電磁場理論：第六章 電磁感應

1、第六章 電磁感應6.1 法拉第電磁感應定律 1、電磁感應現(xiàn)象結論：閉合導線回路包圍的磁通量變化時，回路中就會產生電流。 法拉第實驗：奧斯特實驗：電流磁場2、楞次定律表述：感應電流所產生的磁通總是力圖補償原來磁通量的變化。 楞次定律表明，感應電動勢對回路的磁通量變化起著一個“負反饋”的作用，既產生于磁通量的變化，又抑制著磁通量的變化，這實際上正是能量守恒定律的體現(xiàn)。 3、法拉第定律的數(shù)學表達式根據(jù)法拉第實驗與楞次定律，可得 E E 的正方向規(guī)定為回路平面法線的右手螺旋方向。 也可以表示為感應電動勢的分類： 變， 變 不變， 變 變， 不變感生電動勢動生電動勢感生電動勢與動生電動勢的疊加 4、運動

2、回路的法拉第定律假設閉合回路l 以速度 在磁場中運動 在 t 時刻通過 S(t) 的磁通量為 在時刻t+t，通過S(t+t)的磁通量為 t 時間內的磁通量增量為 E 于是回路上的感應電動勢為E 分析可知：省略上式中的時間變量 t ，則有 E感生電動勢動生電動勢所以回路上的感應電動勢為5、發(fā)電機原理 如圖所示，當導體棒l ，以速度v 在垂直于均勻恒定磁場的平面內向右運動時，矩形回路上的動生電動勢為 E 動生電動勢的做功功率為 E 另一方面，導體棒在磁場中運動要受到磁場力的作用，即為保持導體棒勻速向右運動，必須使用外力外 來克服磁力，此外力做功的功率為 動生電動勢做功的能量是由外力克服磁力所做的機

3、械功轉換而來的。 6、導線回路中的洛侖茲力電子的總速度是： 如圖當ab段出現(xiàn)動生電動勢時，分析ab段內的任意一個電子，其運動速度可以分解為兩個分量： 向下運動的速度 隨導線向右的速度 電子所受的總洛倫茲力 也可以分解成兩部分動生電動勢 安培磁力 在產生動生電動勢的過程中，洛倫茲力起著能量轉換者的作用，在接受外力做功的同時，將其轉換為推動電荷運動的動生電動勢。 洛倫茲力的總功為例6.1 一個長、寬分別為 b 和 c 的單匝矩形線圈放在時變磁場 內，開始時線圈平面的法矢 與 y 軸成角，如圖所示。求： (a) 線圈靜止時的感應電動勢和線圈上串接電阻R時的感應電流； (b) 線圈繞 x 軸旋轉時的感

4、應電動勢。 解： (a) 線圈靜止時，只有感生電動勢，即 Ea 串接電阻R 時 I = Ea (b) 線圈以角速度旋轉時 方法一：利用Eb Eb Eb E Ea 其中感生部分為動生部分為所以總電動勢方法二：若令=t，即t = 0時= 0，則上式為 例6.2 一菱形均勻線圈在均勻恒定磁場 中以勻角速度繞其對角線轉動，轉軸與 垂直，線圈平面轉至與平行時，問：（1） a、c 兩點中哪點電位高?（2）設 b 為 ac 的中點，b、c 兩點中哪點電位高？ 解：（1） 在ac 段應用含源電路的歐姆定律 ，有 E = 4Eac Eac I = E /R= Eac/Rac總電動勢為 總電阻為故線圈的感應電流為

5、 即 a、c 兩點電位相等。電流之所以能從 a 流向 c ，關鍵在于 ac 段內有電動勢。所以a、c 兩點電位是Ebc Ebc Eac 再利用I = E /R= Eac/Rac 和（2）在bc 段應用含源電路的歐姆定律 ，有計算可得可得Ubc 之所以不為零，關鍵在于ab 段與bc 段的電動勢不相等 即Ebc E / 8，但，故Ebc IRbc Ubc 說明 b 點電位低于 c 點，但電流卻從 b 點流向 c 點，這是由于 bc 段內有感應電動勢的緣故 6.2 法拉第電磁感應定律的推廣1、法拉第電磁感應定律的推廣導線回路 任意空間回路任取一個空間回路 l，根據(jù)法拉第定律得 積分形式若回路對于電磁

6、場是不運動的，則求導就變成對 t 的偏導，即 微分形式應用斯托克斯定理得所以表明：時變的磁場可以產生電場，并且這個電場是非保守場。 2、磁場高斯方程微分形式對推廣的法拉第定律兩邊取散度得考慮矢量恒等式 ，有 可見 與 t 無關的常量C。由于恒定磁場是時變磁場的特例，并且對恒定磁場有 ，所以C = 0。對時變磁場仍然有對微分形式兩邊體積分并應用散度定理，得到積分形式表明：時變磁場的無散性和磁通連續(xù)性 3、時變場的位函數(shù)動態(tài)矢量磁位根據(jù) ，可以引入矢量位動態(tài)電位U所以可引入標量函數(shù)U 時變電場可以表示為時變電場可以分成兩項 源場的性質時變的分布電荷保守場時變的磁場非保守場E 可見，對感應電動勢E

7、有貢獻的只是電場的非保守部分，而保守部分對回路的感應電動勢無貢獻?？紤]時變電場的環(huán)路積分6.3 電感一. 自感 （第 i 匝）自感磁通 ： （線圈的）自感磁鏈 ： 若各匝線圈自感磁通相等，則 1、自感系數(shù)自感系數(shù) ：記L 稱為該線圈的自感系數(shù)（簡稱自感），單位是亨利（H） 通常規(guī)定電流 I 與自感磁通正方向成右手螺旋關系，故L 0 。2、自感電動勢由線圈電流時變在自身回路產生的感應電動勢稱為自感電動勢。 根據(jù)法拉第定律，單匝線圈的電動勢為 E=N E3、自感的應用鎮(zhèn)流器： 擊穿導電氣體穩(wěn)定電流 E 若線圈有 N 匝，則總的感應電動勢為 二、互感1、互感系數(shù)（第 i 匝）互感磁通 ： （線圈1對

8、線圈2的）互感磁鏈 ： 對于線性媒質，互感磁鏈與線圈1上的電流成正比關系，記 M21稱為線圈1對線圈2的互感系數(shù)，簡稱互感，單位是亨利（H）。 互感系數(shù)可為正值亦可為負值，其取決于線圈1上的電流I1 和線圈2的截面的參考方向。 2、互感電動勢 當線圈1上的電流隨時間變化時，根據(jù)法拉第定律，線圈2上將產生感應電動勢 E 2 E 2 稱為線圈2上的互感電動勢。 若線圈2上有電流 I2，而線圈1無源，則 E 13、諾伊曼公式 2I 1I 2dl 1dl 1l 圖612 兩個單匝回路的互感 1 2 R 2l 單匝線圈如圖忽略導線直徑的線度，有 因為所以同理若記則有諾伊曼公式R qdl2 nl2 ml1

9、 pdl1 2l ql2 pl1 圖613 分段法計算互感 1l 分段法把回路1 分成m 段，把回路2分成 n 段 將諾伊曼公式中兩個閉合回路積分分解為各線段積分之和，得 代表線段 與線段 之間的互感 其中多匝線圈兩線圈間的總互感等于所有單匝回路的互感之和 若兩個線圈間距離遠大于每個線圈自身的線度，則 4、電感的串接順接情況 2y (a) 順接 I I 1y 兩線圈串聯(lián)時電流相等，所以 E =E1 +E2 于是串聯(lián)的感應電動勢E 為因此線圈串聯(lián)順接的等效自感為 E1E2 2y 1y (b) 逆接 I I 逆接情況 E1E2 E =E1 +E2因此串聯(lián)逆接的等效自感為所以串聯(lián)逆接的感應電動勢E

10、為于是如果兩線圈之間的互感耦合可以忽略，則 “同名端”標記法 三. 自感的計算 N 匝（密繞）線圈的自感系數(shù) 若令兩個相同的線圈重合，則兩線圈之間的互感等于線圈的自感。 對于N 匝（密繞）線圈外自感與內自感外自感其中l(wèi)1: 導線回路的軸線l2: 導線回路的內徑導線內的磁通對自感的貢獻稱為內自感，表示為Li 回路的總自感： 例6.4 試計算半徑為a的圓導線的內自感。 解：假設 l a，則導線內部的磁場可近似地認為與無限長直圓柱導體內的磁場分布相同，即 在半徑 r 處，寬度為 dr 的截面上通過的磁通量為 這些磁通量僅與半徑為r 的圓截面內的電流交鏈，所以 所對應的磁鏈為與電流 I 交鏈的總磁鏈為

11、 因此，長為l的一段圓截面導線的內自感為 從而得到單位長度均勻導體的內自感 例6.5 設導線半徑為a，軸線間距離D a 。求：雙線傳輸線單位長度的自感。解：設導線上的電流為 I ，方向如圖所示，則兩導線間平面上任意點的磁通密度為 故單位長度的自感為當D a 時內自感 單位長度傳輸線交鏈的磁通量為6.4 磁場的能量來源：磁場建立過程中的外源作功 根據(jù)能量守恒定律，只要終值電流相同，不管電流建立過程如何，外源所作的功一定相同，并且轉化為系統(tǒng)的磁場能量。 1、離散導體回路系統(tǒng)的磁場能對由N 個電流回路組成的磁場系統(tǒng)，第i 個回路的終值總磁鏈為 （i =1，2，3.N） 假定電流增長過程則若 t 時刻

12、電流在 dt 時間內改變了 ，則在此回路中引起的感應電動勢為 E i 此電動勢將阻止電流的變化，為了保證電流改變，外源必須為此作功，這部分功將成為磁場中儲存的能量，其增量為 Ei 在整個過程中磁場增加的總量，即是磁場的總能量此式可改寫為自能(或固有能) 互能 利用磁場能求自感L對于單電流回路系統(tǒng) 有所以2、利用 計算磁場能實驗證明：磁場不為零的地方都有磁能存在。 對N個電流回路的系統(tǒng)，有 則系統(tǒng)磁場能為作替換 ，則因為無電流區(qū)域對積分無貢獻，故可以擴展為包含所有電流回路的體積。 利用矢量恒等式，可得 所以磁場能表示為考察第一項將積分域擴展到整個空間，則 S 由于增加的區(qū)域內 ，所以積分結果不變 所以 時因此整個空間的磁場能為稱為磁場能量密度 令在各向同性的線性媒質中，磁場能量密度可寫成而求解無窮大 S 面上的問題時，電流區(qū)域可視為磁偶極子例6.6 同軸線內外導體材料的磁導率為，中