的取值范圍解析（1）解法一： 猜想下用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，綜上， 對任何都成立.解法二：（已知遞推公式（，為常數(shù)）求通項(xiàng)公式.）由原式得.令，則，因此對有 ，因此，. 又當(dāng)時(shí)上式成立.因此.（）解法一：由，得，因，所以.解此不等式得：對一切，有或，其中，.易知，又由，知，因此由對一切成立得.又，易知單

10、調(diào)遞增，故對一切成立，因此由對一切成立得.從而的取值范圍為.解法二：由，得，因，所以對恒成立.記，下分三種情況討論.（）當(dāng)即或時(shí)，代入驗(yàn)證可知只有滿足要求.（）當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，因此當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，不符合題意，此時(shí)無解.（）當(dāng)即或時(shí)，拋物線開口向上，其對稱軸必在直線的左邊. 因此，在上是增函數(shù).所以要使對恒成立，只需即可.由解得或.結(jié)合或得或.綜合以上三種情況，的取值范圍為.（七）關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列定義、通項(xiàng)、求和及累加、累積等知識(shí)的整合例7（2010年天津）在數(shù)列中，且對任意.，成等差數(shù)列，其公差為。（）若=，證明，成等比數(shù)列（）（）若對任意，成等比數(shù)列，其公比為。（i）設(shè)1.證明

11、是等差數(shù)列； (ii)若，證明解析 （）證明：由題設(shè)，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。（）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當(dāng)1時(shí)，可知1，k從而所以是等差數(shù)列，公差為1。（ii）證明：，可得，從而=1.由（i）有所以因此，以下分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m()若m=1,則.若m2，則+所以(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（）所以從而綜合（1）（2）可知，對任意,有證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得所以由可知?？傻?，所以是等差數(shù)列，公差為1。（ii）證明：因?yàn)樗?。所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ，故。從而。所以，由，可得。于是，由（i）可知.以下同證法一。三、2011年高考數(shù)列教學(xué)建議從以上分析可看出，數(shù)列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)學(xué)歸納法等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數(shù)法、放縮法等基本數(shù)學(xué)方法. 教學(xué)建議：加強(qiáng)數(shù)列、等差數(shù)列 、等比數(shù)列的定義、基本概念的教學(xué)；強(qiáng)化等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前N項(xiàng)和公式的應(yīng)用；公式在求數(shù)列通項(xiàng)的作用；加強(qiáng)數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的極限在數(shù)列問題的應(yīng)用；強(qiáng)化累和、累積求數(shù)