第8講費馬點最值模型(原卷版)2020年中考數(shù)學(xué)幾何模型能力提升篇(全國通用)

1、中考數(shù)學(xué)幾何模型8:費馬點最值模型撥開云霧開門見山名師點睛費馬爾問題思考：PA+PB+PCM ??？如何找一點P使它到 ABC三個頂點的距離之和BP AP CP=BP PQ QE BE當B、P、Q、E四點共線時取得最小值費馬點的定義：數(shù)學(xué)上稱，到三角形 3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣確定的：.如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120。，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；.如果3個內(nèi)角均小于120 ,則在三角形內(nèi)部對 3邊張角均為120的點，是三角形的費馬點。費馬點的性質(zhì)：費馬點有如下主要性質(zhì)：.費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。.費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120。費馬點最小值快速求解：費

2、爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換.秘訣：以4ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值典題探究啟迪思維探究重點例題1.已知：4ABC是銳角三角形， G是三角形內(nèi)一點。/ AGC=/AGB= /BGC=120 .求證：GA+GB+GC的值最小.變式練習.如圖，P是邊長為1的等邊 ABC內(nèi)的任意一點，求t PA PB PC的取值范圍.求正方形的邊長.例題2.已知正方形ABCD內(nèi)一動點E至ij A、B、C三點的距離之和的最小值為我 J6變式練習.若P為銳角 4ABC的費馬點，且/ ABC=60, PA=3, PC=4,求

3、PB的值.例題3.如圖，矩形ABCD是一個長為1000米，寬為600米的貨場，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個收費站P,在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站臺 H,設(shè)鋪設(shè)公路 AP、DP以及PH之長度和為1,求l的最小值.A 1000m d變式練習.如圖，某貨運場為一個矩形場地ABCD,其中AB = 500米，AD= 800米，頂點A, D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P,在BC邊上(含B, C兩點)開一個貨物入口 M,并修建三條專用車道PA, PD, PM.若修建每米專用車道的費用為10000元，當M, P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？(結(jié)果保留整數(shù))例題4.

4、如圖，在平面直角坐標系 xOy中， ABC三個頂點的坐標分別為 A (- 6, 0) , B (6, 0) , C (0,4/3),延長 AC到點D ,使CD = AC,過點D作DE / AB交BC的延長線于點 E.(1)求D點的坐標；(2)作C點關(guān)于直線DE的對稱點F,分別連接DF、EF,若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分 成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；(3)在第二問的條件下，設(shè) G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點出發(fā)，先沿 y軸到達G 點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線 GA上運動速度的2倍，試確定G點的 位置，使P點按照上述要

5、求到達 A點所用的時間最短.(要求：簡述確定G點位置的方法，不要求證明)例題5.如圖1,已知一次函數(shù)y= x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y = - x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C.(1)求b、c的值；(2)如圖1,點D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE=2ED,連接CE并延長交拋物線于點 M,求 點M的坐標；(3)將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 15后交y軸于點G,連接CG,如圖2, P為4ACG內(nèi)一點，連接PA、PC、PG,分別以 AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊 4APR,等邊AACQ,連接QR求證：PG=RQ;求PA+PC+PG的最小值，并求

6、出當 PA+PC+PG取得最小值時點 P的坐標.領(lǐng)悟提升強化落實達標檢測1.如圖，已知矩形 ABCD, AB=4, BC=6,點M為矩形內(nèi)一點，點 E為BC邊上任意一點，則 MA+MD+ME的最小值為4AB=2,貝U AP+BP+CP的最小值為（.如圖，四邊形 ABCD是菱形，AB = 4,且/ ABC= / ABE = 60 , M為對角線BD （不含B點）上任意60得到BN,連接EN、AM、CM,貝U AM + BM+CM的最小值為.將4ABC放在每個小正方形的邊長為 1的網(wǎng)格中，點B、C落在格點上，點 A在BC的垂直平分線上, /ABC = 30,點P為平面內(nèi)一點.(1) /ACB =（

7、2）如圖，將4APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（3） AP+BP+CP的最/、值為* -1 WS 3 H- in 尸V! 、 VI：1RV1Il*I.1.-ji I I L .r -!W!l!L *卜耳a * i Br a *(i111|i!ibiic :：L|HIL .Illi! IlinH1|1|lL -4一一.L -I - - jiirk_l Jl*1 w3,lL .-l號用國3C6.已知，在 4ABC 中，/ACB=30(1)如圖1 ,當AB=AC= 2,求BC的值；(2)如圖2,當AB=AC,點P是4ABC內(nèi)一點，且 PA = 2, PB=。R(

8、3)如圖 3,當 AC=4, AB=V7 (CBCA),點 P 是4ABC 內(nèi)一動點，sic國1圖2,PC= 3,求/ APC的度數(shù)；貝U PA+PB+PC的最小值為 臚圖35.如圖，四個村莊坐落在矩形 ABCD的四個頂點上，AB=10公里，BC=15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站 E, F,貝U EA+EB+EF+FC+FD的最小值為 公里.7.如圖 1,在 4ABC 中，/ACB=90,點 P 為4ABC 內(nèi)一點.(1)連接PB, PC,將BCP沿射線CA方向平移，得到 ADAE,點B, C, P的對應(yīng)點分別為點 E,連接CE.D、A、依題意，請在圖2中補全圖形；如果BPXCE, BP = 3,

9、 AB=6,求CE的長(2)如圖3,以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將 4ABP順時針旋轉(zhuǎn) 60得到AAMN,連接PA、PB、PC,當AC=3, AB= 6時，根據(jù)此圖求 FA+PB+PC的最小值.38. （1）閱讀證明P為AABC的如圖1,在 ABC所在平面上存在一點 P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點 費馬點，此時 PA+PB+PC的值為4ABC的費馬距離.如圖2,已知點P為等邊 ABC外接圓的京上任意一點.求證：PB+PC=PA.（2）知識遷移根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋 4ABC （其中ZA, ZB, /C均小于120）的費馬點和費馬距離的方法: 第一步：如圖3,在 ABC的外部以BC為邊長作等邊4BCD及其外接圓；PoA+PoB+PoC= PoA+ (PoB+PoC) = PoA+;第二步：在一而上取一點Po,連接PoA, PoB, PoC, PoD.易知第三步：根據(jù)（1