恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)-課件

1、第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 3.1 恒定電流的電場(chǎng) 3.2 磁感應(yīng)強(qiáng)度 3.3 恒定磁場(chǎng)的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶極子 3.6 磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程 3.7 恒定磁場(chǎng)的邊界條件 3.8 標(biāo)量磁位 3.9 互感和自感 3.10 磁場(chǎng)能量 3.11 磁場(chǎng)力 基本方程E 的旋度邊值問(wèn)題邊界條件電 位一般解法電導(dǎo)與接地電阻特殊解(靜電比擬)恒定電流的電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)基本物理量 J、 E歐姆定律J 的散度磁矢位（A）邊值問(wèn)題解析法數(shù)值法有限差分法有限元法分離變量法鏡像法電感的計(jì)算磁場(chǎng)能量及力磁路及其計(jì)算基本實(shí)驗(yàn)定律 (安培力定律）磁感應(yīng)強(qiáng)度（B）(畢奧-薩伐爾定律)H 的旋度基本方程B 的散度

2、分界面邊界條件磁位( )恒定磁場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)3.1 恒定電流的電場(chǎng)3.1.1 電流密度 I、電流的定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面的電量。三種電流：傳導(dǎo)電流是導(dǎo)體中的自由電子（或空穴）或者是電解液 中的離子運(yùn)動(dòng)形成的電流。運(yùn)流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中 運(yùn)動(dòng)形成的電流。位移電流隨時(shí)間變化的電場(chǎng)產(chǎn)生的假想電流。II、電流密度的定義：與正電荷運(yùn)動(dòng)方向相垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度。任意面積S上的電流強(qiáng)度I： 圖 3-1 電流密度 (A/m3)IdIdSIII、面電流密度：圖 3-2 面電流密度 nIV、 的另一表達(dá)式：設(shè)電荷體密度為，運(yùn)動(dòng)速度為v，則：注： 是垂直于 dl，且通過(guò) dl

3、與曲面相切的單位矢量。ndIvvdtds3.1.2 電荷守恒定律 1、電荷守恒定律:單位時(shí)間凈流出封閉面的電量等于單位時(shí)間內(nèi)封閉面內(nèi)減少的電量。（注：指電荷量的代數(shù)和守恒）要使這個(gè)積分對(duì)任意的體積V均成立，必須使被積函數(shù)為零。散度定律-電流的“連續(xù)性方程”所以：（電流的“連續(xù)性方程”微分式）意義：空間中某點(diǎn)電流密度的散度，等于這點(diǎn)電荷密度的減小率。2、恒定電流場(chǎng)的電流連續(xù)性方程：恒定電流場(chǎng)的電流不隨時(shí)間變化：所以：（恒定電流場(chǎng)方程）（積分式）3.1.3 歐姆定律的微分形式 U由歐姆定律：由電阻得：又由電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的關(guān)系則：對(duì)于線性各向同性的導(dǎo)體，任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比式中

4、稱為電導(dǎo)率，其單位為 S/m 。 值愈大表明導(dǎo)電能力愈強(qiáng)，即使在微弱的電場(chǎng)作用下，也可形成很強(qiáng)的電流。（ 3-11 ）電導(dǎo)率為無(wú)限大的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)電體。上式又稱為歐姆定律 的微分形式。注意：歐姆定律并不像高斯那樣是電磁學(xué)的普遍定律，運(yùn)流電流就不遵從歐姆定律材 料 電導(dǎo)率/(S/m) 鐵(99.98%) 107 黃銅 1.46107 鋁 3.54107 金 3.10107 鉛 4.55107 銅 5.80107 銀 6.20107 硅 1.5610-3 表 3-1 常用材料的電導(dǎo)率 電源 在外源中一定存在非靜電力作用，使正電荷不斷地移向正極板 P ，負(fù)電荷不斷地移向負(fù)極板 N。極板上的電荷在外

5、源中形成電場(chǎng) E 。E導(dǎo)電媒質(zhì)PNE外 源 顯然，由極板上電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)力阻止正電荷繼續(xù)向正極板移動(dòng)，一直到極板電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)力等于外源中的非靜電力時(shí)，外源的電荷運(yùn)動(dòng)方才停止，極板上的電荷也就保持恒定。開路情況下外源內(nèi)部的作用過(guò)程。電源電動(dòng)勢(shì)是電源本身的特征量，與外電路無(wú)關(guān)。非庫(kù)侖場(chǎng)非靜電力圖 3-3 電動(dòng)勢(shì) 非靜電力：化學(xué)力、洛侖茲力一切非靜電引起的力的總稱因此，對(duì)閉合環(huán)路積分總場(chǎng)強(qiáng)：電源電動(dòng)勢(shì)與局外場(chǎng)強(qiáng)保守場(chǎng) = 0電動(dòng)勢(shì)所以：3.1.4 焦耳定律 在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長(zhǎng)度為l、截面為S的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率由公式 P=UI 得： J 與 E 之關(guān)系其極限值：或：（焦耳定律的

6、微分式）注：焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度3.1.5 恒定電流場(chǎng)的基本方程 結(jié)論： 恒定電場(chǎng)是無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)。積分形式微分形式構(gòu)成方程由以上結(jié)論可引入位函數(shù)：均勻?qū)w內(nèi)部(為常數(shù))，有：3.1.6 恒定電流場(chǎng)的邊界條件 圖 3-4 邊界條件 說(shuō)明：分界面上 J 的法向分量連續(xù)。由得所以有：即：12J1J2即或說(shuō)明：分界面上 E的切向分量連續(xù)。導(dǎo)體分界面上的電荷密度為：所以有：由得即或式中，Jn=J1n=J2n, 當(dāng) 時(shí)， 分界面上的面電荷密度為零。 （折射定律）由得若1，則20結(jié)論：在理想導(dǎo)體表面上，和 E近似的都垂直于分界面。區(qū)別 例 3-1 設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a, 外導(dǎo)

7、體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、 外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖 3-5 所示，求同軸線單位長(zhǎng)度的漏電電導(dǎo)。圖 3-5 同軸線橫截面 漏電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導(dǎo)體到外導(dǎo)體，如令沿軸向方向單位長(zhǎng)度（L1）從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I，則在媒質(zhì)內(nèi)（ a r a)的球面流出的總電流為I，則歐姆定律的微分形式3.2 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 導(dǎo)體中通有直流電流時(shí)，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中，不僅有電場(chǎng)還有不隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，稱為恒定磁場(chǎng)。 恒定磁場(chǎng)和靜電場(chǎng)是性質(zhì)完全不同的兩種場(chǎng)，但在分析方法上卻有許多共同之處。學(xué)習(xí)本章時(shí)，注意類比法的應(yīng)用?；疽?深刻理解磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁通、磁化、磁場(chǎng)強(qiáng)度的概念。掌握恒定磁場(chǎng)

8、的基本方程和分界面邊界條件。了解磁位及其邊值問(wèn)題。熟練掌握磁場(chǎng)、電感、能量與力的各種計(jì)算方法。一、安培定律1、兩個(gè)電流元間的相互作用力圖 3-8 安培定律 安培定律的微分形式安培定律描述了真空中兩個(gè)電流回路間相互作用力的規(guī)律。I1dl1對(duì)I2dl2的作用力為：式中：2、兩個(gè)電流環(huán)間的相互作用力在回路C1、C2上分別對(duì)上式積分得：安培定律的積分形式二、畢奧薩伐爾定律（Biot-Savart Law）1、磁場(chǎng)的定義：磁力是通過(guò)磁場(chǎng)傳遞的。電流或磁鐵在其周圍空間會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)。磁場(chǎng)對(duì)處于其中的運(yùn)動(dòng)電荷（電流）或磁體會(huì)產(chǎn)生力的作用。電場(chǎng)力定義：磁感應(yīng)強(qiáng)度力 = 受力電荷 電場(chǎng)強(qiáng)度力 = 受力電流 磁感應(yīng)強(qiáng)

9、度磁場(chǎng)力單位 T（Wb/m2）2、畢奧薩伐爾定律畢奧沙伐定律 適用于無(wú)限大均勻媒質(zhì)體分布的電流J的磁場(chǎng)：面分布的電流Js的磁場(chǎng)：3、磁場(chǎng)力：電流元在外磁場(chǎng)中受力：稱為洛侖茲力公式。 以速度v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q，其在外磁場(chǎng)B中受的力：設(shè)在單位體積內(nèi)載流子數(shù)目為n，v是平均漂移速度，Q為每個(gè)載流子的電荷，導(dǎo)線的橫截面為da，則 In(dav)Q作用力為：如果空間還存在外電場(chǎng) ，則電荷q受到的力還要加上電場(chǎng)力： 例 3 - 4 求載流I的有限長(zhǎng)直導(dǎo)線(參見(jiàn)圖 3 - 9)外任一點(diǎn)的磁場(chǎng)。 圖 3-9 例 3 - 4 用圖 解： 取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)線和z軸重合，在圓柱坐標(biāo)中計(jì)算。 從對(duì)稱關(guān)系能夠

10、看出磁場(chǎng)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。不失一般性，將場(chǎng)點(diǎn)取在 =0， 即場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為(r, 0, z)， 源點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0，z)。 所以 式中： 對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(l)，1=/2, 2=-/2，其產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 3.3 恒定磁場(chǎng)的基本方程 3.3.1 磁通連續(xù)性原理（恒定磁場(chǎng)的散度） 1、磁通量：指磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量。簡(jiǎn)稱磁通。如S是一個(gè)閉曲面， 則 單位：Wb 2、磁通連續(xù)性原理：由對(duì)場(chǎng)點(diǎn)有：所以：P由矢量恒定式 得：由梯度場(chǎng)重要性質(zhì) 可得： （積分式）使用散度定理得： （微分式）關(guān)于恒定磁場(chǎng)散度的討論: 恒定磁場(chǎng)的散度處處為零，說(shuō)明 恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，不存在磁力線的擴(kuò)散源和匯集源。 由磁通的連續(xù)性定

11、律可知：磁力線是連續(xù)的。 恒定磁場(chǎng)的散度恒為零，聯(lián)系旋度場(chǎng)的重要性質(zhì)： 可推知:磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B可用一矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。3.2.2 安培環(huán)路定律（恒定磁場(chǎng)的旋度） 以下內(nèi)容為研究在C產(chǎn)生的恒定磁場(chǎng)中沿閉合曲線C上的B 的環(huán)量：沿積分路徑C向左移動(dòng)dl相當(dāng)于C向右移動(dòng)-dlPPP(C和C相交鏈)(C和C不交鏈)穿過(guò)積分回路C的電流是幾個(gè)電流時(shí)： 根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培環(huán)路定律的微分形式： 積分式由于 （P48 3.2）所以因積分區(qū)域S是任意的， 因而有 （微分式）對(duì)恒定磁場(chǎng)旋度的討論： 恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，電流為磁場(chǎng)的旋渦源。 安培環(huán)路定律中，電流為回路C所圍電流的代數(shù)和。CCC和C相

12、交鏈I 空間任意點(diǎn)磁場(chǎng)的旋度只與該點(diǎn)電流密度有關(guān)小結(jié)： 無(wú)源場(chǎng)，磁力線無(wú)頭無(wú)尾且不相交。 有旋場(chǎng)，電流是磁場(chǎng)的旋渦源，磁力線構(gòu)成閉合回路。圖3.2.5 一對(duì)反向電流傳輸線圖3.2.6 一對(duì)同向電流傳輸線圖3.2.7 兩對(duì)反相電流傳輸線圖3.2.8 兩對(duì)反向電流傳輸線 例3-5 半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 在圓柱坐標(biāo)系中計(jì)算，取導(dǎo)體中軸線和 z 軸重合，由對(duì)稱性可知，磁場(chǎng)與 z 和 無(wú)關(guān)，只是 r 的函數(shù)，且只有 分量，即磁場(chǎng)是圓心在z軸上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為 r 的積分路徑C，依安培環(huán)路定律得在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布， 導(dǎo)線外電流為零， arz當(dāng)ra

13、時(shí)，包圍電流為Ir2/a2。 所以當(dāng)ra時(shí)， arz寫成矢量形式為 當(dāng)ra時(shí)， 積分回路包圍的電流為I；arz3.4 矢 量 磁 位 式中：A稱為恒定磁場(chǎng)的矢量磁位。 一、 矢 量 磁 位的引入 引入矢量磁位的意義：引入輔助函數(shù)，可通過(guò)間接求解方法求解空間磁場(chǎng)分布，簡(jiǎn)化電磁問(wèn)題。二、 庫(kù)侖規(guī)范要求：B與A間滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 矢量位A不是唯一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即：1、矢量位的任意性若： 則對(duì)于 有：而： 上式表明：A和A具有不同的散度，這意味著滿足條件 的A有無(wú)限多個(gè)。2、庫(kù)侖規(guī)范條件 必須引入新的限定條件，對(duì)A取值進(jìn)行限定。這種新引入的限定條件稱為規(guī)范

14、條件。 由亥姆霍茲定律可知，矢量場(chǎng)的性質(zhì)由其散度和旋度決定，對(duì)于矢量磁位函數(shù)A，其旋度值已確定（等于B），必須要引入限定條件對(duì)其散度值進(jìn)行限定。在恒定磁場(chǎng)中，一般采取庫(kù)侖規(guī)范條件，即令：注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件。三、矢量磁位的解使用矢量恒等式 （磁矢位的泊松方程）對(duì)無(wú)源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即： 設(shè)在直角坐標(biāo)系中，有將磁矢位的泊松方程展開這樣可得各分量方程對(duì)照靜電場(chǎng)中的泊松方程的解：2.3 旋度面電流的磁矢量位：寫成矢量的形式為：線電流的磁矢量位：上面的公式中，均假定電流分布在有限區(qū)域，磁矢位的零點(diǎn)取在無(wú)窮遠(yuǎn)處。磁通的計(jì)算也可以通過(guò)磁矢位表示： 對(duì)矢量磁位的說(shuō)明：

15、 矢量磁位A的方向與電流J的方向相同。 引入矢量磁位可以大大簡(jiǎn)化磁場(chǎng)的計(jì)算。 例 3 - 6 求長(zhǎng)度為l 的載流直導(dǎo)線的磁矢位。圖 3-11 直導(dǎo)線磁矢位 解 :當(dāng)lz時(shí)，有 上式中，若再取lr, 則有 當(dāng)電流分布在無(wú)限區(qū)域時(shí)，一般指定一個(gè)磁矢位的參考點(diǎn)， 就可以使磁矢位不為無(wú)窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點(diǎn)時(shí)，可以得出 從上式， 用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出 例 3 7 用磁矢位重新計(jì)算載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)。 解： r a ra 從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù)，即 設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁位是A1, 導(dǎo)線外磁位是A2， ra時(shí)， 考慮到磁位只是 r 的函數(shù)，以上兩個(gè)偏微分方

16、程就化為常微分方程。對(duì)其積分可以得出其中C1、C2、C3、C4是待定常數(shù)，由于r=0處磁矢位不應(yīng)是無(wú)窮大，所以可以定出C1 0。其余三個(gè)常數(shù)暫時(shí)不考慮，將磁矢位代入公式可以求出導(dǎo)線內(nèi)、 外的磁場(chǎng)分別為 導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 3.5 磁 偶 極 子電流環(huán)半徑為a 、電流為 I 、位于xoy平面上，中心與原點(diǎn)重合。 由于軸對(duì)稱，A與 無(wú)關(guān)。為了計(jì)算方便起見(jiàn)，取所求的場(chǎng)點(diǎn)位于xoz 平面，即 = 0平面內(nèi)。一、電流環(huán)在空間區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)：在環(huán)上對(duì)稱選?。╝,/2,）和（a,/2,-）兩段電流元,其在場(chǎng)點(diǎn)P處合成的矢量位與ey平行。由3-44式：其中：所以：當(dāng)：r a 時(shí):由公式：所以 其中：m=Ia

17、2=IS令： m=IS為載流回路的磁矩，其方向?yàn)榄h(huán)路法線方向相同。一般表達(dá)式：二、球坐標(biāo)系中磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式：位于點(diǎn) r的磁矩為m的磁偶極子，在點(diǎn) r 處產(chǎn)生的磁矢位為 位于外磁場(chǎng)B中的磁偶極子m，會(huì)受到外磁場(chǎng)的作用力及其力矩。 這里僅僅給出作用力及力矩的公式。 作用力為 力矩為 3.6 磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程 3.6.1 磁化強(qiáng)度 m=IdSdS1、分子電流及磁矩電子繞核運(yùn)動(dòng)，形成分子電流。分子電流將產(chǎn)生微觀磁場(chǎng)。分子電流的磁特性可用分子磁矩表示：式中：I 為電子運(yùn)動(dòng)形成的微觀電流： dS為分子電流所圍面元。2、介質(zhì)的磁化 無(wú)外磁場(chǎng)作用時(shí)，介質(zhì)對(duì)外不顯磁性： 在外磁場(chǎng)作用下，分子磁矩取向與外加磁場(chǎng)趨

18、于一致，宏觀表現(xiàn)出磁特性，這一過(guò)程稱為磁化。式中：m是分子磁矩，M 的單位是A/m(安培/米)。3、磁化強(qiáng)度 為定量描述介質(zhì)磁化程度的強(qiáng)弱，引入磁化強(qiáng)度M。 介質(zhì)的磁化強(qiáng)度M，等于單位體積內(nèi)的分子磁矩之和。 如果體積元V內(nèi)， 每一個(gè)分子磁矩都為m， 單位體積內(nèi)分子數(shù)是N， 則磁化強(qiáng)度為 ：3.6.2 磁化電流 圖 3 -13 磁化介質(zhì)的場(chǎng) 定義：介質(zhì)被磁化后，在介質(zhì)內(nèi)部和表面會(huì)出現(xiàn)附加電流，這種電流稱磁化電流。磁化電流強(qiáng)度的計(jì)算： 設(shè)磁介質(zhì) r 處體積元V 內(nèi)的磁偶極矩為M V ，則在 r 處產(chǎn)生的磁矢量位：全部磁介質(zhì)在r處產(chǎn)生的磁矢位為： o應(yīng)用矢量恒等式： (A1.5)再用恒等式: (A1

19、.14)等效體電流密度Jm等效面電流密度Jms 磁化電流具有與傳導(dǎo)電流相同的磁效應(yīng)。 有磁介質(zhì)存在時(shí)，場(chǎng)中的 B 是自由電流和磁化電流共同作用的結(jié)果。磁化電流仍然遵循電流守恒定律。均勻磁介質(zhì)內(nèi)部不存在磁化電流磁化電流體密度：磁化電流面密度：對(duì)介質(zhì)磁化問(wèn)題的討論：磁偶極子與電偶極子對(duì)比模 型極化與磁化電場(chǎng)與磁場(chǎng)電偶極子磁偶極子l 例 3 - 7 半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱(如圖 3 -15 所示)，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。 圖 3 15 例 3 - 7用圖 解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合， 磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，

20、上底面位于z=L處。此時(shí)， ，由式(3 -52)得磁化電流為 在界面z=0上，在界面z=L上，在界面r=a上，3.6.3 磁場(chǎng)強(qiáng)度 式中： Jm為磁化電流密度；Im為磁化電流強(qiáng)度。有磁介質(zhì)時(shí)安培環(huán)路定律的修正式： 代入Jm得:移項(xiàng)得:(微分式) 定義: 磁場(chǎng)強(qiáng)度(A/m)安培環(huán)路定律:(積分式)圖b H 的分布與磁介質(zhì)有關(guān)思考圖b 中三條環(huán)路上的 H 相等嗎？環(huán)量相等嗎？圖a 中環(huán)路 L 上任一點(diǎn)的 H 與 I3 有關(guān)嗎？有磁介質(zhì)存在時(shí)，重答上問(wèn)。圖a H 與I 成右螺旋關(guān)系3.6.4 磁導(dǎo)率 對(duì)于大多數(shù)媒質(zhì)，磁化強(qiáng)度 M 與磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 成正比，即:式中比例常數(shù) m 稱為磁化率。磁化率可以是

21、正或負(fù)實(shí)數(shù)。 考慮到 ，則由上式求得抗磁物質(zhì): 水、金屬銅、碳(C)和大多數(shù)有機(jī)物和生物組織。令則(式中 稱為磁導(dǎo)率)相對(duì)磁導(dǎo)率 r 定義為:(H/m) 鐵磁材料的 B 和 H 的關(guān)系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)， 會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率 m的變化范圍很大，可以達(dá)到106量級(jí)。 3.6.5 磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)基本方程 基本方程本構(gòu)方程（磁通連續(xù)原理）（安培環(huán)路定律）恒定磁場(chǎng)的性質(zhì)是有旋無(wú)源,電流是激發(fā)磁場(chǎng)的旋渦源磁矢位 A 及泊松方程由 A 磁矢位 Wb/m（韋伯/米）。由（矢量）泊松方程 （矢量）拉普拉斯方程 當(dāng) J= 0 時(shí)取庫(kù)侖規(guī)范（Coulombs gauge)矢量恒等式： 例

22、3 8 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖 3 - 16 所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過(guò)反向的電流I， 兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求各區(qū)域的H、B、M。 圖 3-16 同軸線示意圖 cab 解： 以后如無(wú)特別聲明，對(duì)良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為0。因同軸線為無(wú)限長(zhǎng)，則其磁場(chǎng)沿軸線無(wú)變化， 該磁場(chǎng)只有分量，且其大小只是 r 的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律 ，求出各區(qū)的磁場(chǎng)強(qiáng)度 ， 然后由 求出 和 。當(dāng)ra時(shí)， 電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為0，可得 (r a) (r a) 當(dāng)arb時(shí)，與積分回路

23、交鏈的電流為I，該區(qū)磁導(dǎo)率為，(arb) (arb) (arb) 可得 cab 當(dāng)bc時(shí)，這一區(qū)域的 為零。 cab3.7 恒定磁場(chǎng)的邊界條件 圖 3-17 Bn的邊界條件 由得即或1. B 的邊界條件B112B2l12n說(shuō)明：分界面上 B的法向分量連續(xù)。由得2. H 的邊界條件b1H1H22若界面上電流可看成面電流，則：即于是有：b1H1H22即說(shuō)明：分界面上 H的切向分量不連續(xù)。若界面上無(wú)電流，則：或靜電場(chǎng)和恒定電流的場(chǎng)比較由所以：若1 2 ，則20結(jié)論：在鐵磁性材料（1 0）與空氣的分界面上，空氣中的B垂直于分界面。3.折射定律條件：媒質(zhì)均勻、各向同性，分界面 J=0又：2113.8 標(biāo)

24、 量 磁 位標(biāo)量磁位 ; 單位：A（安培）磁標(biāo)位m 僅適合于無(wú)自由電流區(qū)域;等磁位面（線)方程為m=常數(shù)，等磁位面（線）與磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 線垂直;式中的負(fù)號(hào)是為了與靜電位對(duì)應(yīng)而人為加入的。由（3.60）式：在無(wú)電荷區(qū)域 J = 0，則：均勻介質(zhì)中， 由式(3 - 60) 、(3 - 61)和(3 - 72)可得：磁場(chǎng)的邊界條件用磁標(biāo)位表示時(shí)，為： 用微分方程求磁標(biāo)位時(shí)，也同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。磁標(biāo)位主要用來(lái)計(jì)算永磁體的磁場(chǎng)。 對(duì)非均勻介質(zhì)，在無(wú)源區(qū)(J=0)，引入磁荷的概念后，磁標(biāo)位滿足泊松方程，即式中： 3.9 互 感 和 自 感 1.電感的定義當(dāng)曲面固定不變時(shí)，磁通與磁感應(yīng)強(qiáng)度

25、B成正比：由環(huán)路定律當(dāng)環(huán)路C不變時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與電流強(qiáng)度I 成正比： 如果回路由N匝導(dǎo)線繞成，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱磁鏈，用表示。對(duì)于密繞線圈，有=N。 在線性磁介質(zhì)中，穿過(guò)任意回路的磁通量與回路電流成正比。 電感：穿過(guò)某電流回路的磁通量與回路中電流強(qiáng)度之比稱電感（電感系數(shù)），用L表示，即：H（亨利）2.自感： 若某回路C載流為I，其產(chǎn)生的磁場(chǎng)穿過(guò)回路C自身所形成的磁鏈為 ，則定義回路C的自感系數(shù)為：H（亨利） 自感的大小決定于回路的尺寸、形狀 以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。 若回路導(dǎo)線直徑較粗，則：L=Li+Le式中： Li為回路內(nèi)自感，由導(dǎo)體內(nèi)部磁場(chǎng)與部分電流交鏈而成。 Le為回路外自感，由

26、導(dǎo)體外部磁場(chǎng)與回路交鏈而成。關(guān)于回路自感的討論：3.互感： 互感是一個(gè)回路電流與其在另一個(gè)回路所產(chǎn)生的磁鏈之比，它與兩個(gè)回路的幾何尺寸，相對(duì)位置及周圍媒質(zhì)有關(guān)。C2C1 C1與C2的互感：C2與C1 的互感：4.諾伊曼公式： （簡(jiǎn)單互感間的計(jì)算公式）條件：導(dǎo)線直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸及兩回路間的最近距離。設(shè)回路 C1 通以電流 I1，則空間任意點(diǎn)的磁矢位為：C2C1穿過(guò)回路 C2 的磁通為：C1 與C2的互感為：-諾伊曼公式由上式知：4.外自感的諾伊曼表達(dá)式： 設(shè)電流 I 集中在導(dǎo)線的軸線 C1上，磁通穿過(guò)外表面輪廓 C2 所限定的面積。 C1C2電流 I 在 C2 上產(chǎn)生的磁矢位為:與 C2 交

27、鏈的磁通為:外自感例 3 - 9 求半徑為 a 的無(wú)限長(zhǎng)平行雙導(dǎo)線(如圖 3 - 21所示)單位長(zhǎng)外自感。 圖 3-21 平行雙導(dǎo)線 解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式，可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為(例3-4P55): 磁場(chǎng)的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長(zhǎng)度上的外磁鏈為: 所以單位長(zhǎng)外自感為: 例： 試求圖示長(zhǎng)為 l 的同軸電纜的自感 L。解: 1. 內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感Li1（01） 磁通匝數(shù)內(nèi)自感因此，圖3.7.2 同軸電纜截面與后面用能量法求的結(jié)果相同2. 外導(dǎo)體內(nèi)自感Li2（ 2 3） 3. 外自感L0（ 1 2） 總自感略 媒質(zhì)為線性。 系統(tǒng)能量?jī)H與系統(tǒng)的最終狀態(tài)

28、有關(guān)，與能 量的建立過(guò)程無(wú)關(guān)。假設(shè)：1、 恒定磁場(chǎng)中的能量（Magnetic Energy）自有能互有能 磁場(chǎng)建立無(wú)限緩慢（不考慮渦流及輻射）。3.10 磁場(chǎng)能量 電流增大過(guò)程中, 外源必須克服回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功, i1 從 0 I1過(guò)程中，外源所做的功：推導(dǎo)磁場(chǎng)能量表達(dá)式（1）i1 從 0 I1, i2=0dt 時(shí)間內(nèi)，產(chǎn)生di1增量，l1、l2中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為即（2）I1不變，i2 從 0 I2：若要繼續(xù)充電, 外源必須克服回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功I1不變，i2 從 0 I2過(guò)程中，外源所做的功 即dt 時(shí)間內(nèi)，產(chǎn)生di2，l1、l2中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為電源對(duì)整個(gè)電流回路系統(tǒng)所作的總功為: 上式

29、若采用磁通來(lái)表示，則有：即：推廣到N個(gè)電流回路系統(tǒng)， 其磁能為: 式中： 其中:ji 是回路 j 在回路 i 上的磁通， i是回路的總磁通.2、 磁場(chǎng)能量的分布及磁能密度若將i用磁矢位表示： 對(duì)于分布電流，用Iidli=JdV代入上式，得 由P60(3-45):將H=J代入上式，得: 注意，上式中當(dāng)積分區(qū)域V趨于無(wú)窮時(shí)，面積分項(xiàng)為零(理由同靜電場(chǎng)能量里的類似)。于是得到 磁場(chǎng)能量密度為 (A1.7) 例 3 - 10 求無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感。 解：設(shè)導(dǎo)體半徑為a，通過(guò)的電流為I，則距離軸心r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)能量為 單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為 3.11 磁 場(chǎng) 力 電源提供的能量 = 磁場(chǎng)能量的增量 + 磁場(chǎng)力所做的功 n 個(gè)載流回路中， 當(dāng)僅有一個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生位移r ，系統(tǒng)的功能守恒是：虛位移法（Method of False Displacement )寫成矢量形式，有：1. 磁鏈不變 磁鏈不變時(shí)，回路中的感應(yīng)電勢(shì)為零，電源不作功，即： 2. 電流不變 回路的電流不變時(shí)，各回路的磁鏈要發(fā)