人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時(shí)作業(yè)：第六章平面向量復(fù)數(shù)（必修第二冊(cè)）

1、第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練平面向量的概念1平面向量的線性運(yùn)算2,3,4,5,8向量共線7,911,13綜合問(wèn)題610,12,1415,161.設(shè)a是非零向量,是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是(B)A.a與a的方向相反B.a與2a的方向相同C.|-a|a|D.|-a|a解析:對(duì)于A,當(dāng)0時(shí),a與a的方向相同,當(dāng)0,則ABC為銳角三角形解析:由向量的運(yùn)算法則知AB-AC=CB,AB+BC+CA=0,故A錯(cuò),B對(duì);因?yàn)?AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以AB2=AC2,即|AB|=|AC|,所以ABC為等腰三角形,故C對(duì);因?yàn)锳CAB0,

2、所以角A為銳角,但三角形不一定是銳角三角形,故D錯(cuò).故選BC.7.已知向量e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若a=2e1-e2與b=e1+e2共線,則=.解析:法一因?yàn)閍與b共線,所以a=xb,所以x=2,x=-1,故=-12.法二由已知-1=12,所以=-12.答案:-128.如圖所示,已知B=30,AOB=90,點(diǎn)C在AB上,OCAB,若用OA和OB來(lái)表示向量OC,則OC=.解析:由題意易知OC=OA+AC=OA+14AB=OA+14(OB-OA)=34OA+14OB.答案:34OA+14OB9.已知a,b不共線,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)tR,如果3a=c,2b=d

3、,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:由題設(shè)知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因?yàn)閍,b不共線,所以有t-3+3k=0,t-2k=0,解得t=65.故存在實(shí)數(shù)t=65使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.10.(多選題)設(shè)點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是(ACD)A.若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B.若AM=2AB-A

4、C,則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上C.若AM=-BM-CM,則點(diǎn)M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,則MBC的面積是ABC的面積的12解析:若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),故A正確;若AM=2AB-AC,即AM-AB=AB-AC,即BM=CB,則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上,故B錯(cuò)誤;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,則點(diǎn)M是ABC的重心,故C正確;如圖,AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC,設(shè)AN=2AM,則M為AN的中點(diǎn),則MBC的面積是ABC的面積的12,故D正確.故選ACD.11.(多選題)設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)

5、平面向量,已知PQ=a+sin b,其中(0,2),QR=2a-b.若P,Q,R三點(diǎn)共線,則角的值可以為(CD)A.6 B.56 C.76 D.116解析:由題意1(-1)-2sin =0,sin =-12.又(0,2),故的值可為76或116.故選CD.12.在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=23,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若AE=AD+AB,則的取值范圍是.解析:由已知可得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上,所以DE=DC (01).因?yàn)锳E=AD+DE,又AE=AD+AB=AD+2DC =AD+2DE,所以2=1,即=2.因?yàn)?1,所以012.答案

6、:0,1213.如圖,在ABC中,D為BC的四等分點(diǎn),且靠近B點(diǎn),E,F分別為AC,AD的三等分點(diǎn),且分別靠近A,D兩點(diǎn),設(shè)AB=a,AC=b.(1)試用a,b表示BC,AD,BE;(2)證明:B,E,F三點(diǎn)共線.(1)解:在ABC中,因?yàn)锳B=a,AC=b,所以BC=AC-AB=b-a,AD=AB+BD=AB+14BC=a+14(b-a)=34a+14b,BE=BA+AE=-AB+13AC=-a+13b.(2)證明:因?yàn)锽E=-a+13b,BF=BA+AF=-AB+23AD=-a+23(34a+14b)=-12a+16b=12(-a+13b),所以BF=12BE,BF與BE共線,且有公共點(diǎn)B

7、,所以B,E,F三點(diǎn)共線.14.經(jīng)過(guò)OAB的重心G的直線與OA,OB分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè)OP=mOA,OQ=nOB,m,nR.(1)證明:1m+1n為定值;(2)求m+n的最小值.(1)證明:設(shè)OA=a,OB=b.由題意知OG=2312(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG=OG-OP=(13-m)a+13b,由P,G,Q三點(diǎn)共線得,存在實(shí)數(shù),使得PQ=PG,即nb-ma=(13-m) a+13b,從而-m=(13-m),n=13,消去得1m+1n=3.(2)解:由(1)知,1m+1n=3,于是m+n=13(1m+1n)(m+n)=13(2+nm+mn)13(2+2

8、)=43.當(dāng)且僅當(dāng)m=n=23時(shí),m+n取得最小值,最小值為43.15.已知A1,A2,A3為平面上三個(gè)不共線的定點(diǎn),平面上點(diǎn)M滿足A1M=(A1A2+A1A3)(是實(shí)數(shù)),且MA1+MA2+MA3是單位向量,則這樣的點(diǎn)M有(C)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)解析:法一由題意得,MA1=-(A1A2+A1A3),MA2=MA1+A1A2,MA3=MA1+A1A3,所以MA1+MA2+MA3=(1-3)(A1A2+A1A3),如圖所示,設(shè)D為A2A3的中點(diǎn),所以(1-3)(A1A2+A1A3)是與A1D共起點(diǎn)且共線的一個(gè)向量,顯然直線A1D與以A1為圓心的單位圓有兩個(gè)交點(diǎn),故有兩個(gè)值,

9、即符合題意的點(diǎn)M有兩個(gè).故選C.法二以A1為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)A2(a,b),A3(m,n),則A1A2+A1A3=(a+m,b+n),所以M(a+m),(b+n),所以MA1=(-(a+m),-(b+n),MA2=(a-(a+m),b-(b+n),MA3=(m-(a+m),n-(b+n),所以MA1+MA2+MA3=(1-3)(a+m),(1-3)(b+n).因?yàn)镸A1+MA2+MA3是單位向量,所以(1-3)2(a+m)2+(b+n)2=1,因?yàn)锳1,A2,A3是平面上三個(gè)不共線的定點(diǎn),所以(a+m)2+(b+n)20,所以關(guān)于的方程有兩解,故滿足條件的M有兩個(gè).故選C.1

10、6.(2021浙江杭州高三模擬)正2 021邊形A1A2A2 021內(nèi)接于單位圓O,任取它的兩個(gè)不同的頂點(diǎn)Ai,Aj,構(gòu)成一個(gè)有序點(diǎn)對(duì)(Ai,Aj),滿足|OAi+OAj|1的點(diǎn)對(duì)(Ai,Aj)的個(gè)數(shù)是(C)A.2 021673 B.2 021674C.2 0211 346 D.2 0211 348解析:|OAi+OAj|2=2+2cos 1,cos -12,所以O(shè)Ai+OAj的夾角不超過(guò)23,對(duì)于任意給定的OAi,因?yàn)?322 021=673.67,滿足|OAi+OAj|1的向量OAj的取法共有6732=1 346,再讓OAi動(dòng)起來(lái),可得點(diǎn)對(duì)(Ai,Aj)的個(gè)數(shù)是2 0211 346.故選C

11、.第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1,7,8平面向量基本定理及應(yīng)用2,4,5,910共線向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用3,615綜合問(wèn)題11,12,13,14,16171.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,向量AB的坐標(biāo)是(D)A.(2,2)B.(-2,-2)C.(1,1)D.(-1,-1)解析:因?yàn)锳(2,2),B(1,1),所以AB=(-1,-1).故選D.2.在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來(lái)的是(B)A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e

12、1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:對(duì)于A,C,D都有e1e2,所以只有B成立.故選B.3.設(shè)向量a=(m,2),b=(1,m+1),且a與b的方向相反,則實(shí)數(shù)m的值為(A)A.-2 B.1C.-2或1 D.m的值不存在解析:向量a=(m,2),b=(1,m+1),因?yàn)閍b,所以m(m+1)=21,解得m=-2或m=1.當(dāng)m=1時(shí),a=(1,2),b=(1,2),a與b的方向相同,舍去;當(dāng)m=-2時(shí),a=(-2,2),b=(1,-1),a與b的方向相反,符合題意.故選A.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C為第一象限內(nèi)一點(diǎn),AOC=4,且OC=2,若OC=OA

13、+OB,則+等于(A)A.22 B.2 C.2 D.42解析:因?yàn)镺C=2,AOC=4,C為第一象限內(nèi)一點(diǎn),所以C(2,2),又OC=OA+OB,所以(2,2)=(1,0)+(0,1)=(,),所以=2,所以+=22.故選A.5.(多選題)設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),則可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的向量組是(AC)A.AD與ABB.DA與BCC.CA與DCD.OD與OB解析:如圖,平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底,對(duì)于A,AD與AB不共線,可作為基底;對(duì)于B,DA與BC為共線向量,不可作為基底;對(duì)于C,CA與DC是兩個(gè)不共線的向量,可作為基底;對(duì)于D

14、,OD與OB在同一直線上,是共線向量,不可作為基底.故選AC.6.(多選題)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m可以是(ABD)A.-2 B.12 C.1 D.-1解析:若A,B,C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形.因?yàn)锳B=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線,則1(m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m1,則A,B,C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.故選ABD.7.已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)(3a-b

15、),則實(shí)數(shù)k=.解析:法一a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k),由題意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.法二若a,b不共線,則a+2b與3a-b不共線,這與(a+2b)(3a-b)矛盾,故a,b共線,所以k-3(-2)=0,解得k=-6.答案:-68.設(shè)向量a=(-3,4),向量b與向量a方向相反,且|b|=10,則向量b的坐標(biāo)為.解析:法一不妨設(shè)向量b的坐標(biāo)為(-3m,4m)(m0),SPBC=13SABC,則m=.解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)B(a,0),A(x0,y0),P(x,y),由SPBC=13SABC,得y=y03,所以PC=(-x,-y)

16、,PA=(x0-x,y0-y),PB=(a-x,-y),由mPC=-3PA+PB,得-mx=-3x0+3x+a-x,-my=-3y0+3y-y,所以x=3x0-a2+m,y=3y02+m,又y=y03,所以3y02+m=y03,解得m=7或m=-11,因?yàn)閙0,所以m=7.答案:714.QAB是邊長(zhǎng)為6的正三角形,點(diǎn)C滿足QC=mQA+nQB,且m0,n0,m+n=2,則|QC|的取值范圍是.解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,所以A(-3,0),B(3,0),Q(0,33),所以QA=(-3,-33),QB=(3,-33),所以QC=mQA+nQB=(-3m,-33m)+(3n,-33n)=(3

17、n-3m,-33m-33n),所以|QC|2=9(n-m)2+27(m+n)2=36m2+36n2+36mn,因?yàn)閙0,n0,m+n=2,所以n=2-m,m(0,2),所以|QC|2=36m2+(2-m)2+m(2-m)=36(m-1)2+108,所以由二次函數(shù)的性質(zhì)知|QC|2108,144),所以|QC|63,12).答案:63,12)15.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b共線;(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)

18、=(5,2).因?yàn)閗a-b與a+2b共線,所以2(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=-12.(2)法一因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以AB=BC,即2a+3b=(a+mb),所以2=,3=m,解得m=32.法二AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以ABBC,所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,所以m=32.16.如圖,已知平面內(nèi)有三個(gè)向量OA,OB,OC,其中OA與OB的夾角為120,OA與OC的夾角為30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=OA+

19、OB(,R),求+的值.解:法一如圖,作平行四邊形OB1CA1,則OC=OB1+OA1,因?yàn)镺A與OB的夾角為120,OA與OC的夾角為30,所以B1OC=90.在RtOB1C中,OCB1=30,|OC|=23,所以|OB1|=2,|B1C|=4,所以|OA1|=|B1C|=4,所以O(shè)C=4OA+2OB,所以=4,=2,所以+=6.法二以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B(-12,32),C(3,3).由OC=OA+OB,得3=-12,3=32,解得=4,=2.所以+=6.17.若,是平面內(nèi)一組基底,向量=x+y(x,yR),則稱(chēng)(x,y)為向量在基底,下的坐標(biāo),現(xiàn)

20、已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標(biāo)為.解析:因?yàn)閍在基底p,q下的坐標(biāo)為(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,即x=0,y=2,所以a在基底m,n下的坐標(biāo)為(0,2).答案:(0,2)第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算1,7平面向量數(shù)量積的應(yīng)用2,3,5平面向量的綜合運(yùn)用4,8,9,11綜合問(wèn)題6,1012,13,14,15,1617,181.(2021湖

21、北武漢高三調(diào)研)在等腰直角三角形ABC中,ACB=2,AC=BC=2,點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn),且BP=2PA,那么CPCA+CPCB等于(D)A.-4B.-2C.2D.4解析:法一由已知得|CA|=|CB|=2,CACB=0,AP=13(CB-CA),所以CPCA+CPCB=(CA+AP)CA+(CA+AP)CB=|CA|2+APCA+CACB+APCB=|CA|2+13(CB-CA)(CB+CA)=|CA|2+13|CB|2-13|CA|2=22+1322-1322=4.故選D.法二由已知,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0),A(2,0),B(0,2),設(shè)P(x,y),因?yàn)锽P=2P

22、A,所以BP=2PA,所以(x,y-2)=2(2-x,-y),所以x=43,y=23,所以CPCA+CPCB=(43,23)(2,0)+( 43,23)(0,2)=4.故選D.2.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若a-b與b垂直,則實(shí)數(shù)等于(D)A.-1 B.1 C.-2 D.2解析:由已知得a-b=(-4,-3+2),因?yàn)閍-b與b垂直,所以(a-b)b=0,即(-4,-3+2)(4,-2)=0,所以4-16+6-4=0,解得=2.故選D.3.已知向量a與b的夾角為3,且|a|=1,|2a-b|=3,則|b|等于(C)A.3B.2C.1D.32解析:|2a-b|2=(2a-b

23、)2=4|a|2-4|a|b|cos+|b|2=4-2|b|+|b|2=3,解得|b|=1.故選C.4.(多選題)在日常生活中,我們經(jīng)常會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為F1,F2,且|F1|=|F2|,F1與F2的夾角為.給出以下結(jié)論,其中正確的是(AD)A.越大越費(fèi)力,越小越省力B.的取值范圍為0,C.當(dāng)=2時(shí),|F1|=|G|D.當(dāng)=23時(shí),|F1|=|G|解析:對(duì)于A,因?yàn)閨G|=|F1+F2|為定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos =2|F1|2(1+cos ),解得|F1|2=|G|22(1+cos

24、).由題意知0,)時(shí),y=cos 單調(diào)遞減,所以|F1|2單調(diào)遞增,即越大越費(fèi)力,越小越省力,A正確;對(duì)于B,由題意知,的取值范圍是0,),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)=2時(shí),|F1|2=|G|22,所以|F1|=22|G|,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)=23時(shí),|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正確.故選AD.5.若e1,e2是夾角為3的兩個(gè)單位向量,而a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,則向量a和b的夾角為(C)A.6 B.3C.23 D.53解析:因?yàn)閨e1|=1,|e2|=1,=3,所以e1e2=12,因?yàn)閍=2e1+e2,b=-3e1+2e2,所以|a|=5+412=7,|b|=1

25、3+2(-3)212=7,ab=-6|e1|2+2|e2|2+e1e2,所以|a|b|cos=-6|e1|2+2|e2|2+e1e2,所以77cos=-6+2+12=-72,所以cos=-12,因?yàn)?,所以向量a與b的夾角為23.故選C.6.已知AD是直角三角形ABC斜邊BC上的高,點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上,且滿足(PB+PC)AD=42,若AD=2,則PBPC的值為(A)A.2B.3C.4D.6解析:設(shè)DPC=,DPB=,由(PB+PC)AD=42,AD=2,得|PB|2cos +|PC|2cos =42,所以|PB|PD|PB|+|PC|PD|PC|=4,所以|PD|=2,因?yàn)锳D是直角三角形

26、ABC斜邊BC上的高,所以|CD|BD|=|AD|2,所以PBPC=|PB|PC|cos(+)=|PB|PC|(cos cos -sin sin )=|PB|PC|(2|PC|2|PB|-|CD|PC|BD|PB|) =4-|AD|2=4-2=2.故選A.7.(多選題)(2021湖南長(zhǎng)沙高三模擬)設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則下列選項(xiàng)中正確的是(BCD)A.(ab)c-(ca)b=0B.|a|-|b|a-b|C.(bc)a-(ac)b與c垂直D.(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2解析:由于b,c是不共線的向量,因此(ab)c與(ca)b相減的結(jié)果應(yīng)為向量,

27、故A錯(cuò)誤;由于a,b不共線,故a,b,a-b構(gòu)成三角形,因此B正確;由于(bc)a-(ac)bc=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0,故C正確;根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可以得出D是正確的.故選BCD.8.已知向量a=(2,-6),b=(3,m),若|a+b|=|a-b|,則m=.解析:法一因?yàn)閍=(2,-6),b=(3,m),所以a+b=(5,m-6),a-b=(-1,-m-6),由|a+b|=|a-b|得52+(m-6)2=(-1)2+(-m-6)2,解得m=1.法二由|a+b|=|a-b|,兩邊平方得ab=0,因?yàn)閍=(2,-6),b=(3,m),所以23+(-6)m=0,解得m=1.答案

28、:19.已知AB與AC的夾角為90,|AB|=2,|AC|=1,AM=AB+AC(,R),且AMBC=0,則的值為.解析:根據(jù)題意,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以AB=(0,2),AC=(1,0),BC=(1,-2).設(shè)M(x,y),則AM=(x,y),所以AMBC=(x,y)(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y.又AM=AB+AC,即(x,y)=(0,2)+(1,0)=(,2),所以x=,y=2,所以=12yx=12y2y=14.答案:1410.已知單位向量a與b,滿足(a+b)2=1,則a與b的夾角為;若向量c滿足a+(2-)b=c(0,

29、2),則|c|的取值范圍是.解析:依題意知|a|=|b|=1,由(a+b)2=1得a2+2ab+b2=1,解得ab=-12,則cos =ab|a|b|=-12,又0,所以=23;將 a+(2-)b=c兩邊平方,得c2=2a2+2(2-)ab+(2-)2b2=32-6+4,因?yàn)?,2,所以|c|=32-6+41,2.答案:231,211.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng);(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(AB-tOC)OC=0,求t的值.解:(1)由題設(shè)知AB=(3,5),AC=(-1,1),則AB+AC=(

30、2,6),AB-AC=(4,4),所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42,故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為42,210.(2)法一由題設(shè)知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,從而5t=-11,所以t=-115.法二ABOC=tOC2,AB=(3,5),t=ABOC|OC|2=-115.12.已知O是ABC內(nèi)部一點(diǎn),且滿足OA+OB+OC=0,又ABAC=23,BAC=60,則OBC的面積為(C)A.32B.3C.1D.2解析:由ABAC=23,BAC=60,可得ABAC=|AB|AC|cosBAC

31、=12|AB|AC|=23,所以|AB|AC|=43,所以SABC=12|AB|AC|sinBAC=3,又OA+OB+OC=0,所以O(shè)為ABC的重心,所以SOBC=13SABC=1.故選C.13.在四邊形ABCD中,已知M是AB邊上的點(diǎn),且MA=MB=MC=MD=1,CMD=120,若點(diǎn)N在線段CD(端點(diǎn)C,D除外)上運(yùn)動(dòng),則NANB的取值范圍是(B)A.-1,0) B.-34,0)C.-1,1) D.-12,1)解析:連接MN(圖略).由題意得NANB=(MA-MN)(MB-MN)=MN2-MA2=|MN|2-1,在MCN中,MC=1,MCN=30,所以MN2=12+NC2-2NC132=N

32、C2-3NC+1,所以MN2-1=NC2-3NC=(NC-32) 2-34.由MC=MD=1,CMD=120,可得CD=3,又點(diǎn)N在線段CD(端點(diǎn)C,D除外)上運(yùn)動(dòng),所以0NC3,所以-34MN2-10,即NANB的取值范圍是-34,0).故選B.14.在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),設(shè)ADBC=x,ACBD=y,若AB=2,EF=1,CD=3,則xy的最小值為.解析:如圖所示,設(shè)ABDC=O,因?yàn)锳B=AE+EF+FB=EF+AD-BC2,DC=DE+EF+FC=EF+-AD+BC2,兩式相加得EF=AB+DC2.因?yàn)锳B=2,EF=1,CD=3,把兩邊平方可得1=AB2

33、+DC2+2ABDC4=2+3+2ABDC4,所以ABDC=-12.又ADBC=(OD-OA)(OC-OB)=ODOC-ODOB-OAOC+OAOB=x,所以O(shè)DOC+OAOB=x+ODOB+OAOC.又ACBD=(OC-OA)(OD-OB)=ODOC-OBOC-OAOD+OAOB=(ODOC+OAOB)-OBOC-OAOD=y,所以O(shè)DOC+OAOB=OBOC+OAOD+y.根據(jù)可得x+ODOB+OAOC=OBOC+OAOD+y,即x-y=-ODOB-OAOC+OBOC+OAOD,即x-y=OBDC+OACD=DC(OB-OA)=DCAB=-12,即y=12+x,所以xy=x(12+x)=x

34、2+12x=(x+14) 2-116,所以x=-14,y=14時(shí),(xy)min=-116.答案:-11615.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a與b的夾角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面積.解:(1)因?yàn)?2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6,所以cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,所以=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=13

35、.(3)因?yàn)锳B與BC的夾角=23,所以ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,所以SABC=124332=33.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=(22,-22),n=(sin x,cos x),x(0,2).(1)若mn,求tan x的值;(2)若m與n的夾角為3,求x的值.解:(1)因?yàn)閙=(22,-22),n=(sin x,cos x),mn,所以mn=0,即22sin x-22cos x=0,所以sin x=cos x,所以tan x=1.(2)因?yàn)閨m|=|n|=1,所以mn=cos 3=12,即22sin x-22cos x=12,所以sin(

36、x-4)=12,因?yàn)? x2,所以-4x-41=a,所以B=45或135.故選BC.4.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,則bc等于(A)A.6B.5C.4D.3解析:因?yàn)閍sin A-bsin B=4csin C,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-(4c2+b2)2bc=-3c22bc=-14,所以bc=6.故選A.5.(多選題)某人向正東走了x km后向右轉(zhuǎn)了150,然后沿新方向走3 km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好3 km,那么x的值是

37、(AB)A.3 B.23 C.3 D.6解析:如圖,AB=x,BC=3,AC=3,ABC=30.由余弦定理得3=x2+9-23xcos 30.解得x=23或x=3.故選AB.6.(多選題)對(duì)于ABC,有如下判斷,其中正確的是(ABD)A.若cos A=cos B,則ABC為等腰三角形B.若ABC為銳角三角形,有A+B2,則sin Acos BC.若a=8,c=10,B=60,則符合條件的ABC有兩個(gè)D.若sin2A+sin2B2,則2A2-B0,所以sin Acos B,故B正確;對(duì)于C,由余弦定理可得b=82+102-281012=84,只有一解,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若sin2A+sin2Bs

38、in2C,則根據(jù)正弦定理得a2+b2c2,cos C=a2+b2-c22abAC,故CDA為銳角,所以CDA=60,D正確,C錯(cuò)誤.故選ABD.12.(多選題)在ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,C為鈍角,且c-b=2bcos A,則下列結(jié)論中正確的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0cos A12 D.0sin B90,所以0A60,0Bcos A12,0sin B3對(duì)任意正數(shù)x恒成立,則A的取值范圍是.解析:由(sin2A-sin2B)sin C=(sin2A+sin2B)sin(A-B),可得(sin2A-sin2B)sin(A+B)=(sin2A+sin

39、2B)sin(A-B),則(sin2A-sin2B)(sin Acos B+cos Asin B)=(sin2A+sin2B)(sin Acos B-cos Asin B),整理得sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,因?yàn)榻茿,B,C為三角形的內(nèi)角,所以sin Acos A=sin Bcos B,因此sin 2A=sin 2B,又三角形各邊均不相等,所以各角均不相等,因此2A+2B=,即A+B=2,所以C=2,則B=2-A,所以cos B=sin A,且A(0,4)(4,2),則cos A0,不等式 3xcos A+cosBx3可化為(3cos A)x2-3x+cos

40、 B0,即(3cos A)x2-3x+sin A0,令f(x)=(3cos A)x2-3x+sin A,則其對(duì)稱(chēng)軸為x=12cosA0,又 3xcos A+cosBx3對(duì)任意正數(shù)x恒成立,等價(jià)于f(x)=(3cos A)x2-3x+sin A0對(duì)任意正數(shù)x恒成立,所以只需f(x)min=f(12cosA)=3cosA4cos2A-32cosA+sin A=sin A-34cosA0,即sin 2A32,解得32A2或22A23,即6A4或4A3,即A的取值范圍是(6,4)(4,3).答案:2(6,4)(4,3)15.在(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B);2cco

41、s C=acos B+bcos A;ABC的面積為12c(asin A+bsin B-csin C)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并加以解答.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.(1)求C;(2)若D為AB的中點(diǎn),且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)選擇,根據(jù)正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=12.因?yàn)镃(0,),所以C=3.選擇,根據(jù)正弦定理有sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,所以sin(A+B)=2sin Cc

42、os C,即sin C=2sin Ccos C.因?yàn)镃(0,),所以sin C0,從而有cos C=12,故C=3.選擇,因?yàn)?2casin B=12c(asin A+bsin B-csin C),所以asin B=asin A+bsin B-csin C,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.又因?yàn)镃(0,),所以C=3.(2)在ACD中,AC2=AD2+CD2-2ADCDcos ADC,即b2=1+3-23cos ADC.在BCD中,BC2=BD2+CD2-2BDCDcos BDC,即a2=1+3-23cos BDC.因?yàn)锳DC+BD

43、C=,所以cos ADC=-cos BDC,所以a2+b2=8.由C=3及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4,從而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.16.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin A+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍.解:(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin A+C2=sin Bsin A.因?yàn)閟in A0,所以sin A+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因?yàn)閏os B20,所以sin B2=1

44、2,所以B=60.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積為SABC=34a.由(1)知A+C=120,由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90.結(jié)合A+C=120,得30C90,所以12a2,從而38SABC32.因此,ABC面積的取值范圍是(38,32).17.已知ABC中,AC=2,BC=6,ABC的面積為32,若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D,使BDC=4,則CD=.解析:因?yàn)锳C=2,BC=6,ABC的面積為32=12ACBCsin ACB=1226sin ACB,所以sin ACB=12,所以ACB=6

45、或56,若ACB=56,則BDC=44+56,與三角形內(nèi)角和定理矛盾,所以ACB=6,所以在ABC中,由余弦定理得AB=AC2+BC2-2ACBCcosACB=2+6-22632=2,所以AB=AC,所以B=6,所以在BDC中,由正弦定理可得CD=BCsinBsinBDC=61222=3.答案:318.如圖所示,經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:km).如何設(shè)計(jì),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?解:設(shè)AMN=,在AMN中,MNsin

46、60=AMsin(120-).因?yàn)镸N=2,所以AM=433sin(120-).在APM中,cos AMP=cos(60+).AP2=AM2+MP2-2AMMPcos AMP=163sin2(120-)+4-22433sin(120-)cos(60+)=163sin2(+60)-1633sin(+60)cos(+60)+4=831-cos(2+120)-833sin(2+120)+4=-833sin(2+120)+cos(2+120)+203=203-163sin(2+150),0120.當(dāng)且僅當(dāng)2+150=270,即=60時(shí),AP2取得最大值12,即AP取得最大值23.所以設(shè)計(jì)AMN=60時(shí)

47、,工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小.第5節(jié)復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練復(fù)數(shù)的概念8復(fù)數(shù)的運(yùn)算2,3,4,6,9復(fù)數(shù)的幾何意義1,7綜合問(wèn)題5,1011,12,13,14,15,1617,181.已知復(fù)數(shù)z滿足zz-i=i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(A)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:法一設(shè)z=a+bi(a,bR),因?yàn)閦z-i=i,所以a+bia+(b-1)i=i,所以a+bi=(1-b)+ai,所以a=1-b,b=a,解得a=b=12,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(12,12),位于第一象限.故選A.法二因?yàn)閦z-i=i,所以z=11-i=1+i2=12

48、+12i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(12,12),位于第一象限.故選A.2.設(shè)(1+2i)x=x+yi,其中x,y是實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,則|yx+i|等于(D)A.1 B.2 C.3 D.5解析:由x+2xi=x+yi,x,yR,則y=2x,|yx+i|=|2+i|=5.故選D.3.若z=1+i,則|z2-2z|等于(D)A.0B.1C.2 D.2解析:法一因?yàn)閦=1+i,所以|z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.故選D.法二因?yàn)閦=1+i,所以|z2-2z|=|z|z-2|=2|-1+i|=22=2.故選D.4.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

49、關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng),z1=2+i,則z1z2等于(B)A.1+i B.35+45iC.1+45i D.1+43i解析:因?yàn)閺?fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng),z1=2+i,所以z2=2-i,所以z1z2=2+i2-i=(2+i)25=35+45i.故選B.5.(多選題)下列命題正確的是(BCD)A.若復(fù)數(shù)z1,z2的模相等,則z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)B.z1,z2都是復(fù)數(shù),若z1+z2是虛數(shù),則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)C.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=z(z是z的共軛復(fù)數(shù))D.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),且|z-2|=3,則yx的最大值為3解析:對(duì)于A,z1和z2可能是相等的復(fù)數(shù),故A錯(cuò)誤

50、;對(duì)于B,若z1和z2互為共軛復(fù)數(shù),則相加為實(shí)數(shù),不會(huì)為虛數(shù),故B正確;對(duì)于C,由a+bi=a-bi得b=0,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)閨z-2|=(x-2)2+y2=3,所以(x-2)2+y2=3,由圖可知(yx) max=3,故D正確.故選BCD.6.已知復(fù)數(shù)z=2+i1-i(i為虛數(shù)單位),那么z的共軛復(fù)數(shù)為(B)A.32+32i B.12-32iC.12+32i D.32-32i解析:由題意知z=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+2i+i-12=12+32i,所以z=12-32i.故選B.7.記復(fù)數(shù)z,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,其中|OZ2|=1,若OZ1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后能與OZ2重合,則z等于(B)A.32+12iB.32-12iC.12+32iD.12-32i解析:設(shè)z=a+bi,z=a-bi,所以點(diǎn)Z1,Z2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),因?yàn)镺Z1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后能與OZ2重合,所以a=cos 30=32,b=sin 30=12,故z=32+12i,所以z=32-12i.故選B.8.已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a+5i1+2i(aR)是純虛數(shù),則a=.解析:由已知,得a+5i1+2