2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國(guó)Ⅰ卷)文-試卷真題、答案及詳細(xì)解析

1、絕密 啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國(guó)卷,文)(本試卷共4頁(yè),23小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x|x2-3x-41)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),AGGB=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點(diǎn).(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參

2、數(shù)方程為x=coskt,y=sinkt(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為4cos -16sin +3=0.(1)當(dāng)k=1時(shí),C1是什么曲線?(2)當(dāng)k=4時(shí),求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).23.選修45:不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)畫出y=f(x)的圖像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.2020年數(shù)學(xué)(全國(guó)卷,文)查缺補(bǔ)漏表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏1(集合)選擇題集合的基本運(yùn)算(交集)、一元二次不等式的解法;數(shù)學(xué)運(yùn)算8,15,20(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))選擇題指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化;邏

3、輯推理填空題導(dǎo)數(shù)的幾何意義;數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、求參數(shù)的取值范圍;數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算7,18(三角函數(shù)與解三角形)選擇題三角函數(shù)的周期、圖像;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、三角形面積的應(yīng)用、三角恒等變換;數(shù)學(xué)運(yùn)算14(平面向量)填空題平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩平面向量垂直;數(shù)學(xué)運(yùn)算10,16(數(shù)列)選擇題等比數(shù)列基本量的計(jì)算;數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題由數(shù)列和求首項(xiàng)、分類討論思想的應(yīng)用;邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算13(不等式)填空題線性規(guī)劃;直觀想象3,12,19(立體幾何)選擇題求空間幾何體的基本元素;直觀想象選擇題球的切接問題、球的表面積;

4、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題空間面面垂直的證明、求幾何體的體積;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算6,11,21(平面解析幾何)選擇題點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)最小值的求法;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題雙曲線的定義的應(yīng)用、求焦點(diǎn)三角形的面積;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題求橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系;邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算續(xù)表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏4,5,17(概率與統(tǒng)計(jì))選擇題古典概型的應(yīng)用、數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理選擇題回歸方程的應(yīng)用;數(shù)據(jù)分析解答題古典概型、平均數(shù);數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析2(復(fù)數(shù))選擇題復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模;數(shù)學(xué)運(yùn)算9(程序框圖)選擇題循環(huán)結(jié)構(gòu);邏輯推理22(坐標(biāo)系與

5、參數(shù)方程)解答題極坐標(biāo)與參數(shù)方程;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算23(不等式選講)解答題絕對(duì)值不等式、分段函數(shù)的圖像;直觀想象、邏輯推理【試題分析】2020 年全國(guó)卷文科數(shù)學(xué),突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)(約占40%)以及主干內(nèi)容的考查,如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(22分),立體幾何(22分),解析幾何(22分),概率與統(tǒng)計(jì)(22分),三角函數(shù)與解三角形(17分).縱觀全卷,在穩(wěn)定中求創(chuàng)新,重視對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法與能力的考查,關(guān)注學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí),試卷梯度明顯,有良好的區(qū)分度.試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì),突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用,突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查.第3題以世界建筑奇跡埃及的胡夫金字塔為背景,設(shè)

6、計(jì)了正四棱錐的計(jì)算問題,將立體幾何的基本知識(shí)與世界文化遺產(chǎn)有機(jī)結(jié)合.考查學(xué)生的分析能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).第17題以工業(yè)生產(chǎn)中的總廠分配加工業(yè)務(wù)問題為背景,考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)中實(shí)際數(shù)據(jù)的分析處理能力,將社會(huì)生產(chǎn)勞動(dòng)實(shí)踐情景與數(shù)學(xué)基本概念有機(jī)結(jié)合,培養(yǎng)勞動(dòng)觀念中的引導(dǎo)作用.1.D由不等式x2-3x-40,解得-1x4,故AB=1,3.2.C因?yàn)閦=1+2i+i3=1+2i+i2i=1+2i-i=1+i,所以|z|=12+12=2.3.C如圖,設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h,則有h2=12ah,h2=h2-a22,因此有h2-a22=12ah,化簡(jiǎn)

7、得4ha2-2ha-1=0,解得ha=5+14.(負(fù)值舍去)4.A由題意知一共有10種取法,當(dāng)選A,O,C和B,O,C時(shí)符合要求,故P=210=15.5.D結(jié)合題中散點(diǎn)圖,由圖像的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+bln x.6.B圓的方程可化為(x-3)2+y2=9.因?yàn)?1-3)2+(2-0)2=223,所以點(diǎn)(1,2)在圓內(nèi).如圖所示,設(shè)圓心O1(3,0),A(1,2),當(dāng)弦BC與O1A垂直時(shí)弦最短,因?yàn)閨O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,|O1B|=3,所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1,所以|BC|=2|AB|=2.7.

8、C由題圖知f-49=cos-49+6=0,所以-49+6=2+k(kZ),化簡(jiǎn)得=-3+9k4(kZ).因?yàn)門22T,即2|24|,所以1|2,解得-119k-79或19k59.當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí),1|2.所以=32,最小正周期T=2|=43.8.B因?yàn)閍log34=log34a=2,所以4a=32=9,所以4-a=14a=19.9.C輸入n=1,S=0,則S=S+n=1,S100;n=n+2=3,S=S+n=1+3=5,S100;n=n+2=5,S=S+n=1+3+5=10,S100;n=5+2=7,由以上推導(dǎo)可知S是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列的前m項(xiàng)和,可得S=m+m(m-1)100,

9、解得-10m10.故當(dāng)n=1+102=21時(shí),不滿足S100,故輸出n=21.10.D設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.11.B由題意知a=1,b=3,c=2.不妨設(shè)F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn),則F1(-2,0),F2(2,0).因?yàn)閨OP|=2,所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心,F1F2為直徑的圓上,故PF1PF2,則|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|P

10、F1|PF2|=4,所以|PF1|PF2|=6,所以PF1F2的面積為12|PF1|PF2|=3.12.A由題意知O1的半徑r=2.由正弦定理知ABsinC=2r,OO1=AB=2rsin 60=23,球O的半徑R=r2+|OO1|2=4.球O的表面積為4R2=64.13.1畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分)所示,將目標(biāo)函數(shù)z=x+7y變形可得y=-17x+17z,平移直線y=-17x.由圖可得z在點(diǎn)A處取得最大值.由x-y-1=0,2x+y-2=0,得x=1,y=0,所以A(1,0),所以zmax=1+70=1.【思路點(diǎn)撥】 解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出可行域,分別求出交點(diǎn)坐標(biāo),可

11、知z在點(diǎn)(1,0)處取得最大值.14.5由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.15.y=2x設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0).對(duì)y=ln x+x+1求導(dǎo)可得y=1x+1.由題意得,1x0+1=2,解得x0=1,故y0=ln 1+1+1=2,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.16.7當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有an+2+an=3n-1,則(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有an+2-an=3n-1,由累加

12、法得an+2-a1=3(1+3+5+n)-1+n2=34n2+n+14,所以an+2=34n2+n+14+a1,所以a1+3412+1+14+a1+3432+3+14+a1+3452+5+14+a1+3472+7+14+a1+3492+9+14+a1+34112+11+14+a1+34132+13+14+a1=448,解得a1=7.17.解 (1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知,甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為40100=0.4;乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為28100=0.28.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為利潤(rùn)6525-5-7

13、5頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為6540+2520-520-7520100=15.由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為利潤(rùn)70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為7028+301710.比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤(rùn),應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).18.解 (1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos 150,解得c=-2(舍去),c=2.從而a=23.ABC的面積為12232sin 150=3.(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sin A+3s

14、in C=sin(30-C)+3sin C=sin(30+C).故sin(30+C)=22.而0C30,所以30+C=45,故C=15.19.(1)證明 由題設(shè)可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.從而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解 設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l.由題設(shè)可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.從而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱錐P-ABC的體積為1312PAPBPC=1312623=68

15、.20.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x-2,則f(x)=ex-1.當(dāng)x0時(shí),f(x)0時(shí),f(x)0.所以f(x)在(-,0)單調(diào)遞減,在(0,+)單調(diào)遞增.(2)f(x)=ex-a.當(dāng)a0時(shí),f(x)0,所以f(x)在(-,+)單調(diào)遞增,故f(x)至多存在1個(gè)零點(diǎn),不合題意.當(dāng)a0時(shí),由f(x)=0可得x=ln a.當(dāng)x(-,ln a)時(shí),f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=ln a時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a(1+ln a).若01e,則f(ln a)0,所以f(x)在(-,ln a)存在唯一零點(diǎn).由(1

16、)知,當(dāng)x2時(shí),ex-x-20,所以當(dāng)x4且x2ln(2a)時(shí),f(x)=ex2ex2-a(x+2)eln(2a)x2+2-a(x+2)=2a0.故f(x)在(ln a,+)存在唯一零點(diǎn).從而f(x)在(-,+)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍是1e,+.21.(1)解 由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).則AG=(a,1),GB=(a,-1).由AGGB=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程為x29+y2=1.(2)證明 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3n3.由于直線PA的方程為y=t9(x+3),所

17、以y1=t9(x1+3).直線PB的方程為y=t3(x-3),所以y2=t3(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于x229+y22=1,故y22=-(x2+3)(x2-3)9,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.將x=my+n代入x29+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-2mnm2+9,y1y2=n2-9m2+9.代入式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.解得n=-3(舍去),n=32.故直線CD的方程為x=my+32,即直線CD過定點(diǎn)32,0.若t=0,則直線CD的方程為y=0,過點(diǎn)32,0.綜上,直線CD過定點(diǎn)32,0.22.解 (1)當(dāng)k=1時(shí),C1:x=cost,y=sint,消去參數(shù)t得x2+y2=1,故曲線C1是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓.(2