統(tǒng)計心理-第三章-集中量數(shù) 課件

1、第三章 集中量數(shù)9，13，10，8，9，11，7，12，10，13，10，855，57，52，56，55，56，59，58，51，53， 54，5425，28，12，-1，-10，39，10，18，-7，-13，22，-3數(shù)據(jù)分布的基本特征集中趨勢 (位置)偏態(tài)和峰態(tài)（形狀）離中趨勢 (分散程度)集中趨勢與離中趨勢集中趨勢是指數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。集中趨勢與離中趨勢集中趨勢是指數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。離中趨勢是指數(shù)據(jù)分布中數(shù)據(jù)彼此分散的程度。 集中量數(shù)與差異量數(shù)：描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢和離中趨勢的統(tǒng)計量，共同描述一組數(shù)據(jù)的全貌及統(tǒng)計特征。 測度集中趨勢即尋找數(shù)據(jù)水平

2、的代表值或中心值集中量數(shù)包括算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等。第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的定義 算術(shù)平均數(shù)，一般簡稱為平均數(shù)，或均數(shù)，或均值。一般用字母M或 表示。第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù)二、算術(shù)平均數(shù)的計算方法（一）未分組數(shù)據(jù)計算平均數(shù)第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù)二、算術(shù)平均數(shù)的計算方法（二）用估計平均數(shù)計算算術(shù)平均數(shù)AM為估計平均數(shù)N為數(shù)據(jù)個數(shù)9，13，10，8，9，11，7，12，10，13，10，855，57，52，56，55，56，59，58，51，53，54，5425，28，12，-1，-10，39，10，18，-7，-13，22，-3第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù)二、算術(shù)平

3、均數(shù)的計算方法（三）使用次數(shù)分布表計算平均數(shù)1.由次數(shù)分布表求平均數(shù)2.用估計平均數(shù)計算分組次數(shù)分布表平均數(shù)第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù)三、平均數(shù)的特點 各變量值與均值的離差之和等于零3.各變量值與均值的離差平方和最小4. 所有的觀測值都加上常數(shù)C，則平均值也增加常數(shù)C5. 所有觀測值都乘以不等于0的常數(shù)C，則平均值也增大C倍6. 7. 算術(shù)平均數(shù)是“真值”的漸進、最佳的估計值第一節(jié) 算術(shù)平均數(shù)二、平均數(shù)的特點推導(dǎo)：設(shè)觀測值與平均數(shù)的差為：觀測值與真值的差為：則：因為：代入可得：平均數(shù)的優(yōu)缺點（一）優(yōu)點1.反應(yīng)靈敏2.計算嚴密3.計算簡單4.簡明易解5.適合于進一步代數(shù)運算6.較少受抽樣變動的影響平均數(shù)

4、的優(yōu)缺點（二）缺點1.易受極端數(shù)據(jù)影響 修剪平均數(shù)：也稱截尾平均數(shù)，是從一組數(shù)據(jù)中去除一定百分比（如5%）的最大值和最小值數(shù)據(jù)后，再次計算的算術(shù)平均數(shù)。2.若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時，無法計算平均數(shù)小結(jié)如果一組數(shù)據(jù)比較準確，可靠又同質(zhì)，而且需要每一個數(shù)據(jù)都加入計算，同時還要作進一步代數(shù)運算時，這時就要用算術(shù)平均數(shù)表示其集中趨勢。如果一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)兩個極端的數(shù)目，或有一些數(shù)據(jù)不清楚，數(shù)據(jù)不同質(zhì)時，就不宜使用算術(shù)平均數(shù)。在報告平均數(shù)時，要按特別指定的單位來表達。在書寫平均數(shù)時，習(xí)慣上平均數(shù)保留的小數(shù)位數(shù)要比原來的測量數(shù)據(jù)多一位小數(shù)。計算和應(yīng)用平均數(shù)的原則同質(zhì)性原則 同質(zhì)數(shù)據(jù)：指使用同一個觀測手段，采用

5、相同的觀測標(biāo)準，能反映某一問題的同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)。平均數(shù)與個體數(shù)值相結(jié)合的原則平均數(shù)與標(biāo)準差、方差相結(jié)合原則（即平均數(shù)的代表性受標(biāo)準差和方差所影響）第二節(jié) 中數(shù)和眾數(shù)一、中數(shù)（一）中數(shù)的意義和特點1.定義： 中數(shù)又稱中點數(shù)，中位數(shù)，中值，是指按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)。符號為Md或Mdn。2.特點： 受極端數(shù)目的影響較小 Mdn50%50%（二）中數(shù)的計算方法1. 未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法 （1）一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況 先將數(shù)據(jù)排序，若數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，則 為中數(shù)；若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，則 為中數(shù)。求數(shù)列4，6，7，8，12的中數(shù)。有2，3，5，7，8，10，15，19共8

6、個數(shù)，求其中數(shù)。（二）中數(shù)的計算方法（2）一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時 求數(shù)列5，5，6，10，12，15，17的中數(shù)。（二）中數(shù)的計算方法（2）一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)據(jù)中間，數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時 求數(shù)列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中數(shù)。11 12 13 14 15 16 17 12 13 14 11 12 13 14 15 16 17 12 13 14 （二）中數(shù)的計算方法（2）一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間，數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時 求數(shù)列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中數(shù)。（二

7、）中數(shù)的計算方法（補充說明）個數(shù)為奇數(shù)（僅與第(N+1)/2這一個數(shù)值有關(guān)）：例1：2，2，2，5，6，6，7（無重復(fù)）例2：2，3，5，5，5，6，7（對稱重復(fù)）例3：2，2，2，5，5，6，7（不對稱重復(fù)）個數(shù)為偶數(shù)（與第N/2和N/2+1兩個數(shù)值有關(guān)）：例4：2，5，5，5，5，7（自身對稱重復(fù)）例5：5，5，5，5，5，7（自身不對稱重復(fù)）例6：2，5，5，6，8(6)，9（一個或兩個有重復(fù)，連續(xù)）例7：2，5，5，8，8(9)，9（一個或兩個有重復(fù)，不連續(xù)）看組中值看上下限（二）中數(shù)的計算方法（2）3. 量數(shù)已分組求中數(shù)的方法 公式原理： 公式：N為數(shù)據(jù)總數(shù)，i為組距，f為中數(shù)所在的

8、分組區(qū)間的數(shù)據(jù)個數(shù)，Lb為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確下限，F(xiàn)b為該組以下各組累加次數(shù)，La為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確上限，F(xiàn)a該組以上各組累加次數(shù)。利用公式求分組次數(shù)表中中數(shù) 組限 次數(shù)自上而下累積次數(shù)自下而上累積次數(shù) 65 60 55 50 45 40 35 3 4 11 13 8 6 3 3 7 18 31 39 45 48 48 45 41 30 17 9 3中數(shù)的優(yōu)缺點與應(yīng)用 （1）當(dāng)一組觀測結(jié)果中出現(xiàn)兩個極端數(shù)目時 （2）當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不清楚時,只能取中數(shù)作為集中趨勢的代表值 （3）當(dāng)需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時,也常用中數(shù)（一）眾數(shù)的意義和特點 意義：指在一組量數(shù)中，出

9、現(xiàn)頻數(shù)最多的量數(shù)。用符號 表示。 特點：（1）獲取容易；（2）在一組量數(shù)中，眾數(shù)可能不止一個；（3）在次數(shù)分布中，觀察次數(shù)最多的那個分組區(qū)間的組中值為眾數(shù)，因此眾數(shù)受組距和組限的影響很大。 二、眾數(shù) 二、眾數(shù)（二）眾數(shù)的求法1. 用觀察法求眾數(shù) 例：求2，3，3，5，3，4，3，6這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。2. 用公式計算眾數(shù) 眾數(shù)的應(yīng)用1.當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時；2.當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時；3.當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時，除了一般用中數(shù)外，有時也用眾數(shù)；4.當(dāng)粗略估計次數(shù)分布的形態(tài)時，有時用平均數(shù)與眾數(shù)之差，作為表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標(biāo)。5.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中同時有兩個數(shù)值的次

10、數(shù)都比較多時，即次數(shù)分布中出現(xiàn)雙眾數(shù)時，也多用眾數(shù)來表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)。平均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)之間的關(guān)系2, 3, 5, 6, 7, 10, 10, 14, 15負偏分布均值 中位數(shù) 眾數(shù)對稱分布 均值= 中位數(shù)= 眾數(shù)正偏分布眾數(shù) 中位數(shù)均值平均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)之間的關(guān)系在偏態(tài)分布中，平均數(shù)永遠位于尾端。一般偏態(tài)情況下，中數(shù)離平均數(shù)較近，而距眾數(shù)較遠。第三節(jié) 其他集中量數(shù)一、加權(quán)平均數(shù) 所得數(shù)據(jù)單位權(quán)重不相等時要使用加權(quán)平均數(shù)。 由各小組平均數(shù)計算總平均數(shù)是應(yīng)用加權(quán)平均數(shù)的一個特例。W為權(quán)數(shù)，指各變量在構(gòu)成總體中的相對重要性。加權(quán)平均數(shù)例1：某小學(xué)三年級舉行英語測驗。甲班32名學(xué)生的平均分為72.6

11、，乙班40名學(xué)生平均分為80.2，丙班36名學(xué)生的平均分為75分。求全年級英語測驗的總平均分數(shù)。加權(quán)平均數(shù)例2：某課題組在8個省區(qū)進行一項調(diào)查，各省區(qū)的取樣人數(shù)和平均分數(shù)見下表，求該項調(diào)查的總平均數(shù)。省區(qū)代碼人數(shù)平均分數(shù)162798226860340082467096541180631465761096850088合計3800665二、幾何平均數(shù)（一）幾何平均數(shù)的定義二、幾何平均數(shù)（二）幾何平均數(shù)的應(yīng)用條件一組實驗數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)。在心理物理學(xué)的等距與等比量表實驗中，只能用幾何平均數(shù)。主要用于計算平均增長率或平均進步率等。 幾何平均數(shù)的計算（平均進步率）時間2019

12、201920192019成績65758088比率計算某生閱讀能力每周進步情況測驗次數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次閱讀能力分數(shù)345260.6769.3377.33每次增進率的比率X三、調(diào)和平均數(shù)（一）調(diào)和平均數(shù)的意義定義：又稱倒數(shù)平均數(shù)。 應(yīng)用：主要應(yīng)用于計算平均速度或速率 情況一：任務(wù)量相同，所用時間不同 情況二：任務(wù)時間相同，工作量不同 無論哪種情況，都先求出單位時間的工作量， 然后代入公式計算。兩組學(xué)生演算速度（共15道題）的比較組別學(xué)生所需時間速度（每小時所做的題數(shù)）計算第一組ABCD3.752.501.501.25第二組EFGH2.502.501.501.50兩組學(xué)生演算速度（共1

13、5道題）的比較組別學(xué)生所需時間速度（每小時所做的題數(shù)）計算第一組ABCD3.752.501.501.25461012第二組EFGH2.502.501.501.50661010學(xué)習(xí)實驗中，6名被試在2小時的解題量依次為24題，20題，16題，12題，8題，4題。這6名被試平均每小時解多少道題？課堂練習(xí)1. 當(dāng)變量數(shù)列中各變量值的頻數(shù)相等時，該數(shù)列_。A. 眾數(shù)等于中位數(shù) B. 眾數(shù)等于均值C. 無眾數(shù)D. 眾數(shù)等于最大的數(shù)值 課堂練習(xí)2. 計算平均指標(biāo)最常用的方法和基本形式是_。A. 中位數(shù) B. 眾數(shù)C. 算術(shù)平均數(shù)D. 調(diào)和平均數(shù) 課堂練習(xí)3. 計算平均發(fā)展速度的方法有_。A. 算術(shù)平均數(shù)

14、B. 幾何平均數(shù)C. 調(diào)和平均數(shù)D. 加權(quán)平均數(shù) 課堂練習(xí)4. 計算學(xué)習(xí)速度常用的方法有_。A. 算術(shù)平均數(shù) B. 幾何平均數(shù)C. 調(diào)和平均數(shù)D. 加權(quán)平均數(shù) 課堂練習(xí)5. 負偏態(tài)分布中，算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)之間數(shù)值大小的關(guān)系為_。A. M Md Mo B. Md M Mo C. Mo M MdD. Mo Md M 課堂練習(xí)6. 數(shù)列11,12,12,11,13,13,13,17,17,18和數(shù)列23,25,25,26,26,26,27的中數(shù)分別是_。A. 12.66, 25.33 B. 12.83, 25.83C. 12.83, 25.66D. 12.5, 26.33 課堂練習(xí)7. 數(shù)列6

15、5,48,63,52,61,53,63,70,65的平均數(shù)和中數(shù)分別是_。A. 60, 62.75 B. 60, 63.5C. 63, 63.5D. 63, 63 課堂練習(xí)8. 某職業(yè)學(xué)校1990年招生300名，隨著國家對職業(yè)教育的重視和學(xué)校辦學(xué)規(guī)模的進一步擴大，2000年招生達800名。該校這幾年招生人數(shù)平均年增長率是_。A. 70% B. 17% C. 12% D. 10% 課堂練習(xí)9. 下列表示算術(shù)平均數(shù)性質(zhì)公式中錯誤的是_。（X0為非 的任意值）（A為任意值）課堂練習(xí)10. 對于下列數(shù)據(jù)，使用何種集中量數(shù)表示集中趨勢其代表性更好？并計算它們的值。（1）4，5，6，6，7，29（2）3，4，5，5，7，5（3）2，3，5，6，7，8，9 （1）因為出現(xiàn)極端數(shù)目，適合選擇中數(shù)表示集中趨勢（2）使用眾數(shù)計算更為快捷，出現(xiàn)最多的數(shù)值為5